分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用

1、矩陣與行列式的關(guān)系矩陣是一個(gè)有力的數(shù)學(xué)工具，有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)矩陣也是代數(shù)特別是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對象矩陣的概念和性質(zhì)都較易掌握，但是對于階數(shù)較大的矩陣的運(yùn)算則會(huì)是一個(gè)很繁瑣的過程，甚至僅僅依靠矩陣的基本性質(zhì)很難計(jì)算，為了更好的處理這個(gè)問題矩陣分塊的思想應(yīng)運(yùn)而生 行列式在代數(shù)學(xué)中是一個(gè)非常重要、又應(yīng)用廣泛的概念對行列式的研究重在計(jì)算，但由于行列式的計(jì)算靈活、技巧性強(qiáng)，尤其是計(jì)算高階行列式往往較為困難行列式的計(jì)算通常要根據(jù)行列式的具體特點(diǎn)采用相應(yīng)的計(jì)算方法，有時(shí)甚至需要將幾種方法交叉運(yùn)用，而且一題多種解法的情況很多，好的方法能極大降低計(jì)算量，因此行列式計(jì)算方法往往靈活多變在解決行列式的某些

2、問題時(shí)，對于級數(shù)較高的行列式，常采用分塊的方法，將行列式分成若干子塊，往往可以使行列式的結(jié)構(gòu)清晰，計(jì)算簡化本文在廣泛閱讀文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，從溫習(xí)分塊矩陣的定義和性質(zhì)出發(fā)，給出了分塊矩陣的一些重要結(jié)論并予以證明，在此基礎(chǔ)上討論利用分塊矩陣計(jì)算行列式的方法，并與其他方法相互比較，以此說明分塊矩陣在行列式計(jì)算中的優(yōu)勢1.1 矩陣的定義有時(shí)候，我們將一個(gè)大矩陣看成是由一些小矩陣組成的，就如矩陣是由數(shù)組成的一樣特別在運(yùn)算中，把這些小矩陣當(dāng)做數(shù)一樣來處理這就是所謂的矩陣的分塊把原矩陣分別按照橫豎需要分割成若干小塊，每一小塊稱為矩陣的一個(gè)子塊或子矩陣，則原矩陣是以這些子塊為元素的分塊矩陣這是處理級數(shù)較高的矩陣時(shí)

3、常用的方法定義1 設(shè)是矩陣，將的行分割為段，每段分別包含行，將的列分割為段，每段包含列，則，就稱為分塊矩陣，其中是矩陣（）注：分塊矩陣的每一行（列）的小矩陣有相同的行（列）數(shù) 例如，對矩陣分塊，其中，1.2 矩陣的運(yùn)算進(jìn)行分塊矩陣的加、減、乘法與轉(zhuǎn)置運(yùn)算時(shí)，可將子矩陣當(dāng)做通常矩陣的元素看待加法運(yùn)算 設(shè)和為同型矩陣（行數(shù)和列數(shù)分別相等），若用相同的分塊方法，即，其中、是矩陣，且，則與可直接相加，即數(shù)乘運(yùn)算 設(shè)分塊矩陣，為任意數(shù)，則分塊矩陣與的數(shù)乘為乘法運(yùn)算 一般地說，設(shè)，將矩陣、分塊，其中每個(gè)是小矩陣，每個(gè)是小矩陣，于是有，其中是矩陣，應(yīng)該注意，在進(jìn)行乘法運(yùn)算求乘積時(shí)，對矩陣、分塊要求，矩陣的列

4、的分法必須與矩陣的行的分法一致矩陣的乘法不適合交換律，即一般來說，沒有分塊矩陣是一類特殊的矩陣，它的乘法同樣不適合交換律根據(jù)上文所述分塊矩陣也是一個(gè)矩陣，因此有與一般矩陣的加法、數(shù)乘、乘法的運(yùn)算性質(zhì)相同不過，分塊矩陣運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1) 進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，對應(yīng)子塊的結(jié)構(gòu)需相同；(2) 進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，必須對每一子塊都乘以相同的數(shù)；(3) 進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，不能隨意交換兩個(gè)相乘子塊的順序在具體運(yùn)算過程中，我們要靈活地分塊，目的是使運(yùn)算更簡便而對于乘法，在矩陣與矩陣相乘時(shí)，對的一個(gè)分塊方式，可以有幾種分塊方式都可與相乘，同樣對的一個(gè)分塊方式，也是如此但不論怎樣分塊，始終堅(jiān)持相乘的兩個(gè)矩陣前一個(gè)

