數(shù)字信號(hào)處理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、數(shù)字信號(hào)處理輔導(dǎo)一、離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的時(shí)域分析（一） 離散時(shí)間信號(hào)（1）基本概念信號(hào)：信號(hào)傳遞信息的函數(shù)也是獨(dú)立變量的函數(shù)，這個(gè)變量可以是時(shí)間、空間位置等。連續(xù)信號(hào)：在某個(gè)時(shí)間區(qū)間，除有限間斷點(diǎn)外所有瞬時(shí)均有確定值。模擬信號(hào)：是連續(xù)信號(hào)的特例。時(shí)間和幅度均連續(xù)。離散信號(hào)：時(shí)間上不連續(xù)，幅度連續(xù)。常見離散信號(hào)序列。數(shù)字信號(hào)：幅度量化，時(shí)間和幅度均不連續(xù)。 （2）基本序列（課本第710頁(yè)）1）單位脈沖序列 2）單位階躍序列 3）矩形序列 4）實(shí)指數(shù)序列 5）正弦序列 6）復(fù)指數(shù)序列 （3）周期序列1）定義：對(duì)于序列，若存在正整數(shù)使則稱為周期序列，記為，為其周期。注意正弦周期序列周期性的判定（課本

2、第10頁(yè)）2）周期序列的表示方法：a.主值區(qū)間表示法b.模N表示法3）周期延拓設(shè)為N點(diǎn)非周期序列，以周期序列L對(duì)作無限次移位相加，即可得到周期序列，即當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，（4）序列的分解序列共軛對(duì)稱分解定理：對(duì)于任意給定的整數(shù)M，任何序列都可以分解成關(guān)于共軛對(duì)稱的序列和共軛反對(duì)稱的序列之和，即并且 （4）序列的運(yùn)算1）基本運(yùn)算運(yùn)算性質(zhì)描述序列相乘序列相加序列翻轉(zhuǎn) （將以縱軸為對(duì)稱軸翻轉(zhuǎn)）尺度變換 （序列每隔m-1點(diǎn)取一點(diǎn)形成的序列）用單位脈沖序列表示2）線性卷積：將序列以y軸為中心做翻轉(zhuǎn)，然后做m點(diǎn)移位，最后與對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘求和翻轉(zhuǎn)、移位、相乘、求和定義式： 線性卷積的計(jì)算：A、圖解 B、解析法 C、不

3、進(jìn)位乘法（必須掌握）3）單位復(fù)指數(shù)序列求和（必須掌握）如果，那么根據(jù)洛比達(dá)法則有可以結(jié)合作業(yè)題3.22進(jìn)行練習(xí)（5）序列的功率和能量能量：功率：（6）相關(guān)函數(shù)與隨機(jī)信號(hào)的定義運(yùn)算相同（二） 離散時(shí)間系統(tǒng)1系統(tǒng)性質(zhì)（1）線性性質(zhì)定義：設(shè)系統(tǒng)的輸入分別為和，輸出分別為和，即統(tǒng)的輸對(duì)于任意給定的常數(shù)、，下式成立則該系統(tǒng)服從線性疊加原理，為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。判定系統(tǒng)的線性性質(zhì)時(shí)，直接用定義（2）時(shí)不變性質(zhì)統(tǒng)的如果系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的運(yùn)算關(guān)系在整個(gè)運(yùn)算過程中不隨時(shí)間變化，則稱該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。即對(duì)任意給定的整數(shù)i，若下式成立：則稱該系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)，否則為時(shí)變系統(tǒng)。判定系統(tǒng)的時(shí)不變性質(zhì)時(shí)，直接用

4、定義（3）系統(tǒng)的因果性定義：如果系統(tǒng)n時(shí)刻的輸出序列只取決于n時(shí)刻及以前的輸入序列，而與n時(shí)刻以后的輸入序列無關(guān)，則稱該系統(tǒng)具有因果性質(zhì)，即系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，否則是非因果系統(tǒng)。離散時(shí)間LTI系統(tǒng)具有因果性的充要條件是：系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)滿足（4）系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義：對(duì)任意有界的輸入，系統(tǒng)的輸出都有界，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。離散時(shí)間LTI系統(tǒng)具有因果性的充要條件是：系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)滿足絕對(duì)可和，即（5）對(duì)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的描述（1）時(shí)域：差分方程（2）Z域：系統(tǒng)函數(shù)2信號(hào)過系統(tǒng)用線性卷積的相關(guān)知識(shí)計(jì)算，信號(hào)系統(tǒng)學(xué)的基本性質(zhì)可以套用二、離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析（一） 離散時(shí)間信號(hào)1

