西工大、西交大自動控制原理 第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法_02_繪制法則

1、本章要求本章要求1 1 理解根軌跡的基本概念；（如：根軌跡；根理解根軌跡的基本概念；（如：根軌跡；根 軌跡法；閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間軌跡法；閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間 的關(guān)系；根軌跡方程等。）的關(guān)系；根軌跡方程等。）2 2 能夠熟練地應(yīng)用根軌跡的繪制法則繪制系統(tǒng)能夠熟練地應(yīng)用根軌跡的繪制法則繪制系統(tǒng) 的（概略）根軌跡；的（概略）根軌跡；3 3 學(xué)會等效開環(huán)傳遞函數(shù)的求取方法，能夠熟學(xué)會等效開環(huán)傳遞函數(shù)的求取方法，能夠熟 練地繪制系統(tǒng)的參量根軌跡；練地繪制系統(tǒng)的參量根軌跡；第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4 4 能夠熟練地繪制零度根軌跡；能夠熟練地繪制零度根軌跡；5 5 能夠根據(jù)系統(tǒng)根軌跡分

2、析和計算系統(tǒng)的性能夠根據(jù)系統(tǒng)根軌跡分析和計算系統(tǒng)的性 能指標(biāo)。能指標(biāo)。 本章要求本章要求第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法一根軌跡的基本概念一根軌跡的基本概念二根軌跡繪制的基本法則二根軌跡繪制的基本法則主要內(nèi)容主要內(nèi)容三廣義根軌跡三廣義根軌跡第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法四系統(tǒng)的性能分析四系統(tǒng)的性能分析第一節(jié)根軌跡的基本概念根軌跡根軌跡j5 . 0K210K0K2121K0K5 . 2K1K5 . 2K1K在光滑粗實線上的在光滑粗實線上的箭頭方向表示箭頭方向表示 由由變化時，變化時，閉環(huán)特征根閉環(huán)特征根(閉環(huán)極閉環(huán)極點點)變化的趨勢。變化的趨勢。K0系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程

3、為負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為即即 niimjjKpszsKsHsGsG11*)()()()()(0)(1 sGK0)()(1 sHsG第一節(jié)根軌跡的基本概念根軌跡方程根軌跡方程根軌跡方程根軌跡方程1)()(11* niimjjpszsK ) 12()()(11111*kpszspszsKniimjjniimjj幅值條件幅值條件相角條件相角條件第一節(jié)根軌跡的基本概念1)()(11* niimjjpszsK第二節(jié)根軌跡的繪制法則概述概述基本過程：基本過程：1根據(jù)繪制根軌跡的基本法則，由一些簡單的運根據(jù)繪制根軌跡的基本法則，由一些簡單的運 算，畫出根軌跡的大致圖形算，畫出根軌跡的大致圖形(稱為概略根

4、軌跡稱為概略根軌跡)2再利用根軌跡方程進行修正，就得到根軌跡的再利用根軌跡方程進行修正，就得到根軌跡的 準確圖形。準確圖形。思路：思路：以系統(tǒng)以系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益開環(huán)根軌跡增益 為可變參數(shù)為可變參數(shù)為例為例介紹繪介紹繪制根軌跡的基本法則。對系統(tǒng)其它參數(shù)變化時的根制根軌跡的基本法則。對系統(tǒng)其它參數(shù)變化時的根軌跡，經(jīng)過適當(dāng)變換，這些法則仍可應(yīng)用。軌跡，經(jīng)過適當(dāng)變換，這些法則仍可應(yīng)用。*K根軌跡的根軌跡的起點起點：當(dāng)：當(dāng) 時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根(閉環(huán)閉環(huán)極點極點)在在 平面上的分布位置；平面上的分布位置；根軌跡的根軌跡的終點終點：當(dāng)：當(dāng) 時，閉環(huán)特征根在時，閉環(huán)特征根在 平面上平面上的

