數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法(DEA模型)VIP

1、一、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評(píng)價(jià)同類型組織或項(xiàng)目工作績(jī)效相對(duì)有效性的特殊工具手段。這類組織例如學(xué)校、醫(yī)院、銀行的分支機(jī)構(gòu)、超市的各個(gè)營(yíng)業(yè)部等，各自具有相同或相近的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類組織之間的績(jī)效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個(gè)指標(biāo)，當(dāng)各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計(jì)量時(shí)，容易計(jì)算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進(jìn)行績(jī)效排序。但當(dāng)被衡量的同類型組織有多項(xiàng)投入和多項(xiàng)產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時(shí)，就無(wú)法算出投入產(chǎn)出比的數(shù)值。例如，大部分機(jī)構(gòu)的運(yùn)營(yíng)單位有多種投入要素，如職工規(guī)模、工資數(shù)目、運(yùn)作時(shí)間和廣告投入，同時(shí)也有多種產(chǎn)出要素，如利潤(rùn)、市場(chǎng)份額和成長(zhǎng)率。在這些情況下，很難

2、讓經(jīng)理或董事會(huì)知道，當(dāng)輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時(shí)，哪個(gè)運(yùn)營(yíng)單位效率高，哪個(gè)單位效率低。1.1 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法的主要思想一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)或者一個(gè)生產(chǎn)過(guò)程可以看成一個(gè)單元在一定可能范圍內(nèi)，通過(guò)投入一定數(shù)量的生產(chǎn)要素并產(chǎn)出一定數(shù)量的“產(chǎn)品”的活動(dòng)。雖然這些活動(dòng)的具體內(nèi)容各不相同，但其目的都是盡可能地使這一活動(dòng)取得最大的“效益”。由于從“投入”到“產(chǎn)出”需要經(jīng)過(guò)一系列決策才能實(shí)現(xiàn)，或者說(shuō)，由于“產(chǎn)出”是決策的結(jié)果，所以這樣的單元被稱為“決策單元”DecisionMakingUnits,DMU?？梢哉J(rèn)為每個(gè)DMU都代表一定的經(jīng)濟(jì)含義，它的基本特點(diǎn)是具有一定的輸入和輸出，并且在將輸入轉(zhuǎn)換成輸出的過(guò)程中，努力實(shí)現(xiàn)自身

3、的決策目標(biāo)。1.2 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法的基本模型我們主要介紹DEA中最基本的一個(gè)模型一一C2R模型。設(shè)有n個(gè)決策單元j=1,2,，n，每個(gè)決策單元有相同的m項(xiàng)投入輸入，輸入向量為TXjX1j,X2j,Xmj0，j1，2，n每個(gè)決策單元有相同的s項(xiàng)產(chǎn)出輸出，輸出向量為Tyjy1j,y2j,，y.0,j1,2，n即每個(gè)決策單元有m種類型的“輸入”及s種類型的“輸出”。Xj表示第j個(gè)決策單元對(duì)第i種類型輸入的投入量；yij表示第j個(gè)決策單元對(duì)第i種類型輸出的產(chǎn)出量；為了將所有的投入和所有的產(chǎn)出進(jìn)行綜合統(tǒng)一，即將這個(gè)生產(chǎn)過(guò)程看作是一個(gè)只有一個(gè)投入量和一個(gè)產(chǎn)出量的簡(jiǎn)單生產(chǎn)過(guò)程，我們需要對(duì)每一個(gè)輸入和輸出進(jìn)行

4、賦權(quán)，設(shè)輸入和輸出的權(quán)向量分別為：vv1,v2,，vmt,uu1,u2,"ustovi為第i類,7m,s型輸入的權(quán)重，Ur為第r類型輸出的權(quán)重。ms這時(shí)，則第j個(gè)決策單元投入的綜合值為vixij,產(chǎn)出的綜合值為uryrj，我i1們定義每個(gè)決策單元DMUj的效率評(píng)價(jià)指數(shù):,rUyrj h j mi1ViXij模型中方, 力為已知數(shù)可由歷史資料或預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)得到,于是問(wèn)題實(shí)際上是確定組最正確的權(quán)向量 v和u,使第j個(gè)決策單元的效率值 h,最大。這個(gè)最大的效率評(píng)價(jià)值是該 j決策單元相對(duì)于其他決策單元來(lái)說(shuō)不可能更高的相對(duì)效率評(píng)價(jià)值。我們限定所有的h.值 j(j=1,2，,n)不超過(guò)1,即max

