海南大學(xué)應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析 復(fù)習(xí)真題

1、定義2.1 將個(gè)隨機(jī)變量的整體稱為維隨機(jī)向量，記為。定義2.2 設(shè)是維隨機(jī)向量，它的多元分布函數(shù)定義為 （2.2）記為，其中，表示維歐氏空間。多維隨機(jī)向量的統(tǒng)計(jì)特性可用它的分布函數(shù)來完整地描述。定義2.3 設(shè)是維隨機(jī)向量，若存在有限個(gè)或可列個(gè)維數(shù)向量，記，且滿足，則稱為離散型隨機(jī)向量，稱，為的概率分布。設(shè)，若存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)一切有（2.3）則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為分布密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)或分布密度。一個(gè)元函數(shù)能作為中某個(gè)隨機(jī)向量的密度函數(shù)的主要條件是：（1），；（2）離散型隨機(jī)向量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)可由它的概率分布完全確定，連續(xù)型隨機(jī)向量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)可由它的分布密度完全確定。定義2.4 設(shè)

2、是維隨機(jī)向量，稱由它的個(gè)分量組成的子向量的分布為的邊緣（或邊際）分布，相對(duì)地把的分布稱為聯(lián)合分布。當(dāng)?shù)姆植己瘮?shù)是時(shí)，的分布函數(shù)即邊緣分布函數(shù)為： 當(dāng)有分布密度時(shí)（亦稱聯(lián)合分布密度函數(shù)），則也有分布密度，即邊緣密度函數(shù)為：定義2.5 若個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布等于各自的邊緣分布的乘積，則稱是相互獨(dú)立的。定義2.6 設(shè)，若存在且有限，則稱為的均值（向量）或數(shù)學(xué)期望，有時(shí)也把和分別記為和，即，容易推得均值（向量）具有以下性質(zhì)：（1）（2）（3）其中，、為隨機(jī)向量，、為大小適合運(yùn)算的常數(shù)矩陣。定義2.7 設(shè)，稱（2.4）為的方差或協(xié)差陣，有時(shí)把簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為，從而有；稱隨機(jī)向量和的協(xié)差陣為 （2.5）當(dāng)時(shí)

3、，即為。若，則稱和不相關(guān)，由和相互獨(dú)立易推得，即和不相關(guān)；但反過來，當(dāng)和不相關(guān)時(shí)，一般不能推知它們獨(dú)立。當(dāng)、為常數(shù)矩陣時(shí)，由定義可以推出協(xié)方差陣有如下性質(zhì)：（1）對(duì)于常數(shù)向量，有（2）（3）（4）設(shè)為維隨機(jī)向量，期望和協(xié)方差存在，記，為常數(shù)陣，則 這里我們應(yīng)該注意到，對(duì)于任何的隨機(jī)向量來說，其協(xié)差陣都是對(duì)稱陣，同時(shí)總是非負(fù)定（半正定）的。大多數(shù)情況是正定的。若的協(xié)差陣存在，且每個(gè)分量的方差大于零，則稱隨機(jī)向量的相關(guān)陣為，其中 （2.6）為與的相關(guān)系數(shù)。在數(shù)據(jù)處理時(shí)，為了克服由于指標(biāo)的量綱不同對(duì)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果帶來的影響，往往在使用各種統(tǒng)計(jì)分析之前，常需要將每個(gè)指標(biāo)“標(biāo)準(zhǔn)化”，即進(jìn)行如下變換， （2

4、.7）那么由（2.7）構(gòu)成的隨機(jī)向量。令，有：那么，標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)向量均值和協(xié)差陣分別為 即標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的協(xié)差陣正好是原指標(biāo)的相關(guān)陣。定理2.1 設(shè)，則有，多元正態(tài)分布的性質(zhì) 1若，是對(duì)角陣，則相互獨(dú)立。2若，為階常數(shù)陣，為維常數(shù)向量，則 即正態(tài)隨機(jī)向量的線性函數(shù)還是正態(tài)的。3若，將，作如下剖分 則，。這里需要指出的是：第一，多元正態(tài)分布的任何邊緣分布為正態(tài)分布，但反之不真。第二，由于，故表示和不相關(guān)，因此可知，對(duì)于多元正態(tài)變量而言，和的不相關(guān)與獨(dú)立是等價(jià)的。一、填空題：1.多元統(tǒng)計(jì)分析是運(yùn)用 方法來研究解決 問題的理論和方法。2. 回歸參數(shù)顯著性檢驗(yàn)是檢驗(yàn) 對(duì) 的影響是否顯著。3聚類分析就是分

5、析如何對(duì)樣品（或變量）進(jìn)行量化分類的問題。通常聚類分析分為 聚類和 聚類。4相應(yīng)分析的主要目的是尋求列聯(lián)表 和 的基本分析特征和它們的最優(yōu)聯(lián)立表示。5因子分析把每個(gè)原始變量分解為兩部分因素：一部分為 ，另一部分為 。6.若=1,2,3.n且相互獨(dú)立，則樣本均值向量服從的分布為_。二、名詞解釋1. 隨機(jī)向量 2.相似數(shù)據(jù) 3.馬氏距離（總體內(nèi)兩點(diǎn)間）三、簡(jiǎn)答1. 簡(jiǎn)述典型變量與典型相關(guān)系數(shù)的概念，并說明典型相關(guān)分析的基本思想。2. 簡(jiǎn)述相應(yīng)分析的基本思想。3. 簡(jiǎn)述求度量MDS古典解的一般步驟。4. 簡(jiǎn)述費(fèi)希爾判別法的基本思想。5. 簡(jiǎn)述多元統(tǒng)計(jì)分析中協(xié)差陣檢驗(yàn)的步驟6. 在進(jìn)行系統(tǒng)聚類分析時(shí)，

6、不同的類間距離計(jì)算方法有何區(qū)別？請(qǐng)舉例說明。7. 比較主成分分析與因子分析的異同點(diǎn)。8. 簡(jiǎn)述相應(yīng)分析的基本思想。9. 進(jìn)行相應(yīng)分析時(shí)在對(duì)因素A和因素B進(jìn)行相應(yīng)分析之前沒有必要進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)？為什么？四、計(jì)算:1.給出標(biāo)準(zhǔn)化變量X1，X2, X3的協(xié)差陣（即相關(guān)陣）R，同時(shí)給出R的特征值和相應(yīng)的正交化特征向量。要求：1）計(jì)算因子載荷矩陣A，并建立因子模型； 2）計(jì)算公因子的方差貢獻(xiàn)，并說明其統(tǒng)計(jì)意義。2.下表是進(jìn)行因子分析的結(jié)果,試根據(jù)下列信息計(jì)算變量共同度hi2及公共因子Fj 的方差貢獻(xiàn),并說明其統(tǒng)計(jì)意義. Component Matrix Component 123 X1.969-1.084E-02.205 X2.911.321-.102 X3.847-.120.323 X4.941.281-2.693E-02 X5.899.215-1.963E-02 X6-.313.839.305 X7-.6666.280E-02.679 X8.575-.580.367 Extraction Method: Principal Component Analysis. a 3 components extracted. 3.會(huì)用最短距離法和最長(zhǎng)距離法進(jìn)行聚類分析，并畫