三角函數的圖像與性質專題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第 講 三角函數的圖像與性質 時間： 年 月 日 劉老師 學生簽名： 一、 興趣導入二、 學前測試 1已知角的終邊上一點的坐標為，則角的最小正角是（ ）A、 B、 C、 D、解析D 角在第四象限且2若是第二象限的角，且，則是（ ）A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角解析C 當時，在第一象限；當時，在第三象限；而，在第三象限；3已知角的終邊與函數決定的函數圖象重合，求= 解析:在角的終邊上取點故=4.（湛江市實驗中學2010屆高三第四次月考）已知，且角在第一象限，那么2在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：B，故2在第二象限.三

2、、方法培養(yǎng)1“五點法”描圖(1)ysin x的圖象在0,2上的五個關鍵點的坐標為 (0,0)(，0)(2，0) (2)ycos x的圖象在0,2上的五個關鍵點的坐標為 (0,1)，(，1)，(2，1) 2.三角函數的圖象和性質函數性質ysin xycos xytan x定義域RRx|xk，kZ圖象 值域1,11,1R對稱性對稱軸：_ xk(kZ)_ _；對稱中心：_ (k，0)(kZ)_ _對稱軸： xk(kZ)_；對稱中心：_(k，0) (kZ)_ 對稱中心：_ (kZ) _周期2_2單調性單調增區(qū)間_2k，2k(kZ)_；單調減區(qū)間2k，2k (kZ) _單調增區(qū)間2k，2k (kZ) _

3、；單調減區(qū)間2k，2k(kZ)_單調增區(qū)間_(k，k)(kZ)_ 奇偶性奇函數偶函數奇函數3.一般地對于函數f(x)，如果存在一個非零的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(xT)f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期，把所有周期中存在的最小正數，叫做最小正周期(函數的周期一般指最小正周期)對函數周期性概念的理解周期性是函數的整體性質，要求對于函數整個定義域范圍的每一個x值都滿足f(xT)f(x)，其中T是不為零的常數.如果只有個別的x值滿足f(xT)f(x)，或找到哪怕只有一個x值不滿足f(xT)f(x)，都不能說T是函數f(x)的周期.函數yAsi

4、n(x)和yAcos(x)的最小正周期為 ，ytan(x)的最小正周期為 .4.求三角函數值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性；關于正、余弦函數的有界性由于正余弦函數的值域都是1,1，因此對于xR，恒有1sin x1，1cos x1，所以1叫做ysin x，ycos x的上確界，1叫做ysin x，ycos x的下確界.(2)形式復雜的函數應化為yAsin(x)k的形式逐步分析x的范圍，根據正弦函數單調性寫出函數的值域；含參數的最值問題，要討論參數對最值的影響.(3)換元法：把sin x或cos x看作一個整體，可化為求函數在區(qū)間上的值域(最值)問題利用換元法求三角函

5、數最值時注意三角函數有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x(|t|1)，則y(t2)211，解法錯誤.5.求三角函數的單調區(qū)間時，應先把函數式化成形如yAsin(x) (>0)的形式，再根據基本三角函數的單調區(qū)間，求出x所在的區(qū)間.應特別注意，應在函數的定義域內考慮.注意區(qū)分下列兩題的單調增區(qū)間不同;利用換元法求復合函數的單調區(qū)間(要注意x系數的正負號) (1)ysin；(2)ysin.專題1：三角函數的單調性與周期性函數yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為 ，ytan(x)的最小正周期為 .例1變式練習1(2011·南平月考)(1)求函數ysin，

6、x，的單調遞減區(qū)間；(2)求函數y3tan的周期及單調區(qū)間解(1)由ysin，得ysin，由2k2x2k，得kxk，kZ，又x，x，x，x.函數ysin，x，的單調遞減區(qū)間為，.(2)函數y3tan的周期T4.由y3tan得y3tan，由k<<k得4k<x<4k，kZ，函數y3tan的單調遞減區(qū)間為 (kZ)專題2：與三角函數有關的函數定義域問題例2求下列函數的定義域：(1)ylgsin(cos x)； (2)y.解(1)要使函數有意義，必須使sin(cos x)>0.1cos x1，0<cos x1.利用單位圓中的余弦線OM，依題意知0<OM1，OM

7、只能在x軸的正半軸上，其定義域為 x|2k<x<2k，kZ.(2)要使函數有意義，必須使sin xcos x0.利用圖象.在同一坐標系中畫出0,2上ysin x和ycos x的圖象，如圖所示.在0,2內，滿足sin xcos x的x為，再結合正弦、余弦函數的周期是2，所以定義域為.變式訓練2(1)求函數的定義域.要使函數有意義則利用數軸可得圖圖函數的定義域是x|0<x<或x4.專題3：三角函數的圖像及變換例3已知函數y2sin.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五點法”作出它在一個周期內的圖象；(3)說明y2sin的圖象可由ysin x的圖象經過怎樣的變換而得到解

8、題導引(1)作三角函數圖象的基本方法就是五點法，此法注意在作出一個周期上的簡圖后，應向兩邊伸展一下，以示整個定義域上的圖象；(2)變換法作圖象的關鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對于后者可利用x來確定平移單位解(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，則y2sin2sin X.列表：XX02ysin X01010y2sin02020描點連線，得圖象如圖所示：(3)將ysin x的圖象上每一點的橫坐標x縮短為原來的倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)sin 2x的圖象；再將ysin 2x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)sin 2sin的圖象；再將ysin的圖象上每一點的橫坐標保持不變

