概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(免費(fèi))

1、WORD格式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章概率論的根本概念 2樣本空間、隨機(jī)事件1事件間的關(guān)系A(chǔ)B那么稱(chēng)事件B 包含事件A ，指事件A 發(fā)生必然導(dǎo)致事件B 發(fā)生AB x xA或 xB 稱(chēng)為事件A與事件B的和事件， 指當(dāng)且僅當(dāng)A ， B 中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件AB 發(fā)生AB x xA且 xB 稱(chēng)為事件A 與事件 B 的積事件，指當(dāng)A ，B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件AB發(fā)生A B x x A且 xB 稱(chēng)為事件A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A 發(fā)生、 B 不發(fā)生時(shí)，事件A B發(fā)生A B，那么稱(chēng)事件 A 與 B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 與事件 B 不能同時(shí)發(fā)生，根本領(lǐng)件是兩兩互不相容的A BS且AB，那么稱(chēng)

2、事件 A 與事件 B 互為逆事件，又稱(chēng)事件A 與事件 B 互為對(duì)立事件2運(yùn)算規(guī)那么交換律ABBA A BBA結(jié)合律 (AB)CA( BC )(A B)CA(B C)分配律 A BC (AB)( AC )A (B C) (A B)(A C)徳摩根律 ABAAB ABB 3頻率與概率定義在一樣的條件下， 進(jìn)展了 n 次試驗(yàn)， 在這 n 次試驗(yàn)中，事件A 發(fā)生的次數(shù)nA稱(chēng)為事件 A 發(fā)生的 頻數(shù) ，比值nAn 稱(chēng)為事件A發(fā)生的 頻率概率：設(shè) E 是隨機(jī)試驗(yàn)， S 是它的樣本空間， 對(duì)于 E 的每一事件 A 賦予一個(gè)實(shí)數(shù)， 記為 PA，稱(chēng)為事件的概率1概率P( A)滿(mǎn)足以下條件： 1非負(fù)性 ：對(duì)于每一

3、個(gè)事件A0P( A)1 2標(biāo)準(zhǔn)性 ：對(duì)于必然事件SP(S)1專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式1專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式nn n 可 3可列可加性 ：設(shè)A , A , A是兩兩互不相容的事件，有P( Ak )P( Ak )12nk 1k 1以取2概率的一些重要性質(zhì)： i P( )0nnP( Ak ) n 可以取 ii 假設(shè)A1, A2, An是兩兩互不相容的事件，那么有P(Ak )k 1k1 iii 設(shè) A ， B 是兩個(gè)事件假設(shè)AB ，那么 P(B A)P( B)P( A) ， P(B) P(A) iv 對(duì)于任意事件A，P( A)1 vP( A)1P( A)逆事件的概率 vi 對(duì)于任意事件A， B 有

4、P( AB)P( A)P( B)P( AB) 4 等可能概型古典概型等可能概型：試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素，試驗(yàn)中每個(gè)事件發(fā)生的可能性一樣假設(shè)事件 A包 含 k個(gè)根本領(lǐng)件，即 A ei ei ei ， 里12ki 1， i 2,， i k是1,2， n中某 k個(gè)不同的數(shù)，那么有kk A包 含 的 基 本 事 件 數(shù)P( A)P ei j 中根本領(lǐng)件的總數(shù)j 1nS 5條件概率 1定義：設(shè)A,B 是兩個(gè)事件，且P( A) 0，稱(chēng)P( B | A)P( AB)為事件 A 發(fā)生的條P( A)件下事件B 發(fā)生的 條件概率 2條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件1。非負(fù)性：對(duì)于某一事件B，有P(B |

5、A)02。標(biāo)準(zhǔn)性：對(duì)于必然事件S，P(S | A)13可列可加性：設(shè) B1,B2,是兩兩互不相容的事件，那么有P( Bi A )P( Bi A )i 1i 1 3乘法定理設(shè) P(A)0 ，那么有 P( AB)P( B)P( A | B) 稱(chēng)為乘法公式專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式2專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式n 4全概率公式：P(A)P( Bi ) P( A | Bi )i 1貝葉斯公式：P(Bk | A)P( Bk )P( A | Bk )nP(Bi ) P( A | Bi )i1 6獨(dú)立性定義設(shè) A ，B 是兩事件，如果滿(mǎn)足等式P( AB) P( A)P( B) ，那么稱(chēng)事件A,B相互獨(dú)立定理一設(shè)