5、分布位置。的分布位置。系統(tǒng)根軌跡方程可寫成如下形式：系統(tǒng)根軌跡方程可寫成如下形式： 或或0*K*Kss1)()(11* niimjjpszsK0)()(1*1 mjjniizsKps第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則法則法則1 1 根軌跡的起點和終點根軌跡的起點和終點當(dāng)當(dāng) 時，必須有時，必須有 故：此時故：此時閉環(huán)特征根閉環(huán)特征根與與開環(huán)極點開環(huán)極點重合。重合。當(dāng)當(dāng) 時，必須有時，必須有 故：此時故：此時閉環(huán)特征根閉環(huán)特征根與與開環(huán)零點開環(huán)零點重合。重合。注意：注意：若開環(huán)零點數(shù)目若開環(huán)零點數(shù)目 小于閉環(huán)特征根數(shù)目小于閉環(huán)特征根數(shù)目 ，則可認為，則可認為有有

6、個開環(huán)零點位于無窮遠處。個開環(huán)零點位于無窮遠處。故：故：當(dāng)時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根中有當(dāng)時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根中有 個與開環(huán)個與開環(huán)零點重合，有零點重合，有 個分布在個分布在 平面的無窮遠處。平面的無窮遠處。0* K），（nipsi21 *K），（njzsj21 nmmn *Kmmn s第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則 snmKspszsmnsniijmjs ,1limlim*11第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則mnkszspsmnsmjjniis ,limlim*11因此開環(huán)零點數(shù)目因此開環(huán)零點數(shù)目m m 小于閉環(huán)特征根數(shù)目小于閉

7、環(huán)特征根數(shù)目n n ，可認，可認為有為有n-mn-m個開環(huán)零點位于無窮遠處。個開環(huán)零點位于無窮遠處。終點終點起點起點如果把有如果把有有限數(shù)值有限數(shù)值的開環(huán)零點稱為有限零點，把的開環(huán)零點稱為有限零點，把無窮遠無窮遠處的開環(huán)零點稱為無限零點，那么就有：處的開環(huán)零點稱為無限零點，那么就有：結(jié)論：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。結(jié)論：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。在繪制在繪制其它參數(shù)其它參數(shù)變化下的根軌跡時，可能會出現(xiàn)變化下的根軌跡時，可能會出現(xiàn) 的情況。此時當(dāng)?shù)那闆r。此時當(dāng) 時，必有時，必有 條根軌跡的起條根軌跡的起點在無窮遠處。如果我們把無窮遠處的開環(huán)極點看成無點在無窮遠處。如果我們

8、把無窮遠處的開環(huán)極點看成無限極點，則上述結(jié)論同樣成立。限極點，則上述結(jié)論同樣成立。 nm 0* Knm 第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則根軌跡的起點和終點根軌跡的起點和終點結(jié)論：結(jié)論：根軌跡在根軌跡在 s 平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程式的階數(shù)程式的階數(shù) 。即：根軌跡的分支數(shù)與系統(tǒng)閉環(huán)極點數(shù)目相同。即：根軌跡的分支數(shù)與系統(tǒng)閉環(huán)極點數(shù)目相同。第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則法則法則2 2根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性A：根軌跡是系統(tǒng)閉環(huán)特征根隨系統(tǒng)某個參數(shù)的變化根軌跡

9、是系統(tǒng)閉環(huán)特征根隨系統(tǒng)某個參數(shù)的變化在在 s平面上移動的軌跡平面上移動的軌跡B：n階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程有階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程有n個根個根推知：推知：必有必有n條根軌跡反映這條根軌跡反映這n個根隨參數(shù)變化在個根隨參數(shù)變化在s平面上的移動平面上的移動A：系統(tǒng)特征方程式的某些系數(shù)是系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益系統(tǒng)特征方程式的某些系數(shù)是系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益 的函數(shù)，所以當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，所以當(dāng) 在在 之間連續(xù)變化時，之間連續(xù)變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的某些系數(shù)也隨之連續(xù)變化。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的某些系數(shù)也隨之連續(xù)變化。故：故：閉環(huán)特征根的變化也是連續(xù)的，根軌跡也是閉環(huán)特征根的變化也是連續(xù)的，根軌跡也是連續(xù)連續(xù)的。的。B：