5、序列傅里葉變換（Sequence Fourier Transform）（即本書中的離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換）（1）定義SFT：ISFT：說明：1、物理意義：序列傅里葉變換本質(zhì)上是序列的一種分解，它將一般序列分解為無窮多個(gè)數(shù)字角頻率中的復(fù)指數(shù)序列。稱為序列的頻譜，其模稱為幅頻特性，其幅角稱為相頻特性。2、盡管序列是離散時(shí)間信號(hào)，但它的序列傅里葉變換對(duì)數(shù)字角頻率而言卻是連續(xù)函數(shù)，因此，序列的傅里葉變換是連續(xù)的。3、由上式可知，序列傅里葉變換是以為周期的周期函數(shù)，其原因正是由于對(duì)而言以為周期，即數(shù)字角頻率相差的所有單位復(fù)指數(shù)序列等價(jià)。因此，對(duì)的所有單位復(fù)指數(shù)序列只有一個(gè)周期。對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)，由于的

6、周期性，使得的整數(shù)倍都表示信號(hào)的直流分量，而的奇數(shù)倍表示信號(hào)的最高頻率。（2）性質(zhì)名稱性質(zhì)描述線性性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)頻移性質(zhì)共軛對(duì)稱性質(zhì)線性卷積性質(zhì)帕斯瓦爾定理相乘性質(zhì)序列乘以n（3）基本序列的傅里葉變換序列傅里葉變換112Z變換（不熟悉的復(fù)習(xí)信號(hào)系統(tǒng)相關(guān)內(nèi)容，或本書2.3相關(guān)內(nèi)容）（1）定義ZT：IZT：（2）性質(zhì)課本49頁(yè)表2.3.3（3）收斂域與基本序列Z變換課本45頁(yè)表2.3.1、表2.3.23. 離散時(shí)間信號(hào)Z變換與SFT的關(guān)系Z變換是由SFT推廣得到的，反過來，如果某序列的Z變換的收斂域包括，則也可以通過ZT求得序列的SFT。即上式表明，SFT正是序列的ZT在的值（二） 離散時(shí)間系統(tǒng)1.

7、系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性 當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域?yàn)樾∮趩挝粓A的某個(gè)圓的園外時(shí)，系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的。2.系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性若系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的，則H(z)的極點(diǎn)必定在單位圓內(nèi)。3.系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的影響1、對(duì)極點(diǎn)而言：當(dāng)單位圓上的點(diǎn)轉(zhuǎn)到某個(gè)極點(diǎn)附近時(shí)，在這附近出現(xiàn)峰值。極點(diǎn)越靠近單位圓，振幅特性的峰值越大，當(dāng)極點(diǎn)出現(xiàn)在單位圓上時(shí)，振幅特性將出現(xiàn)無窮大，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、對(duì)零點(diǎn)而言：當(dāng)單位圓上的點(diǎn)轉(zhuǎn)到某個(gè)零點(diǎn)附近時(shí)，在這附近出現(xiàn)谷點(diǎn)。當(dāng)零點(diǎn)出現(xiàn)在單位圓上時(shí)，振幅特性為零。零點(diǎn)可以位于單位圓外，不影響穩(wěn)定性。兩個(gè)概念1、最小相位系統(tǒng)：系統(tǒng)H

8、(z)的全部零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，某點(diǎn)在單位圓上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，系統(tǒng)的相位變化最小。2、最大相位系統(tǒng)：H(z)的全部零點(diǎn)在單位圓外，系統(tǒng)的相位變化最大。說明：處于坐標(biāo)原點(diǎn)的零極點(diǎn)不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)；利用零極點(diǎn)分析系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，僅對(duì)低階系統(tǒng)有效。（三） 離散時(shí)間信號(hào)與模擬（連續(xù)）時(shí)間信號(hào)1時(shí)域關(guān)系設(shè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，離散時(shí)間信號(hào)，則2頻域關(guān)系在時(shí)域?qū)π盘?hào)抽樣，其頻域的特征就是頻譜以采樣頻率為周期進(jìn)行周期延拓。一個(gè)域的離散必然導(dǎo)致另一個(gè)域的周期延拓一個(gè)域的周期延拓必然導(dǎo)致另一個(gè)域的離散對(duì)應(yīng)變量的關(guān)系：由于，所以三、離散傅里葉變換（DFT）（一） 離散傅里葉級(jí)數(shù)變換（DFST）說明：周期序列不滿足絕