6、A ， B 是兩事件，且P( A)0，假設(shè) A， B 相互獨(dú)立，那么P(B | A)P B 定理二假設(shè)事件 A 和 B 相互獨(dú)立，那么以下各對(duì)事件也相互獨(dú)立：A 與B，A與B，A與B第二章隨機(jī)變量及其分布 1 隨機(jī)變量定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Se.XX(e) 是定義在樣本空間S 上的實(shí)值單值函數(shù)，稱(chēng) XX(e) 為隨機(jī)變量 2 離散性隨機(jī)變量及其分布律1離散隨機(jī)變量：有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，這種隨機(jī)變量稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量P( Xxk )pk滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件1 pk0，2Pk=1k12三種重要的離散型隨機(jī)變量 1分布設(shè)隨機(jī)變量 X只能取 0與 1 兩個(gè)值，它的分

7、布律是P( X k )k1-k， k0,1 0p1) ，那么稱(chēng)X服從以p為參數(shù)的分布或兩p1 - p點(diǎn)分布。 2伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布設(shè)實(shí)驗(yàn) E 只有兩個(gè)可能結(jié)果： A 與A，那么稱(chēng) E 為伯努利實(shí)驗(yàn) .設(shè)P(A)p0 p 1) ，此時(shí) P(A )1- p .將 E 獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)展n 次，那么稱(chēng)這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為n 重伯努利實(shí)驗(yàn)。P(Xk )npk q n-k， k 0,1,2， n 滿(mǎn)足條件1pk0，2Pk=1注意kk 1專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式3專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式到n kqn-k 是二項(xiàng)式npk的那一項(xiàng)，我們稱(chēng)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)p pq的展開(kāi)式中出現(xiàn)k為 n， p 的二項(xiàng)分布。

8、3泊松分布設(shè)隨機(jī)變量 X所有可能取的值為 0,1,2，而取各個(gè)值的概率為k e-0,1,2 , 其中0 是常數(shù)，那么稱(chēng)X服從參數(shù)為的泊松分布記為P( X k), kk!X 3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，x 是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F( x )P*,-x稱(chēng)為 X 的分布函數(shù)分 布 函 數(shù) F ( x)P( Xx) ， 具 有 以 下 性 質(zhì)(1)F (x) 是 一 個(gè) 不 減 函 數(shù) 2 0 F ( x) 1，且 F ()0,F( )1 3F ( x0)F ( x),即 F ( x)是右連續(xù)的 4 連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量X 的分布函數(shù) F x，存在非

9、負(fù)可積函數(shù)f (x) ，使對(duì)于任意函數(shù) x 有F(x)xf t dt,那么稱(chēng) x為連續(xù)性隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x) 稱(chēng)為 X-的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度1 概率密度f(wàn) ( x)具有以下性質(zhì)，滿(mǎn)足1f ( x)0, (2)f (x)dx 1；-3 P(x1Xx2 )x2f (x)dx ；4假設(shè)f ( x)在點(diǎn)x處連續(xù)，那么有F，( x) f (x)x12,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(1) 均勻分布1，a xb假設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X 具有概率密度f(wàn) ( x)b - a，那么成 X 在區(qū)間 (a,b)上服從0，其他均勻分布 .記為X Ua，b(2) 指數(shù)分布假設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X 的概率密度為1 e-

10、x， x.0其中0 為常數(shù)，那么稱(chēng)Xf (x)0，其他服從參數(shù)為的指數(shù)分布。 3正態(tài)分布專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式4專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式( x21假設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為e22，x，f ( x)-2其中，0)為常數(shù)，那么稱(chēng) X服從參數(shù)為，的正態(tài)分布或高斯分布，記為XN，2特別，當(dāng)0，1 時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定理設(shè)隨機(jī)變量 X 具有概率密度f(wàn) xx ，x, 又設(shè)函數(shù)g( x)處處可導(dǎo)且恒有( ) -g, ( x) 0 ， 那么Y= g( X )是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fY ( y)f X h( y) h , ( y) ,y0 ， 其他第三章