10、系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的系數(shù)僅與系統(tǒng)的參數(shù)有關(guān)，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的系數(shù)僅與系統(tǒng)的參數(shù)有關(guān)，對實際的物理系統(tǒng)，這些參數(shù)都是實數(shù)。對實際的物理系統(tǒng)，這些參數(shù)都是實數(shù)。故：故：對具有實系數(shù)的代數(shù)方程式，其根為實數(shù)、為復(fù)數(shù)對具有實系數(shù)的代數(shù)方程式，其根為實數(shù)、為復(fù)數(shù)或零。若為復(fù)數(shù)，則必為或零。若為復(fù)數(shù)，則必為對稱于實軸對稱于實軸的共軛復(fù)數(shù)。的共軛復(fù)數(shù)。結(jié)論：結(jié)論：根軌跡是根軌跡是對稱于實軸對稱于實軸的的連續(xù)連續(xù)曲線。曲線。*K*K0第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則當(dāng)當(dāng) 時，將有時，將有 條根軌跡終止于條根軌跡終止于 平面的無窮遠處。平面的無窮遠處。下面討論這下面討論這

11、 條根軌跡沿何方向趨于無窮遠處條根軌跡沿何方向趨于無窮遠處表征這些方位的稱為根軌跡漸近線。由根軌跡方程得：表征這些方位的稱為根軌跡漸近線。由根軌跡方程得：nm mn smn *1111111)()()()(Kpspszszsniinininmjjmjmjm 第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則法則法則3 3根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線當(dāng)當(dāng) 時，由于時，由于 ，滿足上式的，滿足上式的 也必趨向也必趨向于無窮遠處，即于無窮遠處，即 ，此時上式可近似寫成：，此時上式可近似寫成： 亦即：亦即：兩邊開兩邊開 次方可得：次方可得： *Knm s s*1111 )()(Ksp

12、zsnmniimjjnm *111)()(1 Kspzsniimjjnm nm第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則根據(jù)二項式定理，將等式左邊展開得：根據(jù)二項式定理，將等式左邊展開得：nmnmmjjniiKszps 1*111)1()1()(1 )1(11111snmzpszpmjjniinmmjjnii 211)(11(1! 21szpnmnmmjjnii第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則當(dāng)當(dāng) 很大時，近似有：很大時，近似有：又可寫為：又可寫為：這就是這就是漸近線方程漸近線方程。ssnmzpszpmjjniinmmjjnii)(

13、1)1(11111 nmnmmjjniiKszps 1*111)1()1(mnmjjniiKmnzps 1*11)(第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則若令若令 并代入上式，得：并代入上式，得：即：即：注意到：注意到： js mnmjjniiKmnzpj 1*11)( mnmnmjjniiKjmnzp 11*11)1()()( )12(1 kje)2 , 1 , 0( k第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則則有：則有：mnkjmnmjjniieKjmnzp )12(1*11)()( mnzpmnkmnkmjjniiaa11121)

14、12( ），（amnamnaKjKj sin)(cos)()(1*1* 第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則令：令：則有：則有：上式實部、虛部分別相等，有：上式實部、虛部分別相等，有：進而可得：進而可得： 或：或：這就是漸近線方程式的這就是漸近線方程式的最后形式。最后形式。顯然在顯然在 平面上，它是一個直線方程。其中平面上，它是一個直線方程。其中 ， 該直線該直線與正實軸的夾角為：與正實軸的夾角為： amnamnaKK sin)(cos)(1*1*aaaatg cossinaatg )( s），（121 , 0)12( mnkmnka 第二節(jié)根軌跡的繪制法則1

15、1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則該直線與實軸交點為：該直線與實軸交點為：由此可得由此可得法則法則4：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)有限極點數(shù)大于有限零點數(shù)當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)有限極點數(shù)大于有限零點數(shù)時，系統(tǒng)有時，系統(tǒng)有 條根軌跡分支分別沿著條根軌跡分支分別沿著 條漸近線條漸近線趨向于無窮遠處。趨向于無窮遠處。 這這 條漸近線在實軸的交點以及條漸近線在實軸的交點以及與正實軸的夾角為：與正實軸的夾角為： mnzpmjjniia 11 ），（121)12(11mnkmnkmnzpamjjniia mn mn mn 第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則根據(jù)根軌跡方程的根據(jù)根軌跡方程的相角條