9、對(duì)可和的條件，不適用于序列傅里葉變換的定義式，但是它可以展開成離散傅里葉級(jí)數(shù)（Discrete Fourier Series，DFS），利用離散傅里葉級(jí)數(shù)可以得到周期序列的離散傅里葉變換表示式。1.定義DFST：IDFST：注：1、周期單位復(fù)指數(shù)序列周期單位復(fù)指數(shù)序列對(duì)n、k而言都是以N為周期的，即2、周期為N的周期序列可以分解成N個(gè)周期復(fù)指數(shù)序列的和，這些周期復(fù)指數(shù)序列的數(shù)字角頻率為周，它們的幅度和相位由離散傅里葉級(jí)數(shù)決定。2.基本周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換時(shí)域序列離散傅里葉級(jí)數(shù)變換（DFST）113.周期序列的離散傅里葉變換可類比信號(hào)系統(tǒng)中周期信號(hào)的傅里葉變換，具體推導(dǎo)過程見課本76頁(yè)。

10、（二） 離散傅里葉變換（DFT）1.定義DFT：IDFT：要點(diǎn)：（1）DFT沒有實(shí)際的物理含義，但是可以理解為SFT的等間隔采樣，即（2）變換區(qū)間：0,N-1，有限長(zhǎng)N點(diǎn)（3）變換結(jié)果：與序列長(zhǎng)度N有關(guān)，當(dāng)N足夠大時(shí)，的包絡(luò)趨近于曲線（4）頻譜分析的意義：表示頻點(diǎn)的幅度譜線，如果是模擬信號(hào)的采樣，采樣間隔為T，則k與相應(yīng)的模擬頻率的關(guān)系為： 即。對(duì)模擬頻率域而言，N點(diǎn)DFT意味著頻域采樣間隔為。所以用DFT進(jìn)行譜分析時(shí)，稱為頻率分辨率。而NT表示時(shí)域采樣的區(qū)間長(zhǎng)度(即觀察時(shí)間或記錄長(zhǎng)度)，顯然為了提高分辨率就必須是記錄長(zhǎng)度足夠大。（5）DFT的隱含周期性1）DFT是SFT的等間隔采樣，而以為周

11、期；2）的周期性3）時(shí)域抽樣，頻域周期延拓；頻域采樣，時(shí)域周期延拓2.DFT的主要性質(zhì)性質(zhì)時(shí)域（）頻域（）線性性質(zhì)時(shí)域循環(huán)移位性質(zhì)頻域循環(huán)移位性質(zhì)時(shí)域循環(huán)卷積頻域循環(huán)卷積復(fù)共軛序列的DFT共軛對(duì)稱性帕斯瓦爾定理3.基本序列的離散傅里葉變換時(shí)域序列離散傅里葉級(jí)數(shù)變換（DFST）14.頻域采樣定理 設(shè)序列的傅里葉變換為，在區(qū)間內(nèi)對(duì)進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣（采樣間隔為）得到序列，且對(duì)應(yīng)的IDFT為，則 這是因?yàn)?，在頻域內(nèi)對(duì)等間隔采樣，導(dǎo)致時(shí)域序列周期延拓，并且在區(qū)間采樣得到的序列的IDFT是原序列以N為周期進(jìn)行周期延拓后的主值序列。若序列的長(zhǎng)度為M，那么只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)時(shí)，才有，此時(shí)才能由頻域采樣序列恢

12、復(fù)。（三）連續(xù)信號(hào)傅里葉變換（CFT）、序列傅里葉變換（SFT）、離散傅里葉級(jí)數(shù)變換（DFST）、離散傅里葉變換（DFT）的關(guān)系各個(gè)變量對(duì)應(yīng)關(guān)系：，編者按：為什么要有DFT？我們從外界接收到的信號(hào)都是連續(xù)信號(hào)，但是在現(xiàn)代人類都用計(jì)算機(jī)對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，而計(jì)算機(jī)只能識(shí)別離散的值，所以需要對(duì)接收到的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣截短得到離散的序列。但是，一個(gè)域的離散必然導(dǎo)致另一個(gè)域的周期延拓，當(dāng)對(duì)時(shí)域的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣時(shí)，其頻譜必然進(jìn)行周期延拓，所以序列的傅里葉變換是連續(xù)周期的，這樣計(jì)算機(jī)就沒法對(duì)其頻譜進(jìn)行分析。這時(shí)，對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行周期延拓，又會(huì)使其頻譜離散化。經(jīng)過兩個(gè)域的分別離散化和周期延拓，這時(shí)得到的就是DF

