含參二次不等式因式分解

1、一、公式法必會的乘法公式【公式1】【公式2】(立方和公式)【公式3】(立方差公式)【公式4】【公式5】【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項式：(1) (2) 【例2】分解因式：(1) (2) 二、分組分解法從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式而對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取因此，可以先將多項式分組處理這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法分組分解法的關鍵在于如何分組1分組后能提取公因式【例3】把分解因式【例4】把分解因式2分組后能直接運用公式【例5】把分解因式【例6】把分解因式十字相乘法分解因式1二次三項式（1）多項式，稱

2、為字母 的二次三項式，其中 稱為二次項， 為一次項， 為常數項例如：和都是關于x的二次三項式（2）在多項式中，如果把 看作常數，就是關于 的二次三項式；如果把 看作常數，就是關于 的二次三項式（3）在多項式中，把 看作一個整體，即 ，就是關于 的二次三項式同樣，多項式，把 看作一個整體，就是關于 的二次三項式2十字相乘法的依據和具體內容(1)對于二次項系數為1的二次三項式方法的特征是“拆常數項，湊一次項”當常數項為正數時，把它分解為兩個同號因數的積，因式的符號與一次項系數的符號相同；當常數項為負數時，把它分解為兩個異號因數的積，其中絕對值較大的因數的符號與一次項系數的符號相同(2)對于二次項系

3、數不是1的二次三項式大家知道，反過來，就得到：我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數分解成，常數項分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行十字相乘法的要領是：“頭尾分解，交叉相乘，求和湊中，觀察試驗”。這種借助畫十字交叉線分解系數，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法必須注意，分解因數及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解它的特征是“拆兩頭，湊中間”當二次項系數為負數時，先提出負號，使二次項系數為正數，然后再看常數項；常數項為正數時，應分解為兩同號因數，它們的符號

4、與一次項系數的符號相同；常數項為負數時，應將它分解為兩異號因數，使十字連線上兩數之積絕對值較大的一組與一次項系數的符號相同注意：用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯誤出現(xiàn)：一是沒有認真地驗證交叉相乘的兩個積的和是否等于一次項系數；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母【例1】把下列各式因式分解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 豎分二次項與常數項交叉相乘，和相加檢驗確定，橫寫因式順口溜： 豎分常數交叉驗， 橫寫因式不能亂例2、因式分解與系數的關系 若多項式a2+ka+16能分解成兩個系數是整數的一次因式的積，則整數k可取的值有( ) A.5個 B.6個 C.8個 D.4個分析：

5、因為二次項系數為1，所以原式可分解為(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整數k可取值的個數取決于式子mn=16的情況.(其中m、n為整數) 因為16=2×8，16=(-2)×(-8) 16=4×4，16=(-4)×(-4) 16=1×16，16=(-1)×(-16) 所以k=±10，±8，±16 答案：B2一般二次三項式型的因式分解【例2把下列各式因式分解：(1) (2) 說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要當二次項系數不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關常數分解，

6、交叉相乘后，若原常數為負數，用減法”湊”，看是否符合一次項系數，否則用加法”湊”，先”湊”絕對值，然后調整，添加正、負號 練習1：分解因式(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 練習2分解因式 (1)； (2)； (3)4、5 6 7 ca(ca)bc(bc)ab(ab)三、十字相乘與其它知識綜合例1.分組分解后再用十字相乘 把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式 解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15 =2(x-2y)2-11(x-2y)+15 =(x-2y)-32(x-2y)-5 =(x-2y-3)(2x-4

7、y-5) 說明：分組后運用十字相乘進行因式分解，分組的原則一般是二次項一組，一次項一組，常數項一組.本題通過這樣分組就化為關于(x-2y)的二次三項式，利用十字相乘法完成因式分解.例2.換元法與十字相乘法 把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式分析：觀察式子特點，二次項系數和一次項系數分別相同，把(x2+x)看成一個“字母”，把這個式子展開，就可以得到關于(x2+x)的一個二次三項式(或設x2+x=u，將原式化為(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，則更為直觀)再利用十字相乘法進行因式分解. 解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6 =(x2+x)+1(x2+x)+2-6 =(x2

8、+x)2+3(x2+x)-4 =(x2+x+4)(x2+x-1) 說明：本題結果中的兩個二次三項式在有理數范圍內不能再分解了，若能分解一定要繼續(xù)分解， 例3、 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式 分析：在本題中，要把這個多項式整理成二次三項式的形式 解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3） 4y -3 7y -1 =10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y 1） 5 4y - 3=2x -（7y -1）5x

