利用放縮法證明數列型不等式

1、 利用放縮法證明數列型不等式處理數列型不等式最重要要的方法為放縮法。放縮法的本質是基于最初等的四則運算，利用不等式的傳遞性，其優(yōu)點是能迅速地化繁為簡，化難為易，達到事半功倍的效果；其難點是變形靈活，技巧性強，放縮尺度很難把握。對大部分學生來說，在面對這類考題時，往往無從下筆本文以數列型不等式壓軸題的證明為例，探究放縮法在其中的應用，希望能拋磚引玉，給在黑暗是摸索的娃帶來一盞明燈。一、常用的放縮法在數列型不等式證明中的應用1、裂項放縮法：放縮法與裂項求和的結合，用放縮法構造裂項求和，用于解決和式問題。裂項放縮法主要有兩種類型：（1）先放縮通項，然后將其裂成某個數列的相鄰兩項的差，在求和時消去中間

2、的項。例1設數列的前項的和，。設，證明：。證明：易得， =點評： 此題的關鍵是將裂項成，然后再求和，即可達到目標。（2）先放縮通項，然后將其裂成項之和，然后再結合其余條件進行二次放縮。例2 已知數列和滿足，數列的前和為，； （I）求證：； （II）求證：當時，。證明：（I） （II）由（I）可知遞增，從而，又，即當時，。點評：此題（II）充分利用（I）的結論，遞增，將裂成的和，從而找到了解題的突破口。2、迭乘放縮法：放縮法與迭乘法的結合，用放縮法構造迭乘形式，相乘時消去中間項。用于解決積式問題。例3 已知數列的首項為點在直線上。若證明對任意的 ，不等式恒成立證明： ，所以，即。點評：此題是證明

3、積式大于根式，由于左邊沒有根式，右邊是三次根式，立方后比較更容易處理。可以看成是三個假分式的乘積，保持其中一項不變，另兩項假分數分子分母同時加1，加2，則積變小，而通項式為的數列在迭乘時剛好相消，從而達到目標。3、迭代放縮法：通過放縮法構造遞推不等關系，進行迭代，從而求解。例4 已知數列滿足，證明：。 證明：當時，結論成立。當時，易知 點評：此題將目標式進行放縮得到遞推不等關系，進行迭代，找到解題途徑。4、等比公式放縮法：先放縮構造成等比數列，再求和，最后二次放縮實現(xiàn)目標轉化。例5已知數列的各項均為正數，且滿足記，數列的前項和為，且（I）數列和的通項公式；（II）求證： 略解：（I） ，。證明

4、：（II）反思：右邊是，感覺是個的和，而中間剛好是項，所以利用；左邊是不能用同樣的方式來實現(xiàn)，想到，試著考慮將縮小成是等比數列），從而找到了此題的突破口。二、放縮法的注意問題以及解題策略1、明確放縮的方向：即是放大還是縮小，看證明的結論，是小于某項，則放大，是大于某個項，則縮小。2、放縮的項數：有時從第一項開始，有時從第三項，有時第三項，等等，即不一定是對全部項進行放縮。3、放縮法的常見技巧及常見的放縮式：（1）根式的放縮：；（2）在分式中放大或縮小分子或分母：；真分數分子分母同時減一個正數，則變大；，；假分數分子分母同時減一個正數，則變小，如；（3）應用基本不等式放縮：；（4）舍掉（或加進）

5、一些項，如：。4、把握放縮的尺度：如何確定放縮的尺度，不能過當，是應用放縮法證明中最關鍵、最難把握的問題。這需要勤于觀察和思考，抓住欲證命題的特點，只有這樣，才能使問題迎刃而解。再看例2，若構造函數，則前后不等號不一致，不能確定的單調性，此時放縮過當，此題不適宜用單調函數放縮法。若要證明，則，所以，從而遞增，所以成立，此時用單調函數放縮法可行。同樣的題干，稍有調整，我們所用的方法便有不同。5、放縮法的策略以及精度的控制例 已知數列的前項和為，且滿足。（I）數列是否為等差數列？并證明你的結論； （II）求和；（III）求證：。簡解：（1）（2）；（3）證法一：當時，成立；當，= 綜上所述，。證法二：。點評：兩種證法的不同在于策略的選擇不同。方法一是將放大成，需從第二項起，要分類討論；而方法二是將放大成。明顯比大很多，比更接近。從中可