人教版九年級(jí)上一元二次方程2124一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系導(dǎo)學(xué)案有答案

1、21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【目標(biāo)導(dǎo)航】1、經(jīng)歷從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系2、掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式3、能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根4、會(huì)求一元二次方程兩個(gè)根的倒數(shù)和與平方數(shù)，兩根之差【知識(shí)鏈接】法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有一種非常密切的關(guān)系，因此，人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理。歷史是有趣的，韋達(dá)在16世紀(jì)就得出這個(gè)定理，證明這個(gè)定理要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個(gè)實(shí)質(zhì)性的論證。用于求方程中的特定系數(shù)，求含有方程根的一些代數(shù)式的值等問題，由方程的根確定方程的系數(shù)的方法等

2、都很方便?！菊鋵毺綄ぁ空鋵?一一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1 設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根，試推導(dǎo)x1+x2=-，x1·x2=；解析：（1）x1、x2是ax2+bx+c=0（a0）的兩根， x1=，x2= x1+x2=-， x1·x2=·= 即 ；這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，它是由法國的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的，所以我們又稱之為韋達(dá)定理。2.使用一元二次方程ax2+bx+c=0的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)需注意：(1)先把方程化為一般形式，并要注意隱含條件a0；(2)應(yīng)用時(shí)一定要記住根的判別式=b2-4ac0這個(gè)前提條件；(3)寫 時(shí)不要弄錯(cuò)符號(hào)

3、.【營養(yǎng)快餐】快餐 一 經(jīng)典基礎(chǔ)題例1：若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值是（ ）A2 B3 C2 D3分析：由有根與系數(shù)的關(guān)系3。解：因?yàn)?，中a1，c3，所以3故選B點(diǎn)撥：本題利用兩根之積與系數(shù)的關(guān)系.例2、是方程的兩個(gè)根，不解方程，求下列代數(shù)式的值：（1） （2） （3）分析：由根與系數(shù)的關(guān)系可建立關(guān)于和的方程組，再把所求式子用它們表示出來，代入化簡即得解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，進(jìn)而（1）（2）（3）原式點(diǎn)撥：本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式、恒等式的變形等知識(shí)。例3：（若x11是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根x2 分析：設(shè)方程的另一根為x2，由一個(gè)

4、根為x11，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積，列出關(guān)于x2的方程，求出方程的解得到x2的值，即為方程的另一根解：關(guān)于x的方程x2+mx50的一個(gè)根為x11，設(shè)另一個(gè)為x2，x25，解得：x25，則方程的另一根是x25點(diǎn)撥：本題此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c0（a0），當(dāng)b24ac0時(shí)方程有解，此時(shí)設(shè)方程的解為x1，x2，則有 。例4：已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21，求的值。 分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求得的值。解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 解這個(gè)不等式，得0 設(shè)方程兩根為 則

5、， 整理得： 解得： 又， 點(diǎn)撥：當(dāng)求出后，還需注意隱含條件，應(yīng)舍去不合題意的。 例5：已知關(guān)于的方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于的方程（2）沒有實(shí)數(shù)根，問取什么整數(shù)時(shí)，方程（1）有整數(shù)解？ 分析：在同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數(shù)值。 解：方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 解得； 方程（2）沒有實(shí)數(shù)根， ， 解得； 于是，同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是 其中，的整數(shù)值有或 當(dāng)時(shí)，方程（1）為，無整數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，方程（1）為，有整數(shù)根。解得： 所以，使方程（1）有整數(shù)根的的整數(shù)值是。 點(diǎn)撥：熟悉一元二次方程實(shí)數(shù)根存在條件是解答此題的基礎(chǔ)，正確

6、確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。例6：已知實(shí)數(shù)a，b分別滿足a26a+40，b26b+40，且ab，則的值是（）A7B7C11D11分析：根據(jù)已知兩等式得到a與b為方程的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b與ab的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，再利用完全平方公式變形，將a+b與ab的值代入計(jì)算即可求出值解：根據(jù)題意得：a與b為方程x26x+40的兩根，a+b6，ab4，因?yàn)?點(diǎn)撥：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，要能夠觀察出a與b為方程x26x+40的兩根，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵快餐 二

7、 中考能力題例7. 已知、是一元二次方程的兩個(gè)根，則等于（ ） A. B. C. 1 D. 4【解析】根據(jù)一元二次方程兩根之積與系數(shù)關(guān)系分析解答. 由題可知：，【答案】A【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系例8x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2mx+m2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù)m使+=0成立？則正確的是結(jié)論是（）Am=0時(shí)成立Bm=2時(shí)成立Cm=0或2時(shí)成立D不存在【解析】x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2mx+m2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x1+x2=m，x1x2=m2假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使+=0成立，則=0，=0，m=0當(dāng)m=0時(shí)，方程x2mx+m2=0即為x22=0，此時(shí)=80，m=0

