數(shù)學(xué)建模比賽論文

1、2010年湖南大學(xué)冬季數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了2010年湖南大學(xué)冬季數(shù)學(xué)建模競賽。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。參賽隊(duì)員 (簽名) ：隊(duì)員1：姓名 學(xué)院 專業(yè)年級隊(duì)員2：姓名 學(xué)院 專業(yè)年級 湖南大學(xué)數(shù)模指導(dǎo)組湖

2、南大學(xué)數(shù)學(xué)建模協(xié)會2010年湖南大學(xué)冬季數(shù)學(xué)建模競賽題目： 沿“海上絲綢之路”飛行 摘 要 該題目通過計(jì)算使用現(xiàn)代的交通工具單程航行所需要的時間與古代著名的航船路線所需要的時間相比較，強(qiáng)烈突出了現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展以及對人類生活的重大影響。同時假設(shè)（1）與假設(shè)（2）分別是兩種情況下的的不同運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)題目類型的多樣化，可以在相同的條件下演變出來多種數(shù)學(xué)模型，正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的意義所在。同時，由于本題目是在假設(shè)前提條件下進(jìn)行的模型建立，所以忽略了很多實(shí)際情況下的因素，如風(fēng)速等天氣情況對飛行速度的影響，比較符合物理方面的實(shí)驗(yàn)特點(diǎn)，在一些實(shí)際上并不成立的前提條件下進(jìn)行問題的解決、假設(shè)（1）主

3、要是假設(shè)地球是一個平均半徑為定值的球體，這樣相對于假設(shè)（2）地球是一個旋轉(zhuǎn)橢球體而言，在分析問題及尋求解決問題的過程中簡化了一些不必要的因素，運(yùn)算的過程也相對簡單一些。因此，對于假設(shè)（1）我們首先建立一個球體的模型，將思考問題的方向放在了一個三維的立體空間，正因?yàn)槿S立體的球體是較為熟悉的模型，所以在解決問題的過程中，思維也相對而言明朗化一些，所以可以利用相關(guān)的信息和工具計(jì)算出在飛行高度固定的前提下所需要的飛行時間。假設(shè)（2）的解決方法是在假設(shè)（1）的前提下，建立橢球體的模型，將較為復(fù)雜化的空間問題簡化，找到有效地解決方法，從而使用與假設(shè)（1）類似的計(jì)算方法得出飛行時間。最后，將得出兩種假設(shè)情

4、況下的飛行時間進(jìn)行比較分析，并通過改變飛機(jī)飛行的高度，建立簡單直觀的線性圖表現(xiàn)出飛行時間與飛行高度的關(guān)系，達(dá)到建立數(shù)學(xué)模型并解決問題的目的。關(guān)鍵字：假設(shè) 空間模型 球體 時間 對比 經(jīng)度緯度一、 問題的提出瑞典是北歐一個神秘的國度，它位于斯堪的納維亞半島，西鄰挪威，東北與芬蘭接壤, 瀕臨波羅的海和卡特加特海峽。瑞典人口稀少，國土大部分為森林和山地。中國和瑞典的貿(mào)易往來有著悠久的歷史。例如當(dāng)時瑞典著名的一艘遠(yuǎn)洋商船 “哥德堡號” 在1739年1月至1745年9月短短的幾年間就曾三次遠(yuǎn)航中國廣州，購回了大批中國的茶葉、瓷器、絲綢和藤器等，促進(jìn)了兩國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展、文化的接觸和交流?！案绲卤ぬ枴?當(dāng)年的

5、航線為：瑞典哥德堡西班牙加迪斯巴西累西腓南非開普敦澳大利亞弗里曼特爾印度尼西亞雅加達(dá)中國廣州，被人們稱為 “海上絲綢之路”。由于當(dāng)時沒有開通蘇伊士運(yùn)河，這條從北歐到中國的海上航線，必須繞道非洲南部，加上當(dāng)時的遠(yuǎn)洋商船只能選擇順風(fēng)航行的路線，因此從瑞典到中國的一次單程就要花費(fèi)2年多的時間。假如我們現(xiàn)在乘飛機(jī)重走 “海上絲綢之路”，沿“哥德堡號” 當(dāng)年航線經(jīng)過的各城市直飛。已知目前的飛機(jī)飛行高度約為10千米，飛行速度約為850千米/小時。試就下列兩種情形建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算一次單程飛行需要的時間， (1) 假設(shè)地球是平均半徑為6371千米的一個球體；(2) 假設(shè)地球是赤道半徑為6378千米、極地半徑

6、為6357千米、扁率約為1/298的一個旋轉(zhuǎn)橢球體。若飛行高度發(fā)生變化，試就上面兩種情形討論飛行時間和飛行高度的關(guān)系。二、問題的分析由根據(jù)題意得出，飛機(jī)是在“哥德堡號”當(dāng)年經(jīng)過的各城市間勻速飛行，對于速度、高度均是已知，同時同過選擇使用物理學(xué)中的公式，可計(jì)算并得出路程與時間及速度的關(guān)系，因此若通過建立模型得到飛機(jī)飛行的全部路程，問題即可解決。在假設(shè)（1）中建立的模型是一個球體，該球體是分布在以地心為原點(diǎn)，地軸為Z軸，赤道面為XY平面，0度經(jīng)線的軸為X軸，0度緯線軸為軸的三維立體空間直角坐標(biāo)系中，并且建立的這個三維立體空間直角坐標(biāo)系符合右手螺旋定則。假設(shè)（2）中建立的模型是一個旋轉(zhuǎn)橢球體，其三維