5、hjW1。這意味著，假設(shè)第 k個(gè)決策單兀 卜卜=1,則該決策單元相對(duì)于其他決策單元來(lái)說(shuō)生產(chǎn)率最高，或者說(shuō)這一系統(tǒng)是相對(duì)而言有效的；假設(shè)hk<1,那么該決策單元相對(duì)于其他決策單元來(lái)說(shuō)，生產(chǎn)率還有待于提高， 或者說(shuō)這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。根據(jù)上述分析，第j0個(gè)決策單元的相對(duì)效率優(yōu)化評(píng)價(jià)模型為： s r 1 Uryrj0maXhj0 吃i1ViXjosUryrj r 1ms.t i 1 ViXj1,j 1,2,., nTvM,V2,Vm0TuU1,U2,，Us0這是一個(gè)分式規(guī)劃模型，我們必須將它化為線性規(guī)劃模型才能求解。為此令，rtUr，witviViXjo則模型轉(zhuǎn)化為:maxhj。i1wi

6、Xij0,sryrjr1ms.t1wiXj0r，wi 0， i 1,2,.m;r 1,2,.,s寫成向量形式有：maxhj0TY0TYjwTXj0s.twTX01j1,2,.,nw0,0線性規(guī)劃中一個(gè)十分重要，也十分有效的理論是對(duì)偶理論，通過(guò)建立對(duì)偶模型更易于從理論及經(jīng)濟(jì)意義上作深入分析，其對(duì)偶問(wèn)題為：minnjxjX0j1ns-tj1yjv。j0,j1,2,n無(wú)約束進(jìn)一步引入松弛變量s和剩余變量s,將上面的不等式約束化為等式約束：minnjXjsX0j1ns.t-jVjsV。j0,j1,2，,n無(wú)約束s0,s0*設(shè)上述問(wèn)題的取優(yōu)解為，s,則有如下結(jié)論與經(jīng)濟(jì)含義：*1假設(shè)1,且s0,s0,則決

7、策單元DMUj0為DEA有效，即在原線性規(guī)劃的解中存在w*0,*0,并且其最優(yōu)值h*01。此時(shí)，決策單元DMUj0的生產(chǎn)活動(dòng)同時(shí)為技術(shù)有效和規(guī)模有效。2，但至少有某個(gè)輸入或者輸出松弛變量大于零。則此時(shí)原線性規(guī)劃的最優(yōu)值h*1,j0稱DMUj0為弱DEA有效，它不是同時(shí)技術(shù)有效和規(guī)模有效。3假設(shè)1,決策單元DMUj0不是DEA有效。其生產(chǎn)活動(dòng)既不是技術(shù)效率最正確，而不是規(guī)模效率最正確。4另外，我們可以用C2R模型中j的最優(yōu)值來(lái)判別DMU的規(guī)模收益情況。假設(shè)存在jj1,2，,n,使j1成乂，則DMUj0為規(guī)模效由不變；假設(shè)不存在*j1,2，n,使*1成立，則假設(shè)*1,那么DMUj0為規(guī)模效益遞增；

8、假設(shè)不存在jj1,2，n,使j1成立，則假設(shè)j1,那么DMUj0為規(guī)模效益遞減。技術(shù)有效：輸出相對(duì)輸入而言已達(dá)最大，即該決策單元位于生產(chǎn)函數(shù)的曲線上。規(guī)模有效：指投入量既不偏大，也不過(guò)小，是介于規(guī)模收入收益由遞增到遞減之間的狀DMU1、DMU2、DMU3都處于技術(shù)有效狀態(tài)；DMU1不為規(guī)模有效，實(shí)際上它處于規(guī)模收益遞增狀態(tài)；DMU3不為規(guī)模有效，實(shí)際上它處于規(guī)模收益遞減狀態(tài)；DMU2是.相應(yīng)決策單元所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)規(guī)模有效的。如果用DEA模型來(lái)判斷DEA有效性，只有DMU2對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值60=1。可見(jiàn)，在C2R模型下的DEA有效，其經(jīng)濟(jì)含義是：既為“技術(shù)有效”，也為“規(guī)模有效”。例題：下面是具有3個(gè)決策單元的單輸入數(shù)據(jù)和單輸出數(shù)據(jù)以A,B,C表示，其中點(diǎn)A、C在生產(chǎn)曲線上，點(diǎn)B在生產(chǎn)曲線下方。由3個(gè)決策單元所確定的生產(chǎn)可能集T也在圖中標(biāo)出來(lái)。對(duì)于決策點(diǎn)A,它是“技術(shù)有效”和“規(guī)模有效”，它所對(duì)應(yīng)的C2R模型為min2i42532st2123.5321,2,30其最優(yōu)解為：0（IQ,。）:01對(duì)于決策點(diǎn)B，它不是“技術(shù)有效”，因?yàn)辄c(diǎn)B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，也不是“規(guī)模有效”這是因?yàn)樗耐顿Y規(guī)模太大.其對(duì)應(yīng)的C2R模型如下：min2 ist 2 15343.5310其最優(yōu)解為0(1/2,0,0)T,01/4：3由于0<1故B點(diǎn)不是DEA有效，由j1，知該部門的規(guī)模收益是遞增的對(duì)于決