方形線圈的互感計算

1、工程電磁場課外實驗報告 儀器科學與電氣工程學院 65100512 董雪峰基于MATLAB計算任意位置兩矩形線圈互感實驗目的本次實驗主要是為了對工程電磁場的理論知識進一步的理解和掌握。通過對本次實驗的設計，計算；從而掌握任意一點電磁感應的計算，和利用定義式計算任意一點的磁感應強度。同時，理解和掌握互感的定義，以及對互感的計算。實驗內(nèi)容1. 利用定義式，先求矩形線圈的任意一點的磁感應強度。根據(jù)畢奧-沙伐定律知，空間線電流源產(chǎn)生的磁場強度為：dB=04IeRdlR2 (1)式中：B-空間點的磁感應強度，其方向垂直于直導線與空間點構成的平面；0-真空磁導率；I-導線的電流強度；l-導線長度；R-源點到

2、場點的距離；eR-R方向的單位矢量；為了計算具有一定長度的電流源在其周圍產(chǎn)生的磁場，建立如圖1坐標系，并用畢奧-沙伐定律的積分式：B=04IeRdlR2; (2)電流的方向Ii（x方向），場點的坐標P（0,0，Z）=Zk;而導線上的點可以表述為（X，Y，0）=Xi+Yj;則有:eR=-Xi-Yj+ZkR (3)代入上式；利用dx(ax2+c)3/2=xcax2+c+l; （4）計算可得：Br=0IZ4r02(ar02+a2+br02+a2); (5)Br=0IZ4r02(sin2+sin1); (6)Bz=0IY4r02(ar02+a2+br02+a2); (7)Bz=0IY4r02(sin2

3、+sin1); (8)對于一般情況而言：r0-該空間點到帶電導線的垂直距離，即PQ，r0=Y2+X2; （9） a-導線底端到該空間點在導線上投影間的距離；即QA；b-導線頂端到該空間點在導線上投影間的距離；即QB；Y-r0在XOY平面的投影；即OQ；Z-r0在XOZ平面的投影；即OP。這樣空間點與其在導線和XOY平面的投影點構成以直角三角形POQ。矩形環(huán)流的磁場計算：分析矩形環(huán)流線圈在空間任一點的磁感應強度，本題采用疊加原理，考慮在空間中矩形環(huán)流四條邊的疊加效果，從而可以得到在Z方向上的磁感應強度的矢量和為：Bz=B1z+B2z+B3z+B4z; （10）式中B1z，B2z，B3z，B4z分

4、別表示的是矩形線圈四條邊對空間點產(chǎn)生的Z方向上的磁感應強度。對于1邊產(chǎn)生的磁場，做如圖2所示圖形，依據(jù)前一部分的推導可以得到該條邊產(chǎn)生的Z方向上的磁感應強度，其他三邊相同；Bz=B1z+B2z+B3z+B4z （11） =140I（b-X)(b-X)2+Z2a+Y(a+Y)2+(b-X)2+Z2+a-Y(a-Y)2+(b-X)2+Z2+ 0I（a-Y)(a-Y)2+Z2b+X(a-Y)2+(b+X)2+Z2+b-X(a-Y)2+(b-X)2+Z2+ 0I（b+X)(b+X)2+Z2a+Y(a+Y)2+(b+X)2+Z2+a-Y(a-Y)2+(b+X)2+Z2+ 0I（a+Y)(a+Y)2+Z2

5、b+X(a+Y)2+(b+X)2+Z2+b-X(a+Y)2+(b-X)2+Z2）; （12）式中：I-矩形環(huán)流的通電電流強度；P-空間點，坐標（X，Y，Z）；矩形線圈的長，寬為2a,2b;X方向上的磁感應強度由1,3邊產(chǎn)生；Y 方向上的磁感應強度由2,4邊產(chǎn)生；By=B1y+B2y+B3y+B4y=B2y+B4y （13） =140IZ(a-Y)2+Z2b+X(a-Y)2+(b+X)2+Z2+b-X(a-Y)2+(b-X)2+Z2+14 0IZ(a+Y)2+Z2b+X(a+Y)2+(b+X)2+Z2+b-X(a+Y)2+(b-X)2+Z2; （14）Bx=B1x+B2x+B3x+B4x=B1x

6、+B3x （15） =140IZ(b-X)2+Z2a+Y(a+Y)2+(b-X)2+Z2+a-Y(a-Y)2+(b-X)2+Z2+14 0IZ(b+X)2+Z2a+Y(a+Y)2+(b+X)2+Z2+a-Y(a-Y)2+(b+X)2+Z2; （16）實驗結果： 1.計算矩形線圈空間任意一點磁感應強度的大小：對于x等于零，分別給出y,z的范圍，和線圈的邊長2a,2b以及線圈中流過的電流大小i,分別畫出空間各點磁感應強度的By,Bz的大小在空間的分布：實驗結果如圖3所示。2.計算矩形線圈空間任意一點磁感應強度的大小：對于y等于零，分別給出x,z的范圍，和線圈的邊長2a,2b以及線圈中流過的電流大小