13、ST的對(duì)應(yīng)關(guān)系。那么，分別對(duì)兩個(gè)域取主值，就可得到適合計(jì)算機(jī)處理的時(shí)域和頻域序列。DFT就應(yīng)運(yùn)而生。（一家之言，僅供參考）（四） 卷積的計(jì)算1.循環(huán)卷積與線性卷積（有限長(zhǎng)序列的卷積） 設(shè)有限長(zhǎng)序列的長(zhǎng)度為N，的長(zhǎng)度為M，它們線性卷積結(jié)果為，長(zhǎng)度為；循環(huán)卷積結(jié)果為，長(zhǎng)度為。則兩類卷積有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：（設(shè)）（1）當(dāng)時(shí)（2）當(dāng)時(shí)（3）當(dāng)時(shí)2.重疊保留法和重疊相加法（無限長(zhǎng)序列得卷積）（1）重疊保留法 基本思路：將兩個(gè)序列中長(zhǎng)度較長(zhǎng)或無限長(zhǎng)的序列均勻分段，計(jì)算各個(gè)有限長(zhǎng)的子序列與另一短序列的線性卷積，最后將結(jié)果重疊相加起來輸出。（重疊的是卷積結(jié)果） 設(shè)有限長(zhǎng)序列的長(zhǎng)度為M，為無限長(zhǎng)序列，計(jì)算步驟：1）

14、將均勻分段，每段長(zhǎng)度為N2）計(jì)算每段子序列與短序列的線性卷積設(shè)，即計(jì)算與的線性卷積3）將各子序列線性卷積的結(jié)果移位后相加得總輸出 令，則（2）重疊保留法 基本思路：將兩個(gè)序列中長(zhǎng)度較長(zhǎng)或無限長(zhǎng)的序列在時(shí)間上有重疊地分段，計(jì)算各個(gè)有限長(zhǎng)的子序列與另一短序列的線性卷積，最后保留每段結(jié)果中間N個(gè)點(diǎn)，相加輸出。（重疊的是較長(zhǎng)的序列） 設(shè)有限長(zhǎng)序列的長(zhǎng)度為M，為無限長(zhǎng)序列，計(jì)算步驟：1）將有重疊地分段（每一段由kN向前重疊M-1個(gè)點(diǎn)），每段長(zhǎng)度為N+M-12）計(jì)算每段子序列與短序列的線性卷積設(shè)，即計(jì)算與的線性卷積，的長(zhǎng)度為N+2M-2，將前M-1個(gè)點(diǎn)去掉，后M-1個(gè)點(diǎn)去掉，保留中間N個(gè)點(diǎn)得3）將各子序列

15、線性卷積的結(jié)果移位后相加得總輸出 即說明：重疊保留和相加法必須掌握，公式可以不必記憶，明白其算法思想，會(huì)計(jì)算即可。而且計(jì)算時(shí)注意三步走（寫在卷子上），否則答案正確也沒分（與數(shù)學(xué)歸納法一樣，有固定格式）。（五） 用DFT進(jìn)行頻譜分析的誤差1.泄漏現(xiàn)象產(chǎn)生原因：用DFT進(jìn)行分析時(shí)，隱含對(duì)序列在時(shí)域加窗截?cái)?，使得信?hào)的原有頻率的能量向其他頻率上泄漏減少方法：（1）加大窗長(zhǎng)，增加實(shí)際DFT計(jì)算的點(diǎn)數(shù)；（2）變換時(shí)域所加窗函數(shù)的形式2.柵欄現(xiàn)象產(chǎn)生原因：DFT只計(jì)算的頻譜減少方法：在序列末尾加零以增加DFT的點(diǎn)數(shù)3.混疊現(xiàn)象產(chǎn)生原因：序列截?cái)嘁约安蓸宇l率不完全滿足采樣定理減少方法：以較高的采樣頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，之后序列通過數(shù)字低