數字濾波器設計步驟

1、數字信號處理數字濾波器的設計學院 計算機與電子信息學院 專業(yè) 電子信息科學與技術 班級 電子15-2 班姓名 學號 指導教師 劉利民 數字濾波器的設計一、模擬低通濾波器的設計方法1、Butterworth濾波器設計步驟：.確定階次N 已知c、s和As求Butterworth DF階數N 由： 求出N： 已知c、s和=p()的衰減Ap 求Butterworth DF階數N 已知p、s和=p的衰減Ap 和As 求Butterworth DF階數N 由 .用階次N確定 根據公式： 在左半平面的極點即為的極點，因而 ，2、切比雪夫低通濾波器設計步驟：.確定技術指標 歸一化： .根據技術指標求出濾波器階

2、數N及： 其中 .求出歸一化系統(tǒng)函數其中極點由下式求出：或者由和S直接查表得.去歸一化： 二、數字低通濾波器的設計步驟： 1、 確定數字低通濾波器的技術指標：通帶截止頻率、通帶最大衰減系數、阻帶截止頻率、阻帶最小衰減系數。2、 將數字低通濾波器的技術指標轉換成模擬低通濾波器的技術指標。巴特沃斯：切比雪夫： 其中 3、把模擬濾波器變換成數字濾波器，即把模擬濾波器的系數映射成數字濾波器的系統(tǒng)函數。實現系統(tǒng)傳遞函數s域至z域映射有脈沖響應不變法和雙線性映射兩種方法。（1）脈沖響應不變法。按照技術要求設計一個模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數轉換成數字低通濾波器的系統(tǒng)函數H(z)。設模擬濾波

3、器的傳輸函數為，相應的單位沖激響應是，=LT，LT.代表拉氏變換，對進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到，將h(n)= 作為數字濾波器的單位取樣響應，那么數字濾波器的系統(tǒng)函數H(z)便是h(n)的Z變換。因此脈沖響應不變法是一種時域上的轉換方法，它是h(n)在采樣點上等于。設模擬濾波器只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將用部分分式表示： ，式中為的單階極點。將逆拉氏變換得到： ，式中u(t)是單位階躍函數。對進行等間隔采樣，采樣間隔為T,得到： 對上式進行Z變換，得到數字濾波器的系統(tǒng)函數H(z)： ， 經過一系列變換得到： （2）雙線性變換法這種變換方法，采用非線性頻率壓縮方

4、法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到±/T之間，再用轉換到z平面上。設Ha（s），s=j，經過非線性頻率壓縮后用Ha（s1），=j1表示，這里用正切變換實現頻率壓縮： 式中T仍是采樣間隔，當1從-/T經過0變化到/T時，則由-經過0變化到+，實現了s平面上整個虛軸完全壓縮到平面上虛軸的±/T之間的轉換。這樣便有 再通過 轉換到z平面上，得到： 令 ，有 兩種方法比較：脈沖響應不變法的優(yōu)點：1，模擬頻率到數字頻率的轉換時線性的；2，數字濾波器單位脈沖響應的數字表示近似原型的模擬濾波器單位脈沖響應，因此時域特性逼近好。缺點：會產生頻譜混疊現象，只適合帶限濾波器雙線性變換法優(yōu)點：克

5、服多值映射得關系，可以消除頻率的混疊缺點：時域到頻域的變換是非線性的，在高頻處有較大的失真。 三、數字高通濾波器的設計步驟： 數字高通濾波器的技術指標為：通帶截止頻率p 阻帶截止頻率s 通帶衰減頻率P 阻帶衰減頻率 s 預畸變處理，將數字高通指標轉換為模擬低通指標 確定階數N 由 （可由模擬低通濾波器設計方法可得） 歸一化及去歸一化 查表令s=s/ 歸一化模擬低通圓型系統(tǒng)函數GP=1P2+2P+1 低通向高通轉化 令s1=1/s 由頻率變換公式 Has=G|p=xPPhS 即可得 濾波器數字化 令 利用雙線性變換化 Hz=Has|s=1-Z-11+Z-1 帶入數據可得數字高通H(z)數字高通不