16、件相角條件考察實軸上的點考察實軸上的點 。 開環(huán)系統(tǒng)的共軛復(fù)數(shù)極點開環(huán)系統(tǒng)的共軛復(fù)數(shù)極點(或零點或零點)到這一點到這一點 的向量的向量和幅角和均為和幅角和均為 ，故它們均不影響相角條件，因，故它們均不影響相角條件，因此在確定實軸上的根軌跡時，可以不必考慮開環(huán)復(fù)此在確定實軸上的根軌跡時，可以不必考慮開環(huán)復(fù)數(shù)零點、極點的影響。數(shù)零點、極點的影響。 ) 12()()(11 kpszsniimjjss 2第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則法則四實軸上的根軌跡法則四實軸上的根軌跡2s3s1s1z3p4p2p1p2z3412又：又：位于考察點位于考察點 左側(cè)的開環(huán)實數(shù)零、

17、極點到這一點的向左側(cè)的開環(huán)實數(shù)零、極點到這一點的向量的幅角為零，它們不影響根軌跡中的相角條件量的幅角為零，它們不影響根軌跡中的相角條件故：故：在確定實軸上的根軌跡時，不必考慮考察點左側(cè)的開在確定實軸上的根軌跡時，不必考慮考察點左側(cè)的開環(huán)實數(shù)零、極點的影響。環(huán)實數(shù)零、極點的影響。故：故：在確定實軸上的根軌跡時，只需考慮考察點在確定實軸上的根軌跡時，只需考慮考察點 右側(cè)的右側(cè)的開環(huán)實數(shù)零、極點。開環(huán)實數(shù)零、極點。若設(shè)考察點若設(shè)考察點 右側(cè)的開環(huán)實數(shù)極點數(shù)為右側(cè)的開環(huán)實數(shù)極點數(shù)為 ，開環(huán)實數(shù)零，開環(huán)實數(shù)零點數(shù)為點數(shù)為 ，它們到考察點，它們到考察點 的向量之幅角為：的向量之幅角為：ssszNpN)18

18、0(180180180 pzpzNNNNs第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則而而 和和 代表相同角度，因此，上式又可寫成：代表相同角度，因此，上式又可寫成：根據(jù)相角條件，應(yīng)有：根據(jù)相角條件，應(yīng)有：要使上式成立，只有當(dāng)要使上式成立，只有當(dāng) 為奇數(shù)時。為奇數(shù)時。綜上，有綜上，有實軸上根軌跡實軸上根軌跡的的結(jié)論結(jié)論：實軸上的某一區(qū)域，若其右側(cè)的開環(huán)零、極點個數(shù)之實軸上的某一區(qū)域，若其右側(cè)的開環(huán)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。 180)12(180)(kNNpz 180)(180180pzpzNNNN 180 180)(pzN

19、N 第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則會合點和分離點：會合點和分離點：兩條或兩條以上的根軌跡分支在兩條或兩條以上的根軌跡分支在 平面上相遇又立平面上相遇又立即分開的點，稱為根軌跡的會合點和分離點。即分開的點，稱為根軌跡的會合點和分離點。會合點和分離點的會合點和分離點的分布：分布：根軌跡對稱于實軸，故其分離點或位于實軸上，或根軌跡對稱于實軸，故其分離點或位于實軸上，或以共軛成對的形式出現(xiàn)在復(fù)平面中。以共軛成對的形式出現(xiàn)在復(fù)平面中。A：一般情況下，常見的根軌跡分離點位于實軸上。一般情況下，常見的根軌跡分離點位于實軸上。B：如果根軌跡位于實軸上的兩個開環(huán)極點如果根軌

20、跡位于實軸上的兩個開環(huán)極點(或零點或零點) 之間，則在這兩個開環(huán)極點之間，則在這兩個開環(huán)極點(或零點或零點)之間至少有之間至少有 一個分離點。一個分離點。s第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則法則五分離點法則五分離點分離點的分離點的計算：計算：會合點和分離點既為根軌跡的交點，它必為閉環(huán)系統(tǒng)的會合點和分離點既為根軌跡的交點，它必為閉環(huán)系統(tǒng)的重根。故可由特征方程和對特征方程求導(dǎo)聯(lián)解得出。重根。故可由特征方程和對特征方程求導(dǎo)聯(lián)解得出。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：則系統(tǒng)的特征方程式為：則系統(tǒng)的特征方程式為：)()()()()()()(*11*sNsM