7、立體空間直角坐標(biāo)系的建立與假設(shè)（1）中的是相同的，該旋轉(zhuǎn)橢球體是分布在以地心為原點(diǎn)，地軸為Z軸，赤道面為XY平面，0度經(jīng)線的軸為X軸，0度緯線軸為軸的空間直角坐標(biāo)系中，同樣也是符合右手螺旋定則。二、 模型的假設(shè)1、有地球半徑的定義可得是指從地球中心到其表面（平均海平面）的距離，所以假設(shè)平均海平面的位置沒有受到潮汐等自然或地質(zhì)變化的影響，海平面位置不發(fā)生變化。2、 假設(shè)飛機(jī)飛行過程中沒有受到途中經(jīng)過建筑物或海平面位置變化的影響，飛行高度始終為題目中所提供的定值。3、 忽略飛機(jī)飛行過程中天氣變化所引起的飛行速度的改變，假設(shè)飛行速度始終為題目中所題目的數(shù)據(jù)。4、 因?yàn)樵凇案绲卤ぬ枴焙骄€中，船航行所經(jīng)

8、過的每一個地點(diǎn)都是需要奸細(xì)間歇的，所以飛機(jī)在各個間歇點(diǎn)起飛、降落的時間忽略不計(jì)。5、 “哥德堡號”航線中各個城市都看做一個點(diǎn)，忽略其地區(qū)占地面積對路線計(jì)算帶來的影響，僅用經(jīng)緯度值表示其位置。6、 假設(shè)（1）中地球是一個規(guī)則球體，不受運(yùn)動過程中所發(fā)生變化的影響。7、 假設(shè)(2)中地球是一個規(guī)則旋轉(zhuǎn)橢球體，同樣不受運(yùn)動過程中發(fā)生變化的影響。8、 假設(shè)（2）中相關(guān)數(shù)據(jù)與事實(shí)相符，忽略其他物質(zhì)所引起的變化。四、模型的建立所有數(shù)學(xué)符號代表的含義：S(A,B):城市A,B之間的飛行距離；T(A,B):飛機(jī)在城市A,B間飛行的時間；V:飛機(jī)飛行速度；R（1）:地球的平均半徑；R（2）:地球的赤道半徑；R（1

9、）:地球的極地半徑；h:飛機(jī)飛行的高度；X(A):城市A的X坐標(biāo)；Y(A):城市A的Y坐標(biāo)；Z(A):城市A的Z坐標(biāo)；TT:飛行總所需要的總時間；A(i):第i個城市(i=1,2,3,6,7),依次代表瑞典歌德堡，西班牙加迪斯，巴西累西腓，南非開普敦，澳大利亞福里曼特爾，印度尼西亞雅加達(dá)，中國廣州；OA*OB:向量OA與向量OB外積；|OA|:向量OA的模；(i,i+1)：第i個城市與地心的連線和第i+1個城市與地心的連線的夾角(單位是弧度)；JD(A):城市A的經(jīng)度；WD(A):城市A的緯度；H(A):城市A的高度；F(A,B):城市A,B間飛行路線的函數(shù)關(guān)系；兩種假設(shè)都適合使用的計(jì)算公式：

10、 S=V·T；兩種假設(shè)的解題思路過程：（1） 通過各城市的經(jīng)緯度以及高度得出各城市的三維坐標(biāo)；（2） 通過三維坐標(biāo)計(jì)算出F(A(i),A(i+1)；（3） 通過F(A(i),A(i+1)求出S (A(i),A(i+1)；注：各城市經(jīng)緯度數(shù)據(jù)如下：附錄：各地點(diǎn)的經(jīng)緯度瑞典哥德堡：西班牙加迪斯：巴西累西腓：南非開普敦：澳大利亞弗里曼特爾：印度已西亞雅加達(dá)：中國廣州：五、模型的解法與結(jié)果1、在假設(shè)（1）中建立的模型是一個球體，該球體是分布在以地心為原點(diǎn)，地軸為Z軸，赤道面為XY平面，0度經(jīng)線的軸為X軸，0度緯線軸為軸的三維立體空間直角坐標(biāo)系中，并且建立的這個三維立體空間直角坐標(biāo)系符合右手螺

11、旋定則。城市經(jīng)度、緯度和高度與城市的三維坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系：X(i)=(R+h)*cos(WD(i)*cos(JD(i); *(*1)Y(i)=(R+h)* cos(WD(i)*sin(JD(i); *(*2)Z(i)=(R+h)*sin(JD(i); *(*3)三維坐標(biāo)的計(jì)算結(jié)果及計(jì)算機(jī)算法如下：計(jì)算的代碼部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float a,b,c,x,y,z; cin>>a>>b>>c; x=a*cos(b)*cos(c); y

