八年級(jí)軸對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)及典型例題

1、 第十三章軸對(duì)稱一、知識(shí)點(diǎn)歸納（一）軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形1、有一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫做軸對(duì)稱2、軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形。這條直線就是它的對(duì)稱軸。（對(duì)稱軸必須是直線）3、對(duì)稱點(diǎn)：折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)。4、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。類似的，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。連接任

2、意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分軸對(duì)稱圖形上對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等。5畫一圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形步驟：找到關(guān)鍵點(diǎn)，畫出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，按照原圖順序依次連接各點(diǎn)。（二）、軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形之間的形狀與位置關(guān)系，成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形是全等形，并且成軸對(duì)稱聯(lián)系：1：都是折疊重合2;如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)圖形那么他就是軸對(duì)稱圖形，反之亦然。（三）線段的垂直平分線（1）經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）（2）線

3、段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上（證明是必須有兩個(gè)點(diǎn)）因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合（四）用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱1、點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，y）；2、點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-y）；(五）關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對(duì)稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線yx對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y，x） 點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線yx對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y，x）（六）關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線xm對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2mx，y）

4、；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線yn對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，2ny）；(七）等腰三角形1、等腰三角形性質(zhì)：性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）2、等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）.（八）等邊三角形1、定義：三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形。它是特殊的等腰三角形。2、性質(zhì)和判定：（1）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60º。（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有一個(gè)角是60º的等腰三角形是等邊三角形。

5、（4）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30º，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 （九）其他結(jié)論 （1）三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離等。（2）三角形三個(gè)邊的中垂線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（3）常用輔助線：三線合一；過中點(diǎn)做平行線二、專題訓(xùn)練考點(diǎn)一、關(guān)于“軸對(duì)稱圖形”與“軸對(duì)稱”的認(rèn)識(shí)1下列幾何圖形中，線段角直角三角形半圓，其中一定是軸對(duì)稱圖形的有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)2圖9-19中，軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是（ ） A4個(gè) B3個(gè) C2個(gè) D1個(gè)3正n邊形有_條對(duì)稱軸，圓有_條對(duì)稱軸考點(diǎn)二、軸對(duì)稱變換及用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱1. 在平面鏡里

6、看到背后墻上電子鐘示數(shù)為12:50這時(shí)的實(shí)際時(shí)間應(yīng)該是： 2. 一輛小汽車在水面上的倒影如圖，那么從倒影中看出這個(gè)小車的車牌號(hào)是 3、在健美操訓(xùn)練房的墻壁上有一面大鏡,小明、小穎、珍珍三人正在訓(xùn)練, 從鏡中看,小明在小穎的右后方,而珍珍在小穎的左前方，你能說出他們實(shí)際所站的方位嗎? 4、已知點(diǎn)P（2，3）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q（a，b），則a+b的值是 。5、將點(diǎn)A（3,2）沿x軸向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 。6、已知點(diǎn)P（3，-1）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（a+b，1-b），則ab= .7、已知點(diǎn)A（-1，-2）和B（5,2），將點(diǎn)A向 平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的點(diǎn)

7、與B點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱。8、點(diǎn)A(-2，6)關(guān)于直線y=3對(duì)稱的點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ?？键c(diǎn)三、作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形典例：1、如圖，陰影部分是由5個(gè)小正方形組成的一個(gè)直角圖形，請(qǐng)用兩種方法分別在下圖方格內(nèi)涂黑兩個(gè)小正方形，使它們成為軸對(duì)稱圖形2、如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了黑色現(xiàn)在要從其余13個(gè)白色小方格中選出一個(gè)也涂成黑色，使整個(gè)涂成黑色的圖形成為軸對(duì)稱圖形，這樣的白色小方格有 _個(gè)3、如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是 ?？键c(diǎn)四、線段垂直平分線的性質(zhì)典例1、如圖,DE

8、是ABC中AC邊的垂直平分線。（1）若BC=8厘米，AB=10厘米，則EBC的周長(zhǎng)為 ；1題（2）若ABC的周長(zhǎng)=20cm，AC=8cm，則EBC的周長(zhǎng)為 。2、如圖，ABC的邊BC的垂直平分線與邊BA的垂直平分線的交點(diǎn)M恰好在AC上，且AC=16cm，則BM= ;CPM的面積= ABC面積。ANBDC2題M3、如圖，ABC中，A=90°，BD為ABC平分線，DEBC，E是BC的中點(diǎn)，（1）求C的度數(shù)。（2）如果ABD面積為6，AB=4，求BD.(3)如果AC=16cm，AD:DB=3：5，求AD的長(zhǎng).3題FEDCBAG4題4題4、如圖，在RtABC中，ACB = 90°，