21、KpszsKsHsGsGniimjjK 第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則或：或：對上式求導(dǎo)可得：對上式求導(dǎo)可得：上兩式聯(lián)立，并消去上兩式聯(lián)立，并消去 ，得：，得：0)()(1)()(1)(1*11* sNsMKpszsKsGniimjjK0)()()()(*1*1 sMKsNzsKpsmjjnii0)()( )()(*1*1 sMKsNdsdzsKpsdsdmjjnii*K第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑寒?dāng)已知當(dāng)已知 和和 時，解上式，即可求得分離點。時，解上式，即可求得分離點。另外：另外：也可根據(jù)根軌跡方

22、程推導(dǎo)出下列計算分離點也可根據(jù)根軌跡方程推導(dǎo)出下列計算分離點 的方程：的方程：0)()()()( sMdsdsNsNdsdsM)()()()(sMdsdsNsNdsdsM )(sM)(sNd niimjjpdzd1111第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則0)()()(1*1 mjjniizsKpssD0 )()()(1*1 mjjniizsKpsdsdsD mjjniizsKps1*1)()( mjjniizsdsdKpsdsd1*1)( )(分離點方程分離點方程 的獲得。的獲得。 niimjjpdzd1111由由可得可得第二節(jié)根軌跡的繪制法則 mjjniiz

23、sKps1*1)()( mjjniizsdsdKpsdsd1*1)( )( mjjmjjniiniizszsdsdpspsdsd1111)()()( )(分離點方程分離點方程 的獲得。的獲得。 niimjjpdzd1111由由可得可得第二節(jié)根軌跡的繪制法則 mjjniimjjmjjniiniizsdsdpsdsdzszsdsdpspsdsd111111)(ln )(ln)()()( )(分離點方程分離點方程 的獲得。的獲得。 niimjjpdzd1111第二節(jié)根軌跡的繪制法則因為因為 mijmjjniiniizszspsps1111)ln()(ln)ln( )(ln mjjniimjjniim

24、jjniizspsdszsddspsdzsdsdpsdsd11111111)ln()ln()(ln )(ln分離點方程分離點方程 的獲得。的獲得。 niimjjpdzd1111第二節(jié)根軌跡的繪制法則在分離點上，根軌跡離開的方位應(yīng)由分離角決定。若在分離點上，根軌跡離開的方位應(yīng)由分離角決定。若定義：定義：在分離點處，相鄰根軌跡在分離點處，相鄰根軌跡(或根軌跡在分離點處或根軌跡在分離點處的切線的切線)的夾角為的夾角為分離角分離角。則：分離角的計算公式為：則：分離角的計算公式為： （ 為相分離的根軌跡的條數(shù)）為相分離的根軌跡的條數(shù)）故有：故有：根軌跡會合點和分離點的根軌跡會合點和分離點的坐標(biāo)方程坐標(biāo)方

25、程為為 根軌跡的根軌跡的分離角分離角由由 計算，計算， 為為相分離的根軌跡的條數(shù)。相分離的根軌跡的條數(shù)。lk/)12( l niimjjpdzd1111lk/)12( l第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則例例1已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試求根軌跡的分試求根軌跡的分 離點和分離角。離點和分離角。解：解：(一一)分離點坐標(biāo)：分離點坐標(biāo)： 解之得：解之得： ， 均在實軸上的根軌跡上，故它們就是所要求的均在實軸上的根軌跡上，故它們就是所要求的二個分離點。二個分離點。)1)(3()5()(* sssKsGK113151 ddd017102 d

26、d83. 252, 1 d1d2d第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則(二二)分離角分離角: 因為有二條根軌跡分離因為有二條根軌跡分離(會合會合)，故，故2/ l-1-5-3-7sj83. 251d83. 252d1d第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則還可從數(shù)學(xué)上證明，還可從數(shù)學(xué)上證明， 的復(fù)數(shù)根軌跡部分的復(fù)數(shù)根軌跡部分是一個圓。是一個圓。)1)(3()5()(* sssKsGK0)53()4()5()1)(3()(*2* kskssksssD js 證明：證明：令令 ,代入得代入得0)4(2)53()4()53()4()4(2