12、=a*cos(b)*sin(c); z=a*sin(b); cout<<" x= "<<x<< " y= "<<y<<" z= "<<z<<endl; system("pause"); return 0; 計(jì)算的三維坐標(biāo)的具體數(shù)據(jù)：瑞典哥德堡： 西班牙加迪斯： 巴西累西腓：南非開普敦： 澳大利亞弗里奧特爾： 印度尼西亞雅加達(dá)：中國廣州：路程、速度和時間之間的遞推關(guān)系：OA*OB=ijkX(i)Y(i)Z(i)X(i+1)Y(i+1)

13、Z(i+1) *（1）sin(i,i+1)=2|OAOB|OA|OB| *(2)S(i,i+1)=(R+h)* (i,i+1) *(3)T(i,i+1)= S(i,i+1)V *(4)計(jì)算過程的詳細(xì)步驟： OA*OB=ijkX(i)Y(i)Z(i)X(i+1)Y(i+1)Z(i+1) =( Y(i)Z(i+1)-Y(i+1)Z(i),Z(i)X(i+1)-Z(i+1)X(i),X(i)Y(i+1)-X(i+1)Y(i)*(5)ð |OA*OB| 2YiZi+1Yi+1Zi2+Z(i)X(i+1)Z(i+1)X(i)2+X(i)Y(i+1)X(i+1)Y(i)2 *(6)ð

14、i,i+1=sin12|OAOB|OA|OB| *(7)計(jì)算過程的代碼部分：瑞典歌德堡到西班牙加迪斯：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(

15、cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"瑞典哥德堡和西班牙加迪斯之間的線段距離是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"瑞典哥德堡與地心的連線和西班牙加迪斯與地心的連線

16、的夾角是= "<<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"瑞典哥德堡和西班牙加迪斯之間時間是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause"); return 0; 西班牙加迪斯到巴西累西腓部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; fl

17、oat a1,b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"西班牙加迪斯和巴西累西腓之間的線段距離是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(

18、b1*c2-b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"巴西累西腓與地心的連線和西班牙加迪斯與地心的連線的夾角是= "<<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"西班牙加迪斯和巴西累西腓之間時間是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause&qu

19、ot;); return 0; 巴西累西腓到南非開普敦部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1)

20、; a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"巴西累西腓和南非開普敦之間的線段距離是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"巴西累西腓與地心的連線和南非開普敦與地心的連線的夾角是= "<<asi

21、n(hh) <<"°"<<endl; cout<<"巴西累西腓和南非開普敦之間時間是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause"); return 0; 南非開普敦到澳大利亞里弗奧特爾部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,b1,c1,a2,b2,c2

22、; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"南非開普敦到澳大利亞里弗奧特爾之間的線段距離是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-b2*c1)+(a2*c

23、1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"南非開普敦與地心的連線和澳大利亞弗里曼特爾與地心的連線的夾角是= "<<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"南非開普敦到澳大利亞里弗奧特爾之間時間是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause"); return

24、 0; 澳大利亞弗里曼特爾到印度尼西亞雅加達(dá)部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=

25、aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"澳大利亞弗里曼特爾到印度尼西亞雅加達(dá)之間的線段距離是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"澳大利亞弗里曼特爾與地心的連線和印度尼西亞雅加達(dá)與地心的連線的夾角是= "&l

26、t;<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"澳大利亞弗里曼特爾到印度尼西亞雅加達(dá)之間時間是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause"); return 0; 印度尼西亞雅加達(dá)到中國廣州部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,

27、b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"印度尼西亞雅加達(dá)和中國廣州之間的線段距離是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-

28、b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"印度尼西亞雅加達(dá)與地心的連線和中國廣州與地心的連線的夾角是= "<<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"印度尼西亞雅加達(dá)和中國廣州之間時間是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause")

29、; return 0; ð TT= 16T(i,i+1)；2、假設(shè)（2）中建立的模型是一個旋轉(zhuǎn)橢球體，其三維立體空間直角坐標(biāo)系的建立與假設(shè)（1）中的是相同的，該旋轉(zhuǎn)橢球體是分布在以地心為原點(diǎn)，地軸為Z軸，赤道面為XY平面，0度經(jīng)線的軸為X軸，0度緯線軸為軸的空間直角坐標(biāo)系中，同樣也是符合右手螺旋定則。六、結(jié)果的檢驗(yàn)與分析 將通過建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算得出的兩種假設(shè)情況下的數(shù)據(jù)對比，得出飛行時間與飛行高度之間的關(guān)系誤相似性較大，在允許誤差范圍內(nèi)，可以近似認(rèn)為是符合兩者之間的關(guān)系，所以可以檢驗(yàn)出建立的數(shù)學(xué)模型的正確性，同時也證明了在分析問題和解決問題的過程中所使用的方法是正確的，在相似的數(shù)學(xué)模型中可以采用相同的解題思