復合函數(shù)的零根探究參考模板

1、復合函數(shù)的零根探究例1.已知函數(shù) f(x)=,求函數(shù)y=f(f(x)+1的零根個數(shù)。例2.已知函數(shù)y=（k0）,若函數(shù)y=f(f(x)+1的零點個數(shù)是4，則k的取值范圍為 例3.已知定義在（0，+）上的單調(diào)函數(shù)f(x),若對任意x（0，+）都有f(f(x)+)=3,則方程f(x)=2+的解集為 例4. 已知函數(shù)f(x)=x+-2，如果關(guān)于x的方程f(|)+t()=0有三個相異的實數(shù)根，求t的范圍。例5已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)存在零點，且對任意m，nR都滿足f(mf(m)+f(n)=+n，若關(guān)于x的方程|f(f(x)-3|=1-(a>0，a1)恰有三個不同的根，求a的取值

2、范圍。例6。已知函數(shù)y=f(x)是定義域R的偶函數(shù)，當x0時，f(x)=，若關(guān)于x的方程式f(x)2+af(x)+=0，a,bR有且僅有8個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是 例7.(2015年南通二模第19題第三問）設，函數(shù)當時，求函數(shù)零點的個數(shù) 8。設定義在R上的函數(shù)若關(guān)于x的方程c0有3個不同的實數(shù)解，則 1 / 9復合函數(shù)的零根探究對于函數(shù)y=f(x)與y=g(x)稱函數(shù)y=f(g(x)為函數(shù)y=f(x)對y=g(x)的復合函數(shù),可以看作由函數(shù)y=f(u)與u=g(x)復合而成，對于函數(shù)y=f(x),我們把方程f(x)=0的實數(shù)根x叫做函數(shù)y=f(x)的零點。復合函數(shù)和零點都是高中函數(shù)的

3、重要內(nèi)容，這部分內(nèi)容一直是學生難以理解和難以掌握的內(nèi)容，下面就復合函數(shù)的零點問題作一探究。例1. 已知函數(shù) f(x)=,求函數(shù)y=f(f(x)+1的零根個數(shù)。分析一：函數(shù)y=f(x)為分段函數(shù)，用分段方法求出y=f(f(x)的表達式，進而求解。解法一：(1)當x0時f(x)=x+1,y=f(f(x)+1=f(x+1)+1,當x+10即x1時y=f(x+1)+1=x+1+1=x+2=0,所以2；當x+1>0即-1<x0時，y=f(x+1)+1+10，所以。110xy圖（1）-1（2）當x>0時f(x)=,y=f(f(x)+1=f()+1,當0即0x1時y=f()+1=

4、+2=0,所以；當0即x>1時y=f()+1=+1=0,所以。綜上所述函數(shù)y=f(f(x)+1的零根有4個。分析二：可以作出y=f(x)圖象，用數(shù)形結(jié)合的方法解決此問題。解法二：作出函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖（1）所示由y=f(f(x)+1=0得f(f(x)=-1， 由圖象知：f(x)=-1時x=-2或x=,由f(x)=-2或f(x)=結(jié)合圖象知各有兩個解，綜上所述函數(shù)y=f(f(x)+1的零根有4個。1k0x圖（2）-1y例2. 已知函數(shù)y=（k0）,若函數(shù)y=f(f(x)+1的零點個數(shù)是4，則k的取值范圍為 分析：由于本題為填空題，可采用圖象法解決。解：（1）先畫出k>0時y

5、=f(x)的圖象，如圖（2）所示，由y=f(f(x)+1=0得f(f(x)=-1,由圖象知：f(x)=-1時x=或x=,k>0,<0, 由圖象知：f(x)= 必有兩個解；f(x)= 兩解時才能保證函數(shù)y=f(f(x)+1的零點個數(shù)是4個，要保證函數(shù)f(x)= 兩解必有：k。圖（3）1k0x-1y（2）再畫出k<0時y=f(x)的圖象，如圖（3）所示，由y=f(f(x)+1=0得f(f(x)=-1,由圖象知：當k>-1時直線 f(x)=-1與y=f(x)的圖象只有一個交點，無法滿足題意要求，只有當k-1時直線 f(x)=-1與y=f(x)的圖象有兩個交點，其交點橫坐標為x