27、*22*22 kjkkkjkkj0)53()4(*22 kk 0)4(2* k即即代入實部，得代入實部，得0)53()4(*22 kk 0)4(2* k復(fù)數(shù)根軌跡部分復(fù)數(shù)根軌跡部分不為零，則不為零，則可見為圓心在（可見為圓心在（-5，0）的圓）的圓42* k8)5(0)20103()424(2222 例例2已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試求根軌跡的分試求根軌跡的分 離點和分離角。離點和分離角。解：解：(一一)分離點坐標(biāo)：分離點坐標(biāo)：由由 可知：可知：由由 得：得：解之得：解之得：)102)(2()(2* ssssKsGK)(sGK)102)(2()(1)(2 sssss

28、NsM，2028124)(0)(23 ssssNsM，)()()()(sMsNsNsM 0202812423 sss211321jdd ，第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則(二二)分離角分離角:因為有二條根軌跡分離因為有二條根軌跡分離(會合會合)，在三個分離點處的分離角均為在三個分離點處的分離角均為 。2/ l2/ 1d2d3dsj-2第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則例例3已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試繪制根軌跡。試繪制根軌跡。解：按解：按根軌跡的相角條件根軌跡的相角條件計算計算33*)2()1()

29、()1( ssKsGK第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則-2.5-2-1.5-1-0.50-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Root LocusReal AxisImaginary Axis（1）起始角：起始角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線與正實軸的根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線與正實軸的夾角，稱為起始角夾角，稱為起始角(或稱出射角或稱出射角)，以，以 表示；表示；終止角：終止角：根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線與正實軸的根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線與正實軸的夾角，稱為終止角夾角，稱為終止角(或稱入射角或稱入射角)，以，以 表示

30、。表示。起始角與終止角的起始角與終止角的計算：計算：根據(jù)根軌跡方程的相角條件，可求出起始角和根據(jù)根軌跡方程的相角條件，可求出起始角和終止角的計算公式。終止角的計算公式。ip iz 第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則法則六法則六 根軌跡的起始角（出射角）和終止角（入射角）根軌跡的起始角（出射角）和終止角（入射角）設(shè)開環(huán)系統(tǒng)有設(shè)開環(huán)系統(tǒng)有 個有限零點，個有限零點， 個有限極點。個有限極點。在在十分靠近十分靠近待求起始角待求起始角(或終止角或終止角)的復(fù)數(shù)極點的復(fù)數(shù)極點 (或復(fù)或復(fù)數(shù)零點數(shù)零點 )的根軌跡上取一點的根軌跡上取一點 。由于由于 無限接近無限接近待求起始

31、角待求起始角(或終止角或終止角)的復(fù)數(shù)極點的復(fù)數(shù)極點 或或復(fù)數(shù)零點復(fù)數(shù)零點 ，因此除，因此除 (或或 )外，其它所有開環(huán)有限外，其它所有開環(huán)有限零、極點到零、極點到 之向量的幅角之向量的幅角 都可以用它們都可以用它們到到 (或或 )的向量之幅角的向量之幅角 (或或 ) ( ) 和和(或或 ) ( ) 來來代替代替。mnipiz1s1sipizipiz1s11spszjj ，ipizijpz ijzz ji ijpp ijzp ji 第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則而而 (或或 )到到 點之向量的幅角即為點之向量的幅角即為起始角起始角 (或或終止角終止角 )。

32、根據(jù)。根據(jù) 點必須滿足根軌跡的點必須滿足根軌跡的相角條件相角條件，應(yīng)有：應(yīng)有：或或:移項后可得結(jié)論（見下頁）：移項后可得結(jié)論（見下頁）：ipipiz1siz1s 18011iijijpnijjppmjpz 18011njzpzmijjzzijiij 第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則結(jié)論：結(jié)論：根軌跡的起始角和終止角根軌跡的起始角和終止角計算公式計算公式起始角起始角 :終止角終止角 :ip )(18011 nijjppmjpzpijiji iz )(18011 njzpmijjzzzijiji 第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法

33、則例例3已知某開環(huán)系統(tǒng)的零、極點分布如圖所示，已知某開環(huán)系統(tǒng)的零、極點分布如圖所示， 試求根軌跡的起始角和終止角。試求根軌跡的起始角和終止角。-9-7-5-3-11p2p3p4p5p1z2z3zsj第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則解：解：（一）起始角：（一）起始角：)( 53131333180jjppjpzpjj )(180333231pzpzpz )(35343231pppppppp 464214180arctgarctgarctg )34902418054180(arctgarctgarctg 5 .615 .401160180 5 .6134pp 第二