5、矩陣列的分法與后一個(gè)矩陣行的分法一致，因?yàn)橹挥羞@樣乘積才有意義例如，已知，我們把分塊為，其中為二階單位陣，這時(shí)若只考慮乘法的相容性，可以分塊為、或，我們可以看到第一種分法中有單位塊，而，對于乘法運(yùn)算顯然更加簡便，即設(shè)是一個(gè)分塊矩陣，那么它的轉(zhuǎn)置為分塊矩陣的轉(zhuǎn)置應(yīng)遵守如下規(guī)則：(1) 的每一塊都看成元素，對轉(zhuǎn)置；(2) 對的每一塊都轉(zhuǎn)置1.3 特殊的分塊矩陣 形式如的矩陣，其中是矩陣，通常稱為準(zhǔn)對角矩陣準(zhǔn)對角矩陣具有如下性質(zhì)：(1) 設(shè) ，則有；(2) 可逆可逆，且；(3) 對于兩個(gè)有相同分塊的準(zhǔn)對角矩陣，如果它們相應(yīng)的分塊是同級的，那么顯然有，它們還是準(zhǔn)對角矩陣與普通矩陣的初等變換類似，分塊矩

6、陣的初等變換有三種：(1) 互換分塊矩陣二個(gè)塊行（列）的位置；(2) 用一個(gè)可逆矩陣左乘（右乘）分塊矩陣的某一塊行（列）；(3) 將分塊矩陣某一塊行（列）的（矩陣）倍加到另一塊行（列）定義2 由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣現(xiàn)將某個(gè)單位矩陣如下進(jìn)行分塊，對它進(jìn)行兩行（列）對換；矩陣的某行（列）乘以行列可逆陣；某一行（列）乘以矩陣加到另一行（列）上，就可得到如下三種分塊初等矩陣：(1) 分塊初等對換陣；(2) 分塊初等倍乘陣，；(3) 分塊初等倍加陣，與初等矩陣和初等變換的關(guān)系一樣，用上面這些矩陣左乘任一個(gè)分塊矩陣，只要分塊乘法能夠進(jìn)行，其結(jié)果就等于對它進(jìn)行相應(yīng)的初等變換：(1)

7、 ；(2) ；(3) 同樣，用它們右乘任一矩陣，也有相應(yīng)的結(jié)果我們通過驗(yàn)證，當(dāng)用分塊初等矩陣左乘（右乘）一個(gè)分塊矩陣，就相當(dāng)于對該分塊矩陣作了一次相應(yīng)的分塊矩陣的初等行（列）變換分塊矩陣的初等行（列）變換具有直觀的優(yōu)點(diǎn)，用分塊初等矩陣左乘（右乘）一個(gè)分塊矩陣能得到矩陣間的等式，從而有利于計(jì)算矩陣行列式的值定義3 在一個(gè)級行列式中任意選定行列位于這些行和列的交點(diǎn)上的個(gè)元素按照原來的次序組成一個(gè)級行列式，稱為行列式的一個(gè)級子式當(dāng)時(shí)，在中劃去這行列后余下的元素按照原來的次序組成的級行列式稱為級子式的余子式引理（拉普拉斯定理）設(shè)在行列式中任意取定了個(gè)行由這行元素所組成的一切級子式與它們的代數(shù)余子式的乘

8、積的和等于行列式定理1 設(shè)是階方陣，是階矩陣，是階矩陣，則證明 利用拉普拉斯定理，只要將行列式按后行展開，在其所有的階子式中，除外至少包含一列零向量，因此它們的值為零而的余子式為，且位于整個(gè)矩陣的第行，第列，即可得類似地行列式的形式為時(shí)，由行列式的轉(zhuǎn)置值不變，因此仍有通過上面的定理，我們自然想到，若是將行列式換成又會(huì)有怎樣的結(jié)論，它的值等于嗎？ 定理2 設(shè)、均為階方陣，則證明 將拉普拉斯定理應(yīng)用于上式的后行， 在其所有階子式中，除外至少包含一列零向量，因此它們的值為零而的余子式為，且位于整個(gè)矩陣的第行， 第列，因此，其中，即定理3 是分塊階矩陣，其中為階方陣，為階陣，為階陣，為階方陣(1) 若可逆，則；(2) 若可逆，則證明 (1) 當(dāng)時(shí)，有兩邊取行列式可得(2) 當(dāng)時(shí)，有兩邊取行列式可得= 將定理3中條件特殊化，可得到如下推論推論1 設(shè)、分別是，矩陣，則有(1) ；(2) 證明 (1) 只需在定理3中令，即有(2) 只需在定理3中令，即有推論2 設(shè)、分別是，則有證明 只需在定理3中令，則有定理4 設(shè)、都是階方陣，則(1) 當(dāng)且時(shí)，； (2) 當(dāng)且時(shí)，；(3) 當(dāng)