專題 設(shè)而不求的導(dǎo)數(shù)問題的研究與拓展

1、專題3.4： “設(shè)而不求”的導(dǎo)數(shù)問題的研究與拓展【探究拓展】探究1：若函數(shù)滿足，且時(shí)，函數(shù)則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_.15思考：證明：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).探究2：已知函數(shù)f(x)=lnx+ +axa2(其中a0)（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)的最小值；（2）若x1,3時(shí)，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（可以直接單刀直入的方法）對于圖像的要求：一開始必須單調(diào)遞增，否則不成立解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，+) （1）a=1時(shí)，f(x)=lnx+ +x3，f (x)= +1= 當(dāng)0x1時(shí)，f (x)1時(shí)，f (x)0 所以，f(x)在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù)，在區(qū)間(1，+)上為增

2、函數(shù).所以，a=1時(shí)，f(x)的最小值為f(1)=0 （2）由(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)0恒成立，即lnx+ +x30恒成立.所以當(dāng)a1，且x1,2時(shí)，f(x)=lnx+ +a（x1）2lnx+ +x30所以，當(dāng)a1符合要求 0a0)，令g(x)=ax2+x2，g(1)=a10，所以方程ax2(2a1)x3=0一根大于1，另一根小于1， 不妨設(shè)兩根為x1，x2，x11x2，所以1xx2時(shí)，f (x)0，f(x)在(1，x2)為減函數(shù) 故當(dāng)x(1，x2)時(shí)，f(x)f(1)=0，與x1，3，f(x)0恒成立矛盾所0a1不符合要求所以，a的取值范圍是1，+) 探究3：已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)(其中為自然

3、對數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3. （1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且對任意恒成立，求的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，求證：.解析：（1），由解得；（2）， （換元）令，有，那么. （研究導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）不妨設(shè)，由，則可知，且. （導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)估計(jì)）因此，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（得到函數(shù)單調(diào)性）即可知， （設(shè)而不求代入化簡）所以，得到滿足條件的的最大正整數(shù)為3.（3）證明：； （等價(jià)轉(zhuǎn)化）由，下只要證在為增函數(shù)即可： ，令，由，那么， （研究導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）得到，從而可知在為增函數(shù)，得證.變式1：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則整數(shù)k的最大值為_ 4 先縮小再驗(yàn)證證明變式2：已知函數(shù)，為何值時(shí)，方程有唯一解.解析： ， （等價(jià)

4、轉(zhuǎn)化）當(dāng)時(shí)，有； （分離參數(shù)step1）設(shè)，；又，不妨設(shè)，則可知. （分母零點(diǎn)的估計(jì)）當(dāng)時(shí)，得到； ，令，易知，且時(shí)，；時(shí)，；（導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)） 綜上可知在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)；畫圖函數(shù)圖像： 因此，可知所求的范圍為. （作圖像時(shí)需要用極限！）變式3：已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，首先，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則有其次，當(dāng)時(shí)，令，由題1可知，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí),同樣有再者，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與相交于點(diǎn)和同時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 即可知，將代入得到： ，令，則又由變式2可知，那么，即在區(qū)間上遞減，因此有，與矛盾，故不合題意綜上可知，滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍為評(píng)注2：上述解法中，若要驗(yàn)證不合題意，除了采用解法中的嚴(yán)謹(jǐn)論證，也可采用“驗(yàn)證性”做法：即將代入到中，得到若時(shí)，則有，與矛盾，故不成立評(píng)注3：若從“形”的角度去“還原”此題，可令，易知，