34、節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則)jzpjjzzzjj )(1802321zzzz )(2524232221zpzpzpzpzp 解：解：（二）終止角：（二）終止角：第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則)9032180(180 arctg1)1218046180421806218092180( arctgarctgarctgarctgarctg 123zz 若：若：根軌跡與虛軸相交根軌跡與虛軸相交則：則：閉環(huán)特征根中有一部分位于閉環(huán)特征根中有一部分位于 平面的虛軸上，平面的虛軸上，即：即：閉環(huán)特征根中有共

35、軛純虛根。閉環(huán)特征根中有共軛純虛根。故：故：此時系統(tǒng)必處于臨界穩(wěn)定，此時系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡此時系統(tǒng)必處于臨界穩(wěn)定，此時系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益值增益值 為臨界值為臨界值 。故：故：確定根軌跡與虛軸交點的確定根軌跡與虛軸交點的方法方法有有Routh 判據(jù)法；判據(jù)法；解析法（令解析法（令 代入方程中求得）代入方程中求得）相角條件法（用圖解法試探求得）相角條件法（用圖解法試探求得）下面介紹工程中常用的前兩種方法。下面介紹工程中常用的前兩種方法。s*K*LK js 第二節(jié)根軌跡的繪制法則法則七根軌跡與虛軸的交點法則七根軌跡與虛軸的交點1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則（1）勞斯判據(jù)法）勞斯判據(jù)法

36、步驟：步驟：1列寫列寫Routh表表2令令Routh表第一列中包含表第一列中包含 的元素項為零的元素項為零解得根軌跡與虛軸的交點處的解得根軌跡與虛軸的交點處的 值。值。3因為一對純虛根是數(shù)值相等、符號相反的根因為一對純虛根是數(shù)值相等、符號相反的根故：利用故：利用Routh表中表中 行的元素為系數(shù)構(gòu)成輔助方行的元素為系數(shù)構(gòu)成輔助方程，程，解出純虛根的值解出純虛根的值(即根軌跡與虛軸交點處即根軌跡與虛軸交點處 值值).4 若根軌跡與虛軸有二個以上的交點，則可用若根軌跡與虛軸有二個以上的交點，則可用Routh表中大于表中大于 的偶次冪的行為系數(shù)構(gòu)造輔助方程，的偶次冪的行為系數(shù)構(gòu)造輔助方程，解解出各交

37、點處的出各交點處的 值。值。*K*LK2s2s第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則例例4設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求根軌跡與虛軸的交點。試求根軌跡與虛軸的交點。解：解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為： 即即列出勞斯表如下：列出勞斯表如下：)22)(3()(2* ssssKsGK0)(1 sGK0685*234 Kssss第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則令第一列中含令第一列中含 的元素為零，得：的元素為零，得： *0*1*23*434252045346581KsKsKssKs *K025204*

38、 K36. 16/16. 8 LK16. 8* LK第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則即：即：對應(yīng)的對應(yīng)的 用用 行元素為系數(shù)，構(gòu)造輔助方程為：行元素為系數(shù)，構(gòu)造輔助方程為：解之得：解之得：2s0534*2 Ks1 . 1095. 12, 1jjs 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式為：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式為：令令 代入上式，可得：代入上式，可得：令：令：聯(lián)立求解，即可求得交點處的聯(lián)立求解，即可求得交點處的 值和值和 值。值。0)()(1)(1 sHsGsGKjs 0)()(1)(1 jHjGjGK 0)()(1Im0)()(1Re jHjGjHjG *LK第二節(jié)根軌跡的繪制法

39、則（2 2）解析法解析法1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則例例5仍以上例為例：已知系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為仍以上例為例：已知系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 求根軌跡與虛軸的交點。求根軌跡與虛軸的交點。解：令解：令 代入特征方程式中，整理得：代入特征方程式中，整理得：令其實部、虛部分別等于零，可得：令其實部、虛部分別等于零，可得：0685*234 Kssss js 0)56()8(2*24 jK 056082*24 K第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則聯(lián)立求解后可得：聯(lián)立求解后可得： 和和故：交點處故：交點處 001*1 LK 1 . 116. 83,2*2 LK1

