利用極坐標(biāo)解圓錐曲線題

1、 利用極坐標(biāo)解題知識(shí)點(diǎn)精析： 橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個(gè)定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離和一條定直線(準(zhǔn)線)的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡   以橢圓的左焦點(diǎn)(雙曲線的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn))為極點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線，垂足為K，以FK的反向延長(zhǎng)線為極軸建立極坐標(biāo)系   橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為： .  其中p是定點(diǎn)F到定直線的距離，p0   當(dāng)0e1時(shí)，方程表示橢圓；   當(dāng)e1時(shí)，方程表示雙曲線，若0，方程只表示雙曲線右支，

2、若允許0，方程就表示整個(gè)雙曲線；  當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開(kāi)口向右的拋物線.引論（1）若 則0e1當(dāng)時(shí)，方程表示極點(diǎn)在右焦點(diǎn)上的橢圓當(dāng)e=1時(shí)時(shí)，方程表示開(kāi)口向左的拋物線當(dāng)e1方程表示極點(diǎn)在左焦點(diǎn)上的雙曲線（2 ）若當(dāng) 0e1時(shí)，方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的橢圓當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開(kāi)口向上的拋物線當(dāng) e1時(shí)!方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的雙曲線（3）當(dāng) 0e1時(shí)，方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的橢圓當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開(kāi)口向下的拋物線當(dāng) e1時(shí)!方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的雙曲線例題選編 （1） 二次曲線基本量之間的互求例1.（復(fù)旦自招）確定方程表示曲線的離心率、焦距、長(zhǎng)短軸長(zhǎng)。解法一：解法二：轉(zhuǎn)化為直角

3、坐標(biāo)（2）圓錐曲線弦長(zhǎng)問(wèn)題若圓錐曲線的弦MN經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，1、橢圓中，.若橢圓方程為，半焦距為，焦點(diǎn)，設(shè)過(guò)的直線的傾斜角為交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)。解：連結(jié)，設(shè)，由橢圓定義得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，則弦長(zhǎng)。同理可求得焦點(diǎn)在y軸上的過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為（a為長(zhǎng)半軸，b為短半軸，c為半焦距）結(jié)論：橢圓過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：2、雙曲線中，（注釋：雙曲線問(wèn)題比較特殊，很多參考書(shū)上均有誤解。）若M、N在雙曲線同一支上，；若M、N在雙曲線不同支上，設(shè)雙曲線，其中兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)的直線的傾斜角為，交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|。解：（1）當(dāng)時(shí)，（如圖2）直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、B在同一交點(diǎn)上，連，設(shè)

4、，由雙曲線定義可得，由余弦定理可得整理可得，同理，則可求得弦長(zhǎng)。（2）當(dāng)或時(shí)，如圖3，直線l與雙曲線交點(diǎn)A、B在兩支上，連，設(shè)，則，由余弦定理可得，整理可得，則因此焦點(diǎn)在x軸的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為同理可得焦點(diǎn)在y軸上的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式其中a為實(shí)半軸，b為虛半軸，c為半焦距，為AB的傾斜角。3、拋物線中，若拋物線與過(guò)焦點(diǎn)的直線相交于A、B兩點(diǎn)，若的傾斜角為，求弦長(zhǎng)|AB|？（圖4）解：過(guò)A、B兩點(diǎn)分別向x軸作垂線為垂足，設(shè)，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B橫坐標(biāo)為，由拋物線定義可得即則同理的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為，所以拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為例2 已知拋物線y2=2px（p>0），過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為k的直線交拋物線于A，

5、B兩點(diǎn)，求AB長(zhǎng).練習(xí)1：過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，引傾斜角為的直線，交雙曲線與A、B兩點(diǎn)，求解：根據(jù)題意，建立以雙曲線右焦點(diǎn)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系即得 附錄直角坐標(biāo)系中的焦半徑公式 設(shè)P（x,y）是圓錐曲線上的點(diǎn)，1、若、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則，；2、若、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，；3、若F是拋物線的焦點(diǎn)，.利用弦長(zhǎng)求面積例3設(shè)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的弦AB=8，求三角形AOB的面積。點(diǎn)極徑一個(gè)為正值一個(gè)為負(fù)值,長(zhǎng)是 或 練習(xí)2（08年海南卷）過(guò)橢圓的焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積簡(jiǎn)解：首先極坐標(biāo)方程中的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)

6、，然后利用公式直接得出答案。練習(xí)3(2005年全國(guó)高考理科)已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，過(guò)且與垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值和最大值.解析：以點(diǎn)為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為：設(shè)直線的傾斜角，則直線的傾斜角為，由極坐標(biāo)系中焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式知： ，用他們來(lái)表示四邊形的面積 即求的最大值與最小值由三角知識(shí)易知：當(dāng)時(shí)，面積取得最小值；當(dāng)時(shí)，面積取得最大值 利用弦長(zhǎng)公式解決常量問(wèn)題例4過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，作傾斜角為60的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若，求橢圓的離心率.簡(jiǎn)解：建立極坐標(biāo)系，然后利用等量關(guān)系，可很快求出離心率。設(shè)橢圓的極坐標(biāo)方程為則，解得；練習(xí)4求過(guò)

7、橢圓的左焦點(diǎn)，且傾斜角為的弦長(zhǎng)和左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離。解：先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式： 則離心率， 所以左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距為2。設(shè)，代入極坐標(biāo)方程，則弦長(zhǎng)（3） 定值問(wèn)題例5. 拋物線的一條焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分為a,b的兩段，證明：定值。解：以焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，以FX軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)將A,B兩點(diǎn)代入極坐標(biāo)方程，得則=（定值）點(diǎn)睛：引申到橢圓和雙曲線也是成立的。推論：若圓錐曲線的弦MN經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，則有例6經(jīng)過(guò)橢圓的的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦AB和弦CD,求證為定值。證明：以橢圓的左焦點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，此時(shí)橢圓的極坐標(biāo)方程為，又設(shè)則代入可得 ，則 注釋。此公式對(duì)拋物線也成立，但對(duì)雙曲線

8、不成立。注意使用的范圍。推廣1若經(jīng)過(guò)橢圓的中心做兩條相互垂直的弦，倒數(shù)和也為定值。需要以原點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)方程。推廣2若不取倒數(shù)，可以求它們和的最值。例7(2007重慶理改編)中心在原點(diǎn)的橢圓，點(diǎn)是其左焦點(diǎn)，在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)使證明：為定值，并求此定值解析：以點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為：，設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極角為，則點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的極角分別為、，、與的極徑就分別是 、 與 ，因此，而在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們知道，因此為定值 點(diǎn)睛：極坐標(biāo)分別表示、與，這樣一個(gè)角度對(duì)應(yīng)一個(gè)極徑就不會(huì)象解析幾何那樣，一個(gè)傾斜角，對(duì)應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)，同時(shí)對(duì)應(yīng)兩條焦半徑（極徑），這就是極坐標(biāo)表示圓錐曲線的優(yōu)點(diǎn)推廣： 若放在拋物線和雙曲線中是否成立呢？例8（2006全國(guó)聯(lián)賽江蘇）橢圓的右焦點(diǎn)為F，P1，P2，P24為24個(gè)依逆時(shí)針順序排列在橢圓上的點(diǎn)，其中P1是橢圓的右頂點(diǎn)，并且P1FP2=P2FP3=P