偏微分方程數值解試題

1、偏微分方程數值解試題1、考慮一維的拋物型方程：（1）導出時間離散是一階向前Euler格式，空間離散是二階精度的差分格式；（2）討論（1）中導出的格式的穩(wěn)定性；（3）若時間離散為二階精度的蛙跳格式， 空間離散是二階精度的中心差分，問所導出的格式穩(wěn)定嗎？為什么？2、考慮Poission方程 其中是圖1中的梯形。 圖1 梯形使用差分方法來離散該方程。由于梯形的對稱性，可以考慮梯形的一半，如圖2，圖2 從物理空間到計算區(qū)域的幾何變換為了求解本問題，采用如下方法：將的一半投影到正方形區(qū)域，然后在上使用差分方法來離散該方程。在計算區(qū)域上用個網格點，空間步長為。（1）引入一個映射將原區(qū)域（帶有坐標）變換到單

2、位正方形（帶有坐標）。同時導出在新區(qū)域上的方程和邊界條件。（2）在變換區(qū)域，使用泰勒展開導出各導數項在區(qū)域內部和邊界點上的差分格式。3、對線性對流方程，其一階迎風有限體積法離散格式為=（）（1）寫出時的一階迎風有限體積法的離散格式；（2）寫出為任意符號的常數的一階迎風有限體積法的守恒形式。（3）使用說明一階迎風有限體積法不是熵保持的格式。4、對一維Poission方程將分成等分，寫出用中心差分離散上述方程的差分格式，并問：（1）該差分格式與原微分方程相容嗎？為什么？（2）該差分格式穩(wěn)定嗎？為什么？（3）該差分格式是否收斂到原微分方程的解？為什么？（4）取，寫出該差分格式的矩陣表示。5、敘述二重

3、網格方法的執(zhí)行過程，并對一維常微分方程邊值問題給出限制算子和延拓算子矩陣（以細網格：，粗網格：為例）。6、對一階波動方程 （1）寫出用中心差分進行空間離散，用一階向后Euler進行時間離散的差分格式；（2）使用線方法，分析上述格式的穩(wěn)定性。7、考慮散熱片的設計問題。二維散熱片如圖3所示，是由一個中心柱和4個水平的子片構成；散熱片從底部的均勻通量源通過大表面的子片散熱到周圍的空氣中。散熱片可由一個5維參數向量來表示，其中，和；可取給定設計集中的任意值。是第個子片熱傳導系數（是中柱的熱傳導系數）；Bi是Biot數，反映在散熱片表面的對流輸運的熱傳導系數（大的Bi意味好的熱傳導）。比如，假定我們選擇

4、散熱片具有如下參數，此時。中心柱的寬度是1，高度是4；子片的厚度，長度。我們將輸出溫度看作是的函數，其中輸出溫度是散熱片底部定常態(tài)溫度的均值，輸出溫度越低，散熱效果越好。在散熱片內定常態(tài)溫度分布，由橢圓型方程控制 其中是在的限制，是熱傳導系數為的散熱片的區(qū)域：是中心柱，對應4個子片。整個散熱片區(qū)域記為，的邊界記為。為確保在傳導系數間斷界面上溫度和熱通量的連續(xù)性，我們有 這里是的外法線。在散熱片的底部引入Neumann邊界條件 來刻畫熱源；一個Robin邊界條件 來刻畫對流熱損失，其中是暴露在流體流動中的邊界部分，。在底部的平均溫度，其中。在這個問題中，我們取。（1）證明滿足弱形式 其中 （2）

5、證明是在中取得極小值的變量 （3）考慮線性有限元空間 找，使得 此時 運用通常的節(jié)點基，我們得矩陣方程 其中 n是有限元空間的維數。請推導出單元矩陣，單元荷載向量，單元輸出向量；并且描述從單元量獲得總矩陣的程序。8、考慮Poisson方程 其中是單位正方形，定義空間和泛函若，且是上述Poisson方程的解，（1）證明為在空間上的極小值點，其中 （2）證明滿足弱形式 （3）作圖示均勻三角形剖分，步長，寫出下列節(jié)點編號所對應的剛度矩陣和荷載向量。 (a)節(jié)點編號順序為(b) 節(jié)點編號順序為(4)假定基函數和節(jié)點有同樣的編號，寫出節(jié)點為的節(jié)點基函數。9、考慮一維的poisson方程 將區(qū)間分成等份，用中心差分離散二階導數，完成下列各題：（1） 寫出該問題的矩陣形式的離散格式：；（2） 記，證明非負性 有界性 10、交通流問題可用如下的非線性雙曲型方程來刻劃其中是汽車密度（每公里汽車的輛數），是速度。假定速度是密度的函數： 其中是最大速度，。用如下的Roe格式其中求解下列綠燈亮了問題：此時初始條件為一些參數如下：。（1） 給出時問題的解；（2） Roe格式滿足熵條件嗎？為什么？11、考慮1D常微分方程兩點邊值問題 其中，定義空間和泛函若，且是上述1D常微分方程兩點邊值問題的解，（1）證明為在空間上的極小值點，其中 （2）證明