11、多維隨機(jī)變量 1 二維隨機(jī)變量定義設(shè) E 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)， 它的樣本空間是Se.XX(e) 和 YY(e) 是定義在S上的隨機(jī)變量，稱(chēng)XX(e) 為隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量X ，Y 叫做二維隨機(jī)變量設(shè) X ， Y 是 二 維 隨 機(jī) 變 量 ， 對(duì) 于 任 意 實(shí) 數(shù)x ， y ， 二 元 函 數(shù)F x，y P(*)(Yy) 記成 P*， Yy 稱(chēng)為二維隨機(jī)變量X ， Y的分布函數(shù)如果二維隨機(jī)變量X ，Y全部可能取到的值是有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì)，那么稱(chēng)X ，Y 是離散型的隨機(jī)變量。我們稱(chēng) P( Xxi，Yy j )pij，i， j1,2，為二維離散型隨機(jī)變量X，Y 的分布律。對(duì)于二維隨機(jī)變

12、量 X ，Y 的分布函數(shù)Fx，y，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f x，y，使對(duì)于任意 x，y 有， yx ，F(xiàn)fxy-u vdudv 那么稱(chēng) X ，Y 是連續(xù)性的隨機(jī)變量，-函數(shù) f x， y稱(chēng)為隨機(jī)變量X ， Y 的概率密度，或稱(chēng)為隨機(jī)變量X 和 Y 的聯(lián)合概率密度。 2 邊緣分布二維隨機(jī)變量 X ，Y 作為一個(gè)整體， 具有分布函數(shù)F x， y.而X和Y都是隨機(jī)變量，各自也有分布函數(shù)，將他們分別記為F x), F y，依次稱(chēng)為二維隨機(jī)變量X ，YXY專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式5專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣分布函數(shù)。pipij PX x i ， i1,2，p jpij PY y

13、i ，j1,2，j1i 1分別稱(chēng) pi p j為 X ，Y 關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣分布律。( )( , ( )( , 分別稱(chēng)f ( x)，f X xf x y dyf Y yf x y dxXfY (y) 為X，Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度。 3 條件分布定義設(shè) X ， Y 是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j ，假設(shè)P Yy j0,那么稱(chēng) PXxi Yy j P Xxi ,Yy j pij,i1,2,為在 Yy j條件下PYy j p j隨機(jī)變量 X 的條件分布律， 同樣PYy j XX i P Xxi,Yy j pij, j1,2,P Xxipi為在 Xxi條件下隨機(jī)變量X 的條件分

14、布律。設(shè)二維離散型隨機(jī)變量X ，Y 的概率密度為f ( x, y) ，X，Y關(guān)于Y的邊緣概率密度為 f Y ( y) ，假設(shè)對(duì)于固定的y，fY(y) 0，那么稱(chēng)f ( x, y)為在Y=y的條件下X的條件fY ( y)概率密度，記為f X Y (x y)f ( x, y)=f Y ( y) 4 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量定義 設(shè)及，F(xiàn)Y ( y)分別是二維離散型隨機(jī)變量X ，Y 的分布函F x， y FX ( x)數(shù)及邊緣分布函數(shù).假設(shè)對(duì)于所有 x,y 有P Xx, YyP XxPYy ，即F x, yFX ( x)FY (y) ，那么稱(chēng)隨機(jī)變量X 和 Y 是相互獨(dú)立的。對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量X ，Y

15、，X 和 Y 相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)0 5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1，Z=X+Y的分布設(shè) (X,Y) 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f(wàn) ( x, y) .那么Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機(jī)變量，其概率密度為f X Yz)f(z y y dy或f X Yzfxz xdx(,( )( ,專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式6專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式又假設(shè) X 和 Y 相互獨(dú)立，設(shè)X ，Y 關(guān)于 X ，Y 的邊緣密度分別為f X ( x), f Y ( y) 那么f( z)f( zy fy)dy 和 f( z)f( x f (zx)dx 這兩個(gè)公式稱(chēng)為XYXYXYXYf X , fY的卷積公式有限個(gè)相互獨(dú)立

16、的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布2，ZY的分布、 ZXY的分布X設(shè) (X,Y) 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f(wàn) ( x, y) ，那么 ZY，ZXYX仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為fY Xzx fx xz dx( )( , )f XY ( z)1 f ( x, z )dx 又假設(shè)X和Y相互獨(dú)立，設(shè)X，Y關(guān)于X，Y的邊緣密度分別*為f X( x), f Y ( y)那么可化為 fz)fxfY (xz dxY X (X ( )1zf XY ( z)xf X (x) fY (x ) dx3 MmaxX ，Y 及 Nmin X ,Y的分布設(shè) X ， Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它

