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文檔簡(jiǎn)介
1、直接證明與間接證明_(1) 了解直接證明的一種基本方法綜合法、分析法;(2) 了解間接證明的一種基本方法反證法;(3)了解綜合法、分析法、反證法的思考過程與特點(diǎn),會(huì)用綜合法、分析法、反證法證明數(shù)學(xué)問題.類型一、直接證明:一. 綜合法1.定義:從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則,經(jīng)過一系列的推理論 證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立. 2.思維特點(diǎn):由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā),利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式,推出 結(jié)論的一種證明方法3.框圖表示:(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論)二.分析法1.定義:一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,
2、直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判斷一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明方法叫做分析法.2. 思維特點(diǎn):執(zhí)果索因步步尋求上一步成立的充分條件,它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種 方法3.框圖表示:(用Q表示要證明的結(jié)論,Pn表示充分條件)4.分析法的書寫格式:例3 求證:證明:因?yàn)槎际钦龜?shù),所以要證只需證展開得 只需證 只需證 因?yàn)轱@然成立,所以要證:只要證:只需證:顯然成立上述各步均可逆所以,結(jié)論成立類型二、反證法:反證法:假設(shè)命題結(jié)論不成立(即命題結(jié)論的反面成立),經(jīng)過正確的推理,引出矛盾,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原命題成立,這樣的的證明方法叫反證法。(2)反證法的一般
3、步驟:a、反設(shè):假設(shè)命題結(jié)論不成立(即假設(shè)結(jié)論的反面成立);b、歸繆:從假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾; c、下結(jié)論:由矛盾判定假設(shè)不成立,從而肯定命題成立。(3)應(yīng)用反證法的情形:直接證明困難;需分成很多類進(jìn)行討論結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個(gè)” -類命題; 結(jié)論為 “唯一”類命題;(4)關(guān)鍵在于歸繆矛盾:a、與已知條件矛盾;b、與公理、定理、定義矛盾;c、自相矛盾。 題型一綜合法:例1 已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:證明:以上三式相加,且注意到a,b,c不全相等,故總結(jié):本題主要綜合運(yùn)用基本不等式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來證明.例2 在ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a
4、, b,c,且A,B,C成等差數(shù)列, a, b,c 成等比數(shù)列,求證ABC為等邊三角形.證明:由 A, B, C成等差數(shù)列,有 2B=A + C 因?yàn)锳,B,C為ABC的內(nèi)角,所以A + B + C= 由 ,得B=. 由a, b,c成等比數(shù)列,有. 由余弦定理及,可得再由,得.因此.從而A=C. 由,得A=B=C=.所以ABC為等邊三角形總結(jié):解決數(shù)學(xué)問題時(shí),往往要先作語言的轉(zhuǎn)換,如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言,或把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等還要通過細(xì)致的分析,把其中的隱含條件明確表示出來 練習(xí):1、在ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為,且A,B,C成等差數(shù)列, 成等比數(shù)列,求證ABC為等邊三
5、角形.分析:將 A , B , C 成等差數(shù)列,轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言就是2B =A + C; A , B , C為ABC的內(nèi)角,這是一個(gè)隱含條件,明確表示出來是A + B + C =; a , b,c成等比數(shù)列,轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言就是此時(shí),如果能把角和邊統(tǒng)一起來,那么就可以進(jìn)一步尋找角和邊之間的關(guān)系,進(jìn)而判斷三角形的形狀,余弦定理正好滿足要求于是,可以用余弦定理為工具進(jìn)行證明證明:由 A, B, C成等差數(shù)列,有 2B=A + C 因?yàn)锳,B,C為ABC的內(nèi)角,所以A + B + C= 由 ,得B=.由a, b,c成等比數(shù)列,有.由余弦定理及,可得再由,得.因此.從而A=C. 由,得A=B=C=.所以A