7、i,分別畫出空間各點磁感應強度的Bx,Bz的大?。簩嶒灲Y果如圖4所示。 3.計算矩形線圈空間任意一點磁感應強度的大?。簩τ趜等于零，分別給出x,y的范圍，和線圈的邊長2a,2b以及線圈中流過的電流大小i,分別畫出空間各點磁感應強度的Bx,By的大?。簩嶒灲Y果如圖5所示。 圖3 x=0時，by,bz的大小在空間的分布 圖4 y=0時，bx,bz的大小在空間的分布 圖5 z=0時，bx,by的大小在空間的分布2. 計算任意位置兩矩形線圈互感系數(shù)的計算為計算任意位置兩線圈互感系數(shù)，需設計如圖6所示：根據(jù)互感計算定義，對于邊長為2a,2b的兩矩形電流環(huán)，分別建立如圖所示直角坐標系。任意位置時，由聶以曼

8、公式知其互感系數(shù)：M=04l2l1 dl1dl2R; （17）將電流環(huán)的積分元進行直角坐標系變換得：M=04l2l1 （dx1,dy1,dz1）(dx2,dy2,dz2)R = 04l2l1 dx1dx2+dy1dy2+dz1dz2R （18）其中：X2=Tx+X; （19）Y2=Ty+Y; （20）Z2=Tz; （21）Z1=0； （22）Tx,Ty,Tz為上方矩形線圈的中心坐標；R=（X1-Tx+X')2+(Y1-Ty-Y')2+(Z1-Tz)2; （23）(-a,b,0) X1Y1Z1h(TX,TY,TZ)X2Y2Z2(a,b,0)(a,-b,0) (Tx,Ty,Tz)(

9、-a,-b,0)(0,0,0)(Tx+a1,Ty-b1,Tz) (Tx-a1,Ty-b1,Tz) (Tx+a1,Ty+b1,Tz) (Tx-a1,Ty+b1,Tz) 圖 6 兩個方形線圈計算示意圖則：任意位置的兩矩形電流線圈的互感系數(shù)可寫為：M=04（-aadx1l2dx2R+aadx1l2dx2R+a-adx1l2dx2R+-a-adx1l2dx2R+-bbdy1l2dy2R+bbdy1l2dy2R+b-bdy1l2dy2R+-b-bdy1l2dy2R） =04×(-aadx1-ccdx'(x1-Tx+x')2+(b-Ty+d)2+Tz2+-aadx1c-cdx&#

10、39;(x1-Tx+x')2+(b-Ty-d)2+Tz2+a-adx1-ccdx'(x1-Tx+x')2+(-b-Ty+d)2+Tz2+a-adx1c-cdx'(x1-Tx+x')2+(-b-Ty-d)2+Tz2+-bbdy1-dddy'(a-Tx+c)2+(y1-Ty+y')2+Tz2+-bbdy1d-ddy'(a-Tx-c)2+(y1-Ty+y')2+Tz2 +b-bdy1-dddy'(-a-Tx+c)2+(y1-Ty+y')2+Tz2+b-bdy1d-ddy'(-a-Tx-c)2+(y1-Ty

11、+y')2+Tz2); （24） 實驗結果：1. 兩方型線圈共軸時，線圈流過的電流大小N1，N2分別為1A，線圈的邊長分別為2a=8m、2b=10m，另一線圈的邊長為2c=4m,2d=4m，線圈的中心點坐標Tx=0,Ty=0,Tz=h,線圈沿Z軸移動時，兩線圈的互感計算結果。表1 共軸時互感值h和Tz關系Tz/m246810121416互感值H/h(e-007)16.2748.92144.86862.80041.71001.10290.745480.52424圖7 共軸時互感值h和Tz關系2. 兩方型線圈不共軸時，線圈流過的電流大小N1，N2分別為1A，線圈的邊長分別為2a=8m、2b

12、=10m，另一線圈的邊長為2c=4m,2d=4m，線圈的中心點坐標Tx=0,Ty=y,Tz=10,線圈沿Y軸移動時，兩線圈的互感計算結果。方形線圈與方形線圈互感測試(理論數(shù)據(jù))：表2 一般情況下矩形與矩形互感仿真數(shù)據(jù)距離（m）048121620242832364044（E-007H）17.0712.725.301.14-0.16-0.42-0.4-0.33-0.26-0.20-0.16-0.13方形線圈與方形線圈互感測試(實驗數(shù)據(jù))：表3 實驗情況下矩形與矩形互感仿真數(shù)據(jù)距離（m）048121620242832364044（E-007H）1.71001.27305.28261.1417-1.6

13、380-0.41886-0.39564-0.32063-0.24998-0.19393-0.15149-0.11966 圖8 不共軸時互感隨Y的變化附錄：Matlab仿真程序： 1.計算矩形線圈空間任意一點磁感應強度的大?。簩τ趚等于零，分別給出y,z的范圍，和線圈的邊長2a,2b以及線圈中流過的電流大小i,分別畫出空間各點磁感應強度的By,Bz的大小：clc;clear;close all;x=0;y=-2:0.1:2;z=-2:0.1:2;a=3;b=3;i=5;y,z=meshgrid(y,z);u0=4*pi*10-7;r0=(a+y).2+(b-x).2+z.2;r1=(a-y).2