6、能采用脈沖響應不變法原因是：脈沖響應不變法有頻譜周期延拓效應，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通。而高頻衰減越大，頻響的混淆效應越小，至于高通濾波器,由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中。四、數字帶通濾波器的設計：步驟：（1） 確定性能指標: 在設計帶通濾波器之前,首先根據工程實際的需要 確定濾波器的技術指標:通帶截止頻率wc1,wc2、阻帶截止頻率wr1，wr2、阻帶最小衰減s通帶最大衰減p (2) 對帶通數字濾波器H(z)的數字邊界頻率預畸變=2T*tanw2得到帶通模擬濾波器H(s)的邊界頻率主要是通帶截止頻率p1,p2;阻帶截止頻率s1，s2的轉換。

7、對雙線性變換法一般T=2s 通帶截止頻率wc1=(2/T)*tan(wp1/2) 、wc2=(2/T)*tan(wp2/2) 阻帶截止頻率wr1=(2/T)*tan(ws1/2)、wr2=(2/T)*tan(ws2/2) 阻帶最小衰減s通帶最大衰減p (3)低通到帶通頻率變換=2-02B*將模擬帶通濾波器指標轉換為模擬低通濾波器指標。 B=wc2-wc1normwr1=(wr12)-(w02)/(B*wr1) normwr2=(wr22)-(w02)/(B*wr2) normwc1=(wc12)-(w02)/(B*wc1) normwc2=(wc22)-(w02)/(B*wc2)模擬低通濾波器

8、指標：normwc，normwr，p，s (4)設計模擬低通原型濾波器。查表得到歸一化低通傳輸函數G(p)：GP=1P2+2P+1用模擬低通濾波器設計方法（由巴特沃斯設計步驟或切比雪夫設計步驟）得到模擬低通濾波器的傳輸函數Ha(s)(5)模擬低通濾波器轉化為模擬帶通濾波器。(6)利用雙線性變換法將模擬帶通濾波器Ha(s)轉換成數字帶通濾波器H(z)由 得到 Hz=Has|s=1-Z-11+Z-1也可以用脈沖響應不變法： 兩種方法比較比較：脈沖響應不變法數字濾波器單位脈沖響應的數字表示近似原型的模擬濾波器單位脈沖響應，因此時域特性逼近好。但會產生頻譜混疊現象，只適合帶限濾波器雙線性變換法可以克服

9、多值映射得關系，可以消除頻率的混疊但時域到頻域的變換是非線性的，在高頻處有較大的失真。 五、數字帶阻濾波器的設計：步驟：（1） 確定性能指標:通帶截止頻率wc1,wc2、阻帶截止頻率wr1，wr2、阻帶最小衰減s通帶最大衰減p (2) 對帶通數字濾波器H(z)的數字邊界頻率預畸變=2T*tanw2主要是通帶截止頻率p1,p2;阻帶截止頻率s1，s2的轉換。對雙線性變換法一般T=2s 通帶截止頻率wc1=(2/T)*tan(wp1/2) 、wc2=(2/T)*tan(wp2/2) 阻帶截止頻率wr1=(2/T)*tan(ws1/2)、wr2=(2/T)*tan(ws2/2) 阻帶最小衰減s 通帶

10、最大衰減p （由模擬低通濾波器設計方法可得）模擬低通濾波器確定模擬帶阻濾波器由模擬低通到模擬帶阻的變換 這一模擬低通到帶阻的變換關系為 s=02PP2+02式中s為模擬低通原型拉普拉斯變量(s=+j)，𝑝為模擬帶阻的拉普拉斯變 量(𝑝= +j )，0是模擬帶阻濾波器的幾何中心頻率。令𝑝=j可得 S=j0202-2 故𝑝平面的虛軸與s平面的虛軸相對應，代入s=j，消去j，可得=n0202-2低通的阻帶映像到帶阻的阻帶C=02102-12-C=02202-22化簡得到：0=12=2-1=13C在H𝐿𝑃(𝑠)中的變換關系，可得到帶阻濾波器系統(tǒng)函數HBR p=HLP s |S=02pp2+02由模擬帶阻到數字帶阻的變換 仍利用雙線性變換P=C1+z-11-z-1模擬低通原型濾波器的𝑠平面變換成數字帶阻濾波器的𝑧平面的表達式 可得 S=D11-Z-11-E1Z-1+Z-2從模擬低通系統(tǒng)函數H𝐿𝑃(⻖