9、BAC的平分線交 BC于D. 過C點(diǎn)作CGAB于G，交AD于E. 過D點(diǎn)作DFAB于F.下列結(jié)論：CED=CDE；ADF=2ECD； ；CE=DF. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是( ) A B C D考點(diǎn)五、等腰三角形的特征和識(shí)別典例1、 如圖所示，ABC中，AC=AD=BD，DAC=80°，則B的度數(shù)是 。1題 2、 已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為80°，則另兩個(gè)角的度數(shù)是_ _3、已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則它的一個(gè)底角的度數(shù)是_4、已知等腰三角形的兩邊為3cm和4cm，則周長(zhǎng)為 。若兩邊為3cm和6cm，則周長(zhǎng)為 cm。ABCDE5、已知等腰三角形

10、的周長(zhǎng)為28cm，一邊長(zhǎng)為8cm，則這個(gè)三角形另兩邊的長(zhǎng)為 。FEADBC8題6題9題6、如圖，ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EBA的度數(shù) 7、在等腰ABC中，AB=AC，其周長(zhǎng)為20cm，則AB邊的取值范圍是（） A 1cmAB4cm B 5cmAB10cm C 4cmAB8cm D 4cmAB10cmFEDCBA8、如圖，C、E和B、D、F分別在GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若A=18°，則GEF的度數(shù)是（ ）A80° B90° C100° D108°9、如圖，CA=CB,DF=DB,AE=AD，則A的度數(shù)

11、（ ）A30° B.40° C.36° D.46°10、如圖,E在ABC的AC邊的延長(zhǎng)線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF=EF，BD=CE.求證：ABC是等腰三角形.11題11、如圖，AF是ABC的角平分線，BDAF交AF的延長(zhǎng)線于D，DEAC交AB于E，求證：AE=BE12、在圖中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，1 = 2 = 45°（1） 如圖，若AO = OB，請(qǐng)寫出AO與BD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2） 將圖中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到下圖，其中AO = OB求證：AC = BD，AC BD；考點(diǎn)六、等邊三角形的特征和識(shí)別典

12、例1、下列推理中，錯(cuò)誤的是 ()AABC，ABC是等邊三角形 BABAC，且BC，ABC是等邊三角形ABCDEMCA60°，B60°，ABC是等邊三角形 DABAC，B60°，ABC是等邊三角形2、如圖，等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。3題3、已知：如圖，ABC為正三角形，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為邊作等邊三角形ADE，連結(jié)CE，用你學(xué)過的知識(shí)探索AC、CD、CE三條線段的長(zhǎng)度有何關(guān)系?試寫出探求過程4、 如圖，在等邊ABC的頂點(diǎn)A、C處各有一只蝸牛，它們同時(shí)出發(fā)，分別以

13、相同的速度由A向B和由C向A爬行，經(jīng)過t分鐘后，它們分別爬行到D、E處，請(qǐng)問（1）在爬行過程中，CD和BE始終相等嗎？（2）如果將原題中的“由A向B和由C向A爬行”，改為“沿著AB和CA的延長(zhǎng)線爬行”，EB與CD交于點(diǎn)Q，其他條件不變，如圖（2）所示，蝸牛爬行過程中CQE的大小保持不變請(qǐng)利用圖（2）情形，求證： CQE =60°；（3）如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長(zhǎng)線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，如圖（3），則爬行過程中，DF始終等于EF是否正確考點(diǎn)七、30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半1、如圖：ADC中，A = 15°，D=90

14、6;，B在AC的垂直平分線上，AB =34，則CD =( )第3題圖A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不對(duì) 2、 如圖，BAC=30°，P是BAC平分線上一點(diǎn)，PM AC，PDAC，PD=28 , 則AM= 3、 如圖，AB=AC，DEAB于E，DFAC于F，BAC=120o，BC=6，則DE+DF= 4、 在中，的垂直平分線交于點(diǎn)F,交于點(diǎn)如果EF=1，求的長(zhǎng)考點(diǎn)八、折紙問題1、有一本書折了其中一頁(yè)的一角，如圖：測(cè)得AD=30cm,BE=20cm，BEG=60°，折痕EF的長(zhǎng) 2、如圖1，將矩形沿對(duì)稱軸折疊，在對(duì)稱軸處剪下一塊，余下部分的展開圖為 ( )AEBDC3、將一矩形紙片按如圖方式折疊，BC、BD為折痕，折疊后與在同一條直線上，則CBD的度數(shù)A. 大于90° B.等于90° C. 小于90° D.不能確定考點(diǎn)九、最短路徑問題ADBCEPABCPEF1、 小明在牛頭山A處到對(duì)面鳳凰山市場(chǎng)處買菜，然后回鐘樓B住處，請(qǐng)你給小明設(shè)計(jì)出他出行的最短路線圖。AB2、 正方形A