14、+(b-x).2+z.2;r2=(a-y).2+(b+x).2+z.2;r3=(a-y).2+(b-x).2+z.2;r00=sqrt(r0);r11=sqrt(r1);r22=sqrt(r2);r33=sqrt(r3);m0=(b-x).2+z.2;m1=(a-y).2+z.2;m2=(b+x).2+z.2;m3=(a+y).2+z.2;b2y=z.*(b+x)./r22+(b-x)./r11);b4y=z.*(b+x)./r33+(b-x)./r00);by=u0*i*(b2y./m1+b4y./m3)./(4*pi);b1z=(b-x).*(a+y)./r00+(a-y)./r11);b

15、2z=(a-y).*(b+x)./r22+(b-x)./r11);b3z=(b+x).*(a+y)./r33+(a-y)./r22);b4z=(a+y).*(b+x)./r33+(b-x)./r00);bz=u0*i*(b1z./m0+b2z./m1+b3z./m2+b4z./m3)./(4*pi);figure(1);subplot(211)mesh(y,z,by);subplot(212)mesh(y,z,bz);2.計算矩形線圈空間任意一點磁感應強度的大?。簩τ趛等于零，分別給出x,z的范圍，和線圈的邊長2a,2b以及線圈中流過的電流大小i,分別畫出空間各點磁感應強度的Bx,Bz的大?。?/p>

16、clc;clear;close all;x=-2:0.1:2;y=0;z=-2:0.1:2;a=3;b=3;i=5;x,z=meshgrid(x,z);u0=4*pi*10-7;r0=(a+y).2+(b-x).2+z.2;r1=(a-y).2+(b-x).2+z.2;r2=(a-y).2+(b+x).2+z.2;r3=(a-y).2+(b-x).2+z.2;r00=sqrt(r0);r11=sqrt(r1);r22=sqrt(r2);r33=sqrt(r3);m0=(b-x).2+z.2;m1=(a-y).2+z.2;m2=(b+x).2+z.2;m3=(a+y).2+z.2;b1x=z.*

17、(a+y)./r00+(a-y)./r11);b3x=z.*(a+y)./r33+(a-y)./r22);bx=u0*i*(b1x./m0+b3x./m2)./(4*pi);b1z=(b-x).*(a+y)./r00+(a-y)./r11);b2z=(a-y).*(b+x)./r22+(b-x)./r11);b3z=(b+x).*(a+y)./r33+(a-y)./r22);b4z=(a+y).*(b+x)./r33+(b-x)./r00);bz=u0*i*(b1z./m0+b2z./m1+b3z./m2+b4z./m3)./(4*pi);figure(1);subplot(211)mesh(

18、x,z,bx);subplot(212)mesh(x,z,bz);3.計算矩形線圈空間任意一點磁感應強度的大?。簩τ趜等于零，分別給出x,y的范圍，和線圈的邊長2a,2b以及線圈中流過的電流大小i,分別畫出空間各點磁感應強度的Bx,By的大?。篶lc;clear;close all;x=-2:0.1:2;y=-2:0.1:2;z=3;a=3;b=3;i=5;x,y=meshgrid(x,y);u0=4*pi*10-7;r0=(a+y).2+(b-x).2+z.2;r1=(a-y).2+(b-x).2+z.2;r2=(a-y).2+(b+x).2+z.2;r3=(a-y).2+(b-x).2+z

19、.2;r00=sqrt(r0);r11=sqrt(r1);r22=sqrt(r2);r33=sqrt(r3);m0=(b-x).2+z.2;m1=(a-y).2+z.2;m2=(b+x).2+z.2;m3=(a+y).2+z.2;b1x=z.*(a+y)./r00+(a-y)./r11);b3x=z.*(a+y)./r33+(a-y)./r22);bx=u0*i*(b1x./m0+b3x./m2)./(4*pi);b2y=z.*(b+x)./r22+(b-x)./r11);b4y=z.*(b+x)./r33+(b-x)./r00);by=u0*i*(b2y./m1+b4y./m3)./(4*p

20、i);figure(1);subplot(211)mesh(x,y,bx);subplot(212)mesh(x,y,by);4.計算空間兩平行矩形線圈互感，一線圈邊長為2a,2b,線圈流過電流大小為N1,線圈的中心點坐標為(0,0,0)；另一線圈邊長為2c,2d，線圈流過電流大小為N2,線圈的中心點坐標為(Tx,Ty,Tz);對于給定的各參量計算相應的兩線圈間的互感。clc;clear;close all;syms x1 x2 y1 y2; Tz=10;Tx=0:4:40;Ty=0;a=4;b=5;c=2;d=2;N1=1;N2=1;r1=(x1-(Tx+x2).2+(b-(Ty+d).2+Tz.