6、BC為等邊三角形解決數(shù)學(xué)問題時(shí),往往要先作語言的轉(zhuǎn)換,如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言,或把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等還要通過細(xì)致的分析,把其中的隱含條件明確表示出來2、已知求證本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。 證明:1) 差值比較法:注意到要證的不等式關(guān)于對(duì)稱,不妨設(shè),從而原不等式得證。2)商值比較法:設(shè) 故原不等式得證。注:比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是:作差(或作商)、變形、判斷符號(hào)。討論:若題設(shè)中去掉這一限制條件,要求證的結(jié)論如何變換?題型二分析法:例2若a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:lg+ lg+ lglga+lgb+lgc。證明
7、:要證lg+ lg+ lglga+lgb+lgc,只需證lglg(abc),只需證abc。但是,。且上述三式中的等號(hào)不全成立,所以,abc。因此lg+ lg+ lglga+lgb+lgc。分析:從定不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點(diǎn),因此我們直接從待證不等式出發(fā),分析其成立的重要條件練習(xí):在銳角中,求證:證明:要證明只需證因?yàn)锳、B為銳角,所以只需證只需證因?yàn)镃為銳角,為鈍角所以恒成立所以題型三反證法:例1、已知a是整數(shù),2能整除,求證:2能整除a.證明: 假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即“2不能整除a”。因?yàn)閍是整數(shù),故a是奇數(shù),a可表示為2m+1(m為整數(shù)),則,即是奇數(shù)。所以,2不能整除。這與已知“2能
8、整除”相矛盾。于是,“2不能整除a”這個(gè)假設(shè)錯(cuò)誤,故2能整除a.例2、在同一平面內(nèi),兩條直線a,b都和直線c垂直。求證:a與b平行。證明:假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即“直線a與b相交”。設(shè)直線a,b的交點(diǎn)為M,a,c的交點(diǎn)為P,b,c的交點(diǎn)為Q,如圖所示,則。這樣的內(nèi)角和這與定理“三角形的內(nèi)角和等于”相矛盾,這說明假設(shè)是錯(cuò)誤的。所以直線a與b不相交,即a與b平行。例3、求證:是無理數(shù)。證明: 不是無理數(shù),即是有理數(shù),那么它就可以表示成兩個(gè)整數(shù)之比,設(shè),且p,q互素,則。所以 .故是偶數(shù),q也必然為偶數(shù)。設(shè)q=2k,代入式,則有,即,所以p也為偶數(shù)。P和q都是偶數(shù),它們有公約數(shù)2,這與p,q互素相矛
9、盾。因此,假設(shè)不成立,即“是無理數(shù)”。練習(xí):已知,求證:不能同時(shí)大于。證法一:假設(shè)三式同時(shí)大于,即,三式同向相乘得,又,同理,這與假設(shè)矛盾,故原命題得證。證法二:假設(shè)三式同時(shí)大于,同理三式相加得,這是矛盾的,故假設(shè)錯(cuò)誤,所以原命題得證1、已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:證明:2bc,a0,2abc 同理 2abc 2abc 因?yàn)閍,b,c不全相等,所以2bc, 2ca, 2ab三式不能全取“=”號(hào),從而、三式也不能全取“=”號(hào)2、已知a,b,c都是正數(shù),且a,b,c成等比數(shù)列,求證:證明:左右=2(ab+bcac)a,b,c成等比數(shù)列,又a,b,c都是正數(shù),所以3、若實(shí)數(shù),求證:證明:采
10、用差值比較法:4、已知a,b,c,dR,求證:ac+bd分析一:用分析法證法一:(1)當(dāng)ac+bd0時(shí),顯然成立(2)當(dāng)ac+bd0時(shí),欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)即證a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即證2abcdb2c2+a2d2即證0(bc-ad)2因?yàn)閍,b,c,dR,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:原不等式成立分析二:用綜合法證法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad
