全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及精析

1、2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）試題及精析一、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分，每個(gè)小題所給四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）極限等于 （ ）1； ； ； 。解答 ，選。（2）設(shè)函數(shù)由方程確定，其中為可微函數(shù)，且，則等于 （ ）解答 兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，得，解得；兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，得，解得，于是，選。（3）設(shè)為正整數(shù)，則反常積分的收斂性（）僅與有關(guān)；僅于有關(guān)；與都有關(guān)；與都無(wú)關(guān)。解答顯然廣義積分有兩個(gè)瑕點(diǎn)與，顯然收斂性與有關(guān)，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散；的收斂性與有關(guān)，選。（4）等于（）；。解答，因?yàn)?，所以，選。（5）設(shè)是矩陣，是矩陣，且，其中為階

2、單位矩陣，則（）；。解答，因?yàn)榍遥?，又顯然，故，選。（6）設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且，若，則相似于（）；。解答令，則，因?yàn)?，即，所以，從而，注意到是非零向量，所以的特征值為和，又因?yàn)榭蓪?duì)角化的矩陣，所以的秩與的非零特征值個(gè)數(shù)一致，所以的特征值為，于是，選。（7）設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則等于（）；。解答，選。（8）設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，為上均勻分布的概率密度函數(shù)，若（），則滿足（）；。解答，因?yàn)闉楦怕拭芏群瘮?shù)，所以，而，所以，即，選。二、填空題（9）設(shè)，則。解答，于是。（10）。解答。（11）已知曲線的方程為，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，則。解答方法一：補(bǔ)充（起點(diǎn)，終點(diǎn)），由格林公式，而，所以原式

3、。方法二：。（12）設(shè)，則的形心坐標(biāo)。解答，而， ，所以。（13）設(shè)，若由形成的向量組的秩為，則。解答，因?yàn)橛山M成的向量組的秩為2，所以。（14）設(shè)隨機(jī)變量的分布為，則。解答由歸一性得，即，所以。即隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布，于是，故。三、解答題（15）求微分方程的通解。解答微分方程的特征方程為 ，特征值為，則方程的通解為；令原方程的特解為，代入原方程得，于是原方程的通解為（其中為任意常數(shù)）。（16）求的單調(diào)區(qū)間與極值。解答，令，得。，因?yàn)椋詾榈臉O小點(diǎn)，極小值為，為的極大點(diǎn)，極大值為。在及上單調(diào)減少，在及上單調(diào)增加。（17）（）比較與（）。（）記（），求。解答（）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，于是。

4、（）因?yàn)?，而，因?yàn)?，所以，故，由夾逼定理得。（18）求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)。解答 由，得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為。當(dāng)時(shí)，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法得收斂，故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤Ａ?，則，其中。而，所以，故。（19）設(shè)為橢球面上的動(dòng)點(diǎn)，若在點(diǎn)處的切平面與平面垂直，求點(diǎn)的軌跡，并計(jì)算曲線積分，其中是橢球面位于曲線上方的部分。解答令的坐標(biāo)為，由得在點(diǎn)處且平面的法向量為 。因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切平面與平面垂直，所以有，注意到，所以點(diǎn)的軌跡方程為。，將向平面投影，則，兩邊對(duì)求導(dǎo)得，解得，兩邊對(duì)求導(dǎo)得，解得，于是。（20）設(shè)，已知線性方程組存在兩個(gè)不同解。（）求；（）求的通解。解答（）因?yàn)榫€性方程組存在兩個(gè)不同解，所以，即，解得或

5、。當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，顯然，所以，故，。（）由，得方程組的通解為 （其中為任意常數(shù)）。（21）設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為，且的第三列為。（）求；（）證明為正定矩陣。解答因?yàn)槎涡驮谡蛔儞Q下的標(biāo)準(zhǔn)型為，所以的特征值為，的第三列為，所以對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為。因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱矩陣，所以的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，令對(duì)應(yīng)的特征向量為，由的對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為。令，則，由，得。（）因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣，且的特征值為，所以的特征值為，因?yàn)槠涮卣髦刀即笥诹悖詾檎ň仃?。?2）設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，。求及。解答 由歸一性得 ，而又，所以，于是。，而，所以，。 （23）設(shè)總體的分布律為，其中為未知參數(shù)，以表示來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（樣