8、符合題意【答案】A【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí)，那么x1+x2=p，x1x2=q例9已知函數(shù)y=的圖象在第一象限的一支曲線上有一點(diǎn)A（a，c），點(diǎn)B（b，c+1）在該函數(shù)圖象的另外一支上，則關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根x1，x2判斷正確的是（）Ax1+x21，x1x20Bx1+x20，x1x20C0x1+x21，x1x20Dx1+x2與x1x2的符號(hào)都不確定【解析】根據(jù)點(diǎn)A（a，c）在第一象限的一支曲線上，得出a0，c0，再點(diǎn)B（b，c+1）在該函數(shù)圖象的另外一支上，得出b0，c1，再根據(jù)x1x2=，x1+x2=

9、，即可得出答案【答案】C【點(diǎn)撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，掌握根與系數(shù)的關(guān)系和各個(gè)象限點(diǎn)的特點(diǎn)是本題的關(guān)鍵；若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c為常數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1+x2=，x1x2=例10.已知關(guān)于x的方程x2+ax+a2=0（1）若該方程的一個(gè)根為1，求a的值及該方程的另一根；（2）求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根分析：（1）將x=1代入方程x2+ax+a2=0得到a的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出另一根；（2）寫出根的判別式，配方后得到完全平方式，進(jìn)行解答解：（1）將x=1代入方程x2+ax+a2=0得，1+a+a2=0，解得，

10、a=；方程為x2+x=0，即2x2+x3=0，設(shè)另一根為x1，則1x1=，x1=（2）=a24（a2）=a24a+8=a24a+4+4=（a2）2+40，不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根點(diǎn)撥：本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，要記牢公式，靈活運(yùn)用快餐 三 易錯(cuò)易混題例11已知，是關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m20的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足+1，則m的值是（）A3或1 B3 C1 D3或1分析：由于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得0，由此可以求出m的取值范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系和+1，可以求出m的值，最后求出符合題意的m值錯(cuò)解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得+（2m+3）

11、m2又因?yàn)?1，即1，整理，得0，解得故選A正解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得+（2m+3） m2又因?yàn)?1，即1，整理，得0，解得又根據(jù)0得0解得m所以m只能夠取3故選B點(diǎn)撥： 1、考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系與根的判別式及不等式組的綜合應(yīng)用能力一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）0，方程沒有實(shí)數(shù)根2、一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2， x1x2快餐 四 課堂練習(xí)題一、選擇題1. 已知x1，x2是一元二次方程的兩根，則的值是（） A0 B 2 C2 D 42. 已知m， n是關(guān)于x的一元

12、二次方程x23x+a0的兩個(gè)解，若（m1）（n1）6，則a的值為（）A10 B 4 C4 D 10二、填空題3設(shè)x1，x2是方程2x23x30的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為 4.已知關(guān)于的方程的兩根為，且，則 。5若兩個(gè)不等實(shí)數(shù)m、n滿足條件：m22m10，n22n10，則m2+n2的值是 6.若x1，x2是方程x2-2x-5=0的兩根，則x12+x1x2+x22=_.7.已知一元二次方程y2-3y +1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為y1，y2，則(y1-1)(y2-1)的值為_.三、解答題8.(雞西模擬)若關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且滿足x1=3x2，試求出方程的兩

13、個(gè)實(shí)數(shù)根及k的值.9. 設(shè)，是方程0的兩實(shí)數(shù)根，求的值10.關(guān)于x的方程kx2+(k+2)x+=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍.(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.11. 已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0，其中a、b、c分別為ABC三邊的長（1）如果x=1是方程的根，試判斷ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷ABC的形狀，并說明理由；（3）如果ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根課堂練習(xí)參考答案1.【解析】由題意，得：x1+x2=-p，x1x2=q；【答案

14、】B.p=-(x1+x2)=-3，q=x1x2=2.故選A.2.【解析】C（提示：根據(jù)題意得：m+n3，mna，（m1）（n1）mn（m+n）+16，a3+16，解得：a4.【答案】C.3.【解析】（提示：x1，x2是方程2x23x30的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x1+x2，x1x2，則原式答案：4.【解析】：由于韋達(dá)定理得：，解得：。答案：5.【解析】6（提示：由題意知，m、n是關(guān)于x的方程x22x10的兩個(gè)根，則m+n2，mn1所以，m2+n2（m+n）22mn2×22×（1）6答案：66.【解析】x1，x2是方程x2-2x-5=0的兩根，x1+x2=2，x1x2=-5，x12+x1

15、x2+x22=(x1+x2)2-x1x2=4+5=9.答案：97.【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=3，y1y2=1，所以(y1-1)(y2-1)=y1y2-y1-y2+1=y1y2-(y1+y2)+1=1-3+1=-1.答案：-18.【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系得:x1+x2=4，x1x2=k-3，又x1=3x2，聯(lián)立、，解方程組得k=x1x2+3=3×1+3=6.答：方程兩根為x1=3,x2=1；k=6.9.【解析】將代入0中得0，移項(xiàng)，德兩邊同乘以，得，再將代入得所以，因?yàn)?1所以2019。10.【解析】(1)由=(k+2)2-4k·0,k-1，又k0，k的取值范圍是k-1且k0.(2)不存在符合條件的實(shí)數(shù)k.理由：設(shè)方程kx2+(k+2)x+=0的兩根分別為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系有：又，則，k=-2.由(1)知，k=-2時(shí)