9、，縱坐標伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)2sin的圖象變式練習3設f(x)cos2xsin xcos xsin2x (xR)(1)畫出f(x)在上的圖象；(2)求函數的單調增減區(qū)間；(3)如何由ysin x的圖象變換得到f(x)的圖象？解y·sin 2x·1sin 2xcos 2x1sin.(1)(五點法)設X2x，則xX，令X0，2，于是五點分別為，描點連線即可得圖象，如下圖(2)由2k2x2k，kZ，得單調增區(qū)間為，kZ.由2k2x2k，kZ，得單調減區(qū)間為，kZ.(3)把ysin x的圖象向右平移個單位；再把橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)；最后把所得圖象向上平移1個單位即

10、得ysin1的圖象4、 強化練習一、 選擇題 1(2010·十堰月考)函數yAsin(x) (A，為常數，A>0，>0)在閉區(qū)間，0上的圖象如圖所示，則為 ()A1B2C3D42函數ysin圖象的對稱軸方程可能是 ()AxBxCxDx3(2010·湖北)函數f(x)sin，xR的最小正周期為 ()A.BC2D44(2010·北京海淀高三上學期期中考試)函數f(x)(sin xcos x)2cos 2x的最小正周期為 ()A4B3C2D5如果函數y3cos(2x)的圖象關于點中心對稱，那么|的最小值為 ()A.B.C.D.1C2.D3.D4.D5.A五、

11、訓練輔導專題4：求yAsin(x)的解析式例4已知函數f(x)Asin(x) (A>0，>0，|<，xR)的圖象的一部分如圖所示求函數f(x)的解析式解題導引確定yAsin(x)b的解析式的步驟：(1)求A，b.確定函數的最大值M和最小值m，則A，b.(2)求.確定函數的周期T，則.(3)求參數是本題的關鍵，由特殊點求時，一定要分清特殊點是“五點法”的第幾個點解由圖象可知A2，T8.方法一由圖象過點(1,2)，得2sin2，sin1.|<，f(x)2sin.方法二點(1,2)對應“五點”中的第二個點×1，f(x)2sin.變式練習4(2011·寧波模

12、擬)已知函數f(x)Asin(x) (A>0，>0，|<)的圖象與y軸的交點為(0,1)，它在y軸右側的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為(x0,2)和(x02，2)(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)若銳角滿足cos ，求f(4)的值解(1)由題意可得：A2，2，即4，f(x)2sin，f(0)2sin 1，由|<，.f(x)2sin(x)f(x0)2sin2，所以x02k，x04k (kZ)，又x0是最小的正數，x0.(2)f(4)2sinsin 2cos 2，cos ，sin ，cos 22cos21，sin 22sin cos ，f(4)×.

13、六、家庭作業(yè)布置： 家長簽字：_ （請您先檢查確認孩子的作業(yè)完成后再簽字）附件：堂堂清落地訓練 （堅持堂堂清，學習很爽心） 1. 1函數y 的定義域為()A.B.，kZC.，kZDR2已知函數f(x)sin(xR)，下面結論錯誤的是()A函數f(x)的最小正周期為2B函數f(x)在區(qū)間上是增函數C函數f(x)的圖象關于直線x0對稱D函數f(x)是奇函數3(2013·廣州綜合測試)如果函數f(x)sin(>0)的兩個相鄰零點之間的距離為，則的值為()A3B6C12 D244(2012·山東高考)函數y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為()A2 B0C1 D15已知

14、函數f(x)2sin(2x)(|<)，若f2，則f(x)的一個單調遞減區(qū)間是()A. B.C. D.6已知函數f(x)2sin x(>0)在區(qū)間上的最小值是2，則的最小值等于()A. B.C2 D37函數ycos的單調減區(qū)間為_8(2012·廣州聯考)定義在R上的函數f(x)既是偶函數又是周期函數，若f(x)的最小正周期是，且當x時，f(x)sin x，則f的值為_9如果函數y3cos(2x)的圖象關于點中心對稱，那么|的最小值為_10設f(x).(1)求f(x)的定義域；(2)求f(x)的值域及取最大值時x的值11(2012·佛山期中)已知函數f(x)2sin

15、(x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值12(2012·北京高考)已知函數f(x).(1)求f(x)的定義域及最小正周期；(2)求f(x)的單調遞增區(qū)間1選Ccosx0，得cos x，2kx2k，kZ.2選Dysincos x，T2，在上是增函數，圖象關于y軸對稱，為偶函數3選C由正弦函數的性質可知，兩個相鄰零點之間的距離為周期的一半，即該函數的周期T2×，故T，解得12.4選A當0x9時，sin 1，所以函數的最大值為2，最小值為，其和為2.5選C由f2，得f2sin2sin2，所以sin1.因為|<，所以.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.6選Bx，則x，要使函數f(x)在上取得最小值2，則或，得，故的最小值為.7解析：由ycoscos2x得2k2x2k(kZ)，故kxk(kZ)所以函數的單調減區(qū)間為(kZ)答案：(kZ)8解析：fffsin.答案：9解析：ycos x的對稱中心為(kZ)，由2×k(kZ)，得k(kZ)當k2時，|min.答案：10解：(1)由12sin x0，根據正弦函數圖象知：定義域為xx2k，kZ.(2)1sin x1，112sin x3，12sin x0，012sin x3，f(x)的值域為0，當x2k，kZ時，f(x)取得最大值11解：(1)f(x