6、=或x=,由圖象知：f(x)= 要有兩個解，必須滿足k，化簡得：恒成立；f(x)= 恒有兩解；當k-1時函數(shù)y=f(f(x)+1的零點個數(shù)是4個。綜上所述：k的范圍為k-1 或k例3.已知定義在（0，+）上的單調(diào)函數(shù)f(x),若對任意x（0，+）都有f(f(x)+)=3,則方程f(x)=2+的解集為 解：令f(x)+c，則f(c)=3,在上式中令x=c，則f(c)+=c，c-3，解得c=2，故f(x)=2，22+，在同一坐標系中作出函數(shù)y=和y=的圖象，可知這兩個圖象有2個交點，即（4，2）和（16，4），則方程f(x)=2+的解集為4，16例4. 已知函數(shù)f(x)=x+-2，如果關(guān)于x的方程

7、f(|)+t()=0有三個相異的實數(shù)根，求t的范圍。分析：此方程可看作是函數(shù)y=f(g(x)與g(x)= |復合而成，方程的根也可看作是函數(shù)的零點，此類問題的解決仍然采用數(shù)形結(jié)合方法。解：令|m，則f(m)+t(=0，m+-2+t(=0，去分母得：，此方程最多有兩個根，由函數(shù)m=|圖象（如圖（4）可知，方程的兩根必須有一根m 1，另一根0<m<1，才能保證原方程有三根，設g(m)= ，因此由根的分布知識得：解得：xm01圖（4）（4）例5已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)存在零點，且對任意m，nR都滿足f(mf(m)+f(n)=+n，若關(guān)于x的方程|f(f(x)-3|=1-(a>

8、;0，a1)恰有三個不同的根，求a的取值范圍。解：令函數(shù)y=f(x)的零點為m，即f(m)=0，對任意m，nR都滿足f(mf(m)+f(n)=+n，則f(f(n)=n恒成立，即f(f(x)=x，若關(guān)于x的方程|f(f(x)-3|=1-(a>0，a1)恰有三個不同的根，即|x-3|=1-(a>0，a1)恰有三個不同的實根。（1）當0<a<1時，函數(shù)y=|x-3|-1與y=-圖象如圖（5）所示，兩圖象只有兩個交點，所以不滿足條件。0124xy圖（6）y0124x圖（5）（2）當1<a<3時，函數(shù)y=|x-3|-1與y=-圖象如圖（6）所示，兩圖象只有一個交點，所

9、以不滿足條件。（3）當a>3時，函數(shù)y=|x-3|-1與y=-圖象如圖（6）所示，兩圖象有三個交點，（4）當a=3時，函數(shù)y=|x-3|-1與y=-圖象只有二個交點，不滿足條件。綜上所述，函數(shù)有三個零點時a的范圍為a>3-1yx0-22。圖（8）0124xy圖（7）例6.解：畫函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖（8）所示，要使方程有八個不同的解，必須使y=f(x)在x（-1，）上有兩個不同的解，轉(zhuǎn)化為根的分布問題來求解，結(jié)果為例7. 解：設， 令0xT=f(x)aT=t1T=t2T=t30Y=f(x)t-a則，第一步，令，所以，當時，判別式，解得，；當時，由得，即，解得； 第二步，易得，且，若，其中， 當時，記，因為對稱軸， ，且，所以方程有2個不同的實根； 當時，記，因為對稱軸， ，且，所以方程有1個實根， 從而方程有3個不同的實根； 若，其中，由知，方程有3個不同的實根； 若， 當時，記，因為對稱軸， ，且，所以方程有1個實根； 當時，記，因為對稱軸， ，且， 14分記，則故為上增函數(shù)，且， 所以有唯一解，不妨記為，且，若，即，方程有0個實根； 若，即，方程有1個實根；若，即，方程有2個實根， 所以，當時