17、們的分布函數(shù)分別為FX ( x), FY ( y) 由于MmaxX ，Y 不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z故有 PMzPXz,Yz 又由于X 和 Y 相互獨(dú)立，得到MmaxX，Y的分布函數(shù)為Fmax z)F Xz FYz( )( )Nmin X ,Y 的分布函數(shù)為 Fmin (z)11FX ( z) 1 FY ( z)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1數(shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的分布律為P X xkpk，k=1,2，假設(shè)級(jí)數(shù)xk pk絕對(duì)k1收斂， 那么稱(chēng)級(jí)數(shù)xk pk的和為隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望， 記為E( X )，即E(X )xk pkk 1i設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的概率密度為f (x) ，假

18、設(shè)積分xf ( x) dx 絕對(duì)收斂，那么稱(chēng)積分專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式7專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式xf ( x)dx 的值為隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望，記為E( X ) ，即E( X )xf ( x)dx定理設(shè) Y 是隨機(jī)變量X 的函數(shù) Y= g( X ) (g 是連續(xù)函數(shù) ) i 如果 X 是離散型隨機(jī)變量 ，它的分布律為P Xxk pk，k=1,2 ，假設(shè)g ( xkpkk 1絕對(duì)收斂那么有 E( Y )E(g (X )g( xkpkk 1 ii 如果 X 是連續(xù)型隨機(jī)變量 ，它的分概率密度為f (x) ，假設(shè)g( x) f ( x)dx 絕對(duì)收斂那么有 E(Y ) E( g( X )g( x

19、) f ( x)dx數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè) C 是常數(shù)，那么有E(C) C2設(shè) X 是隨機(jī)變量， C 是常數(shù)，那么有E(CX )CE(X )3設(shè) X,Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，那么有E ( XY )E(X )E(Y) ；4設(shè) X， Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么有E(XY )E(X )E(Y)2方差定義設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，假設(shè)E XE( X ) 2 存在，那么稱(chēng) E XE(X)2為X的方差，記為 D x即 D x = EXE ( X ) 2 ，在應(yīng)用上還引入量D(x) ，記為( x)，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。D(X) E(X E(X )2E(X 2) (EX )2方差的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè) C 是常

20、數(shù)，那么有D (C)0,2設(shè) X 是隨機(jī)變量， C 是常數(shù)，那么有D(CX )C2D(X)， D(X C)D(X)3設(shè) X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，那么有 D ( XY)D(X)D(Y)2E(X- E(X)(Y- E(Y) 特別，假設(shè) X,Y 相互獨(dú)立，那么有D( XY )D(X)D(Y)4D(X)0 的充要條件是X 以概率1 取常數(shù)E(X)，即P X E( X )1切比雪夫不等式 ：設(shè)隨機(jī)變量 X具有數(shù)學(xué)期望 E( X )2 ，那么對(duì)于任意正數(shù)，不等式專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式8專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式2PX-2成立 3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義量EXE( X ) Y E (Y) 稱(chēng)為隨機(jī)變量X 與 Y

21、 的協(xié)方差為Cov ( X ,Y )，即Cov ( X , Y) E( XE( X )(Y E(Y ) E( XY )E ( X )E(Y)專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式而XYCov (X ， Y 稱(chēng)為隨機(jī)變量X 和 Y 的相關(guān)系數(shù)D(X)D(Y)專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X 和 Y ，D ( XY)D ( X )D (Y)2Cov ( X ,Y)_協(xié)方差具有下述性質(zhì)1 Cov ( X ,Y )Cov(Y , X ), Cov( aX , bY)abCov ( X ,Y )專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式2 Cov( X1X 2,Y)Cov( X 1 ,Y )Cov( X 2 ,Y)定理1

22、XY12XY1的充要條件是，存在常數(shù)a,b 使P Y abx1當(dāng)XY0時(shí)，稱(chēng) X 和Y 不相關(guān)附：幾種常用的概率分布表分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學(xué)期望兩點(diǎn)分0p1P Xk) pk (1p)1k , k0,1 ，p布二項(xiàng)式n1P( X k )Cnk p k (1p) nk , k0,1,n ，np分布0p1泊松分0P( Xk e, k0,1,2,布k)k!方差p(1p)np(1p)專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式幾何分0 p 1P( X k)(1p) k 1 p, k 1,2,1布p均勻分f ( x)1, a x b ，a ba bb a布0，其他21 pp 2(ba)122專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式9專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式指數(shù)分01 ex, x02布f ( x)0,