9、 +（4y -3） =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 說明：在本題中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解為（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解為：2x -（7y -1）5x +（4y -3） 解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 2 -7y5 4y=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 x -7y 1 5 x +4y -3=（2x -7y）+1 （5x +4y）-3 =（2x -7y+1）（5x +4y -3） 說明:在本題中先把

10、10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解為（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解為（2x -7y）+1 （5x +4y）-3. (試比一下“分組分解”與“十字相乘”適用的題目的類型特點，從各項的次冪的次數及各項系數去分析) 例4.因式分解與十字相乘法 已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12 求：x2+y2的值 解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12 (x2+y2)(x2+y2)-1-12=0 (x2+y2)2-(x2+y2)-12=0 (x2+y2)-4(x2+y2)+3=0 x2+y20例

11、5 把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)點悟：(1)把看作一整體，從而轉化為關于的二次三項式；(2)提取公因式(xy)后，原式可轉化為關于(xy)的二次三項式；(3)以為整體，轉化為關于的二次三項式解：(1) (x1)(x1)(x3)(x3)(2) (xy)(xy)17(xy)2(xy)(xy1)(7x7y2)(3) 點撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時、準確地發(fā)現(xiàn)多項式中究竟把哪一個看成整體，才能構成二次三項式，以順利地進行分解同時要注意已分解的兩個因式是否能繼續(xù)分解，如能分解，要分解到不能再分解為止例6 分解因式：點悟：把看作一個變量，利用換元法解之解：設，則原式(y3)(

12、y24)90(y18)(y9)點撥：本題中將視為一個整體大大簡化了解題過程，體現(xiàn)了換元法化簡求解的良好效果此外，一步，我們用了“十字相乘法”進行分解例7 分解因式點悟：可考慮換元法及變形降次來解之解：原式，令，則原式點撥：本題連續(xù)應用了“十字相乘法”分解因式的同時，還應用了換元法，方法巧妙，令人眼花瞭亂但是，品味之余應想到對換元后得出的結論一定要“還原”，這是一個重要環(huán)節(jié)例8：解關于x方程：x²- 3ax + 2a²ab -b²=0 分析：2a²ab-b²可以用十字相乘法進行因式分解 解：x²- 3ax + 2a²ab -b

13、²=0 x²- 3ax +（2a²ab - b²）=0 1 -b 2 +b x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -（2a+b） 1 -（a-b） x-（2a+b） x-（a-b）=0所以 x1=2a+b x2=a-b例9 已知有一個因式是，求a值和這個多項式的其他因式點悟：因為是四次多項式，有一個因式是，根據多項式的乘法原則可知道另一個因式是（a、b是待定常數），故有根據此恒等關系式，可求出a，b的值解：設另一個多項式為，則， 與是同一個多項式，所以其對應項系數分別相等即有由、解得，a1，b1，代入，等式成立 a1，另一個因式為點

14、撥：這種方法稱為待定系數法，是很有用的方法待定系數法、配方法、換元法是因式分解較為常用的方法，在其他數學知識的學習中也經常運用希望讀者不可輕視練習3、1、已知有一個因式是，求a值和這個多項式的其他因式2、若xy6，則代數式的值為_提高版練習1、把下列各式分解因式：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)練習2、(1)； (2)； (3)； (4)；(5)；(6)練習3已知xy2，xya4，求a的值四、其它因式分解的方法1配方法【例11】分解因式解：說明：這種設法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項式化為兩個平方式，然后用平方差公式分解當然，本題還有其它方法，請大家

15、試驗2拆、添項法【例12】分解因式分析：此多項式顯然不能直接提取公因式或運用公式，分組也不易進行細查式中無一次項，如果它能分解成幾個因式的積，那么進行乘法運算時，必是把一次項系數合并為0了，可考慮通過添項或拆項解決解： 說明：本解法把原常數4拆成1與3的和，將多項式分成兩組，滿足系數對應成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件本題還可以將拆成，將多項式分成兩組和一般地，把一個多項式因式分解，可以按照下列步驟進行：(1) 如果多項式各項有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各項沒有公因式，那么可以嘗試運用公式來分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)

16、來分解；(4) 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止A 組1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) 3把下列各式分解因式：(1) (2) (3)(4) (5) (6) 4把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 5把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) B 組1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) 2已知，求代數式的值3證明：當為大于2的整數時，能被120整除4已知，求證：第二講 因式分解答案A組1234 5B組1 234三、強化練習1.把下列各式分解因式(1)x-x2+42 (2) (3)a2n+a4n-2a6n (4)(x-y)2+3(x2-y2)-4(x+y)2 (5)x2-xy-2y2-x-y2.已知