二次函數(shù)基礎(chǔ)知識梳理

1、二次函數(shù)基礎(chǔ)知識梳理一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值2. 的性質(zhì)：上加下減。的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)

2、對稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值3. 的性質(zhì)：左加右減。的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值4.的性質(zhì)：的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)

3、平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）沿x軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住

4、以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值 2. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，有最大值七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數(shù)，）；2. 頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種

5、形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 九 二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式十、二次函數(shù)圖象的對稱十一、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況

6、.圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根這兩點(diǎn)間的距離. 當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒有交點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)

7、對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).12、 二次函數(shù)的應(yīng)用1對于任意實(shí)數(shù)m，下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是 ( ) Ay=(m1) 2x2 By=(m+1) 2x2 Cy=(m2+1)x2 Dy=(m21)x22.已知二次函數(shù)y=（m+1）x2有最大值，則m的取值范圍是_3.拋物線y=5x2的對稱軸為_，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_4.拋物線的對稱軸是直線（ ）ABCD5.已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則m_；6.拋物線+5，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,當(dāng)x 時(shí),y隨x的增大而減小， 函數(shù)有最 值 .7已知二次函數(shù)y=x22x3的函數(shù)值y<0，則x的取值范圍為_8.已知二次函數(shù)ya x2b

8、xc(a0)，其中a、b、c滿足abc0和9a3bc0，則該二次函數(shù)的對稱軸為直線_9.二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A B C D10.拋物線y=8x2+2mx+m-2的頂點(diǎn)在x軸上，則頂點(diǎn)坐標(biāo)是( ) A(4，0) B C. D(0，)11. 不論x取何值，二次函數(shù)y=x2+6x+c的函數(shù)值總為負(fù)數(shù)，則c的取值范圍為 . 12已知x、y都是正實(shí)數(shù)，且滿足4x24xyy22xy60，則x（1y）的最小值為 13.若直線ym（m為常數(shù)）與函數(shù)y的圖像恒有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則常數(shù)m的取值范圍是_。14已知函數(shù)y(a2) x24x1與x軸有交點(diǎn)，則a的取值范圍是 ( ) Aa>2 Ba>

9、2且a2 Ca2 Da2且a215.若二次函數(shù)的圖像與軸沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是_。16.已知函數(shù)y=x22x+k的圖象經(jīng)過點(diǎn)（，y1），（，y2），則y1與y2的大小關(guān)系為（ ） Ay1>y2 By1=y2 Cy1<y2 D不能確定17.拋物線yx26x12經(jīng)過平移得到y(tǒng)x2，則平移方法是 ( ) A向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度 B向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度 C向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度 D向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度18已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則以下結(jié)論：a+b+c<0；ab+c

10、>1；abc>0；4a2b+c<0；ca>1，其中正確結(jié)論的序號是 ( ) A B C D19已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(一2，0)、(x，0)，且1<x1<2，與y軸正半軸的交點(diǎn)在(0，2)的下方下列結(jié)論：4a2b+c=0；a<b<0；2a+c>0；2a6+1>0其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_20. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,2)，且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，其中-2x1-1，0x21，（a<0 ，頂點(diǎn)在第二象限)下列結(jié)論：4a-2b+c0；2a-b0；a-1；b2+8a

11、4ac.其中正確的有( )A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)21如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC，則下列結(jié)論：abc0；acb+1=0；OAOB=其中正確結(jié)論的序號是_ 22已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，y1），（1，y2），（1，0），且y10y2，對于以下結(jié)論：abc0；a+3b+2c0；對于自變量x的任意一個(gè)取值，都有x2+x；在2x1中存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得x0=，其中結(jié)論錯(cuò)誤的是_（只填寫序號）23如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A（3，0），對稱軸為直線x=1，

12、給出以下結(jié)論：abc0 b24ac0 4b+c0 若B（，y1）、C（，y2）為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1y2當(dāng)3x1時(shí)，y0，其中正確的結(jié)論是（填寫代表正確結(jié)論的序號）_ 24二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：；（為不等于1的任意實(shí)數(shù)）；若，且，則其中正確結(jié)論的序號為 25已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)中，函數(shù)值y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表：x54321y32565則關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc2的根是 26已知一次函數(shù)y1=kx+m（k0）和二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a0）的自變量和對應(yīng)函數(shù)值如表：x1024y10135x1134y20405當(dāng)y2y1時(shí)，自變量x的取值范

13、圍是（）Ax1 Bx4 C1x4 Dx1或x427已知關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+x+1(a為常數(shù)) (1)若函數(shù)的圖象與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值 (2)若函數(shù)的圖象是拋物線，且頂點(diǎn)始終在x軸上方，求a的取值范圍28.已知函數(shù).（1） 確定下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2） 當(dāng)x= 時(shí)，拋物線有最 值，是 .（3） 當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而減小.（4） 求出該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及兩交點(diǎn)間距離；（5） 求出該拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（6） 該函數(shù)圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的平移得到的？29如圖，拋物線yx2xa與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)在直線y2x上（1）求a的值；（2）求A，B的坐標(biāo)；（3）以AC，C