40、. 116. 8* ，LK設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為: niimjjKpszsKsHsGsG11*)()()()()(01110111*asasasbsbsbsKnnnmmm 第二節(jié)根軌跡的繪制法則法則八閉環(huán)特征根（閉環(huán)極點）的和與積法則八閉環(huán)特征根（閉環(huán)極點）的和與積1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式為: :0)()()(1*1 mjjniizsKpssD若系統(tǒng)的閉環(huán)特征根為若系統(tǒng)的閉環(huán)特征根為 ；則；則nsss，210.)1(.)(.)().()()()()(2134213212313221121211 nnnnnnnnnii

41、sssssssssssssssssssssssssssssssD第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則所有根所有根之和之和所有根兩兩所有根兩兩相乘之和相乘之和所有根每三個所有根每三個根相乘之和根相乘之和所有根所有根乘積乘積當(dāng)當(dāng) 時，閉環(huán)特征根時，閉環(huán)特征根(閉環(huán)極點閉環(huán)極點)之和等于開之和等于開環(huán)極點之和且為常數(shù)。即：環(huán)極點之和且為常數(shù)。即：此式表明，隨著此式表明，隨著 的增大的增大(或減小或減小)，若一些閉環(huán)特征，若一些閉環(huán)特征根根(閉環(huán)極點閉環(huán)極點)在在 平面上向右移動，則另一些閉環(huán)特平面上向右移動，則另一些閉環(huán)特征根征根(閉環(huán)極點閉環(huán)極點)必向左移動，且在任

42、一必向左移動，且在任一 下，閉環(huán)特下，閉環(huán)特征根征根(閉環(huán)極點閉環(huán)極點)之和保持常數(shù)之和保持常數(shù) 不變。不變。111)()( nniiniiaps2 mn*Ks*K1 na第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則閉環(huán)特征根之積與開環(huán)零、極點有如下關(guān)系：閉環(huán)特征根之積與開環(huán)零、極點有如下關(guān)系：當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)有等于零的極點時當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)有等于零的極點時(即即 ) 有有即此時閉環(huán)特征根即此時閉環(huán)特征根(閉環(huán)極點閉環(huán)極點)之積與開環(huán)極點之積、之積與開環(huán)極點之積、開環(huán)根軌跡增益開環(huán)根軌跡增益 成正比。成正比。 mjjniiniizKps1*11)()()(00 a0*1*1)()(

43、bKzKsmjjnii *K第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則 利用上述結(jié)論，對應(yīng)于某一值，若已知某些閉利用上述結(jié)論，對應(yīng)于某一值，若已知某些閉環(huán)特征根，有助于求出其它閉環(huán)特征根。也可估環(huán)特征根，有助于求出其它閉環(huán)特征根。也可估計當(dāng)增益變化時，根軌跡的走向。計當(dāng)增益變化時，根軌跡的走向。根軌跡上任意點的根軌跡上任意點的 值，可由根軌跡方程的幅值條值，可由根軌跡方程的幅值條件在根軌跡上圖解求取。件在根軌跡上圖解求取。根軌跡的幅值條件為：根軌跡的幅值條件為： 開環(huán)根軌跡增益開環(huán)根軌跡增益 ( (或開環(huán)增益或開環(huán)增益 ) )的求取的求取*KK*K1)()(11* n

44、iimjjpszsK第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則由此可得：由此可得：因為因為 為已為已知，而知，而s 為根軌跡上的考察點。所以利用上式，在根為根軌跡上的考察點。所以利用上式，在根軌跡上用圖解法可求出任意點的軌跡上用圖解法可求出任意點的 值。值。mnmjjniizszszspspspszspsK 212111*)()(），（），），（njznipji2121 *K第二節(jié)根軌跡的繪制法則1 1繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則（1010）開環(huán)根軌跡增益）開環(huán)根軌跡增益 ( (或開環(huán)增益或開環(huán)增益 ) )的求取的求取*KK基本過程：基本過程：1已知系統(tǒng)的開環(huán)零、極點已知系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù))2利用基本法則，確定根軌跡的主要特征和大致圖形利用基本法則，確定根軌跡的主要特征和大