11、)2(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd故命題得證分析三:用比較法證法三:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd,即ac+bd 5、設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù),且ab,求證:a3+b3a2b+ab2 證明:(用分析法思路書寫) 要證 a3+b3a2b+ab2成立, 只需證(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立, 即需證a2-ab+b2ab成立。(a+b0) 只需證a2-2ab+b20成立, 即需證(a-b)20成立。 而由已知條件可知,ab,有a-b0,所以(a-b)20顯然成立,由此命題
12、得證。 (以下用綜合法思路書寫) ab,a-b0,(a-b)20,即a2-2ab+b20 亦即a2-ab+b2ab 由題設(shè)條件知,a+b0,(a+b)(a2-ab+b2)(a+b)ab即a3+b3a2b+ab2,由此命題得證._基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1 設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若bcos Cccos Basin A,則ABC的形狀為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形 D不確定答案B解析由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A,所以,sin(BC)sin2A,sinAsin2A,而sinA0,sinA1,A,所以ABC是直角三角形2 已知x、y為正實(shí)數(shù),
13、則()A2lgxlgy2lgx2lgy B2lg(xy)2lgx2lgyC2lgxlgy2lgx2lgy D2lg(xy)2lgx2lgy答案D解析2lg(xy)2(lgxlgy)2lgx2lgy.3設(shè)a、bR,且ab,ab2,則必有()A1abBab1Cab1 D1ab答案B解析ab2(ab)4設(shè)0x1,則a,b1x,c中最大的一個(gè)是()AaBbCcD不能確定答案C解析因?yàn)閎c(1x)0,所以b2x0,所以b1xa,所以abx0,且xy1,那么()Axy2xy B2xyxyCx2xyy Dx2xyx0,且xy1,設(shè)y,x,則,2xy.所以有x2xy0,b0,mlg,nlg,則m與n的大小關(guān)系
14、為_答案mn解析因?yàn)?)2ab2ab0,所以,所以mn.8設(shè)a,b,c,則a、b、c的大小關(guān)系為_答案acb解析b,c,顯然bc,而a22,c2828c.也可用ac20顯然成立,即ac.9如果abab,則實(shí)數(shù)a、b應(yīng)滿足的條件是_答案ab且a0,b0解析abababab0a()b()0(ab)()0()()20只需ab且a,b都不小于零即可三、解答題10 已知nN*,且n2,求證:.證明要證,即證1n,只需證n1,n2,只需證n(n1)(n1)2,只需證nn1,只需證01,最后一個(gè)不等式顯然成立,故原結(jié)論成立一、選擇題11 設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x),對(duì)任意xR都有f (x)f(x)成
15、立,則()A3f(ln2)2f(ln3)B3f(ln2)0),則F(x),x0,lnxR,對(duì)任意xR都有f (x)f(x),f(lnx)f(lnx),F(xiàn)(x)0,F(xiàn)(x)為增函數(shù),320,F(xiàn)(3)f(2),即,3f(ln2)2f(ln3)12要使成立,a、b應(yīng)滿足的條件是()AabbBab0且abCab0且a0且ab或ab0且ab答案D解析ab33ab.0時(shí),有,即ba;當(dāng)ab,即ba.13 若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x、y滿足1,且不等式x0,y0,1,x(x)()2224,等號(hào)在y4x,即x2,y8時(shí)成立,x的最小值為4,要使不等式m23mx有解,應(yīng)有m23m4,m4,故選B.14 在f(m,n)中,m
16、、n、f(m,n)N*,且對(duì)任意m、n都有:(1)f(1,1)1,(2)f(m,n1)f(m,n)2,(3)f(m1,1)2f(m,1);給出下列三個(gè)結(jié)論:f(1,5)9;f(5,1)16;f(5,6)26;其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()個(gè)A3B2C1D0答案A解析f(m,n1)f(m,n)2,f(m,n)組成首項(xiàng)為f(m,1),公差為2的等差數(shù)列,f(m,n)f(m,1)2(n1)又f(1,1)1,f(1,5)f(1,1)2(51)9,又f(m1,1)2f(m,1),f(m,1)構(gòu)成首項(xiàng)為f(1,1),公比為2的等比數(shù)列,f(m,1)f(1,1)2m12m1,f(5,1)25116,f(5,6)f
17、(5,1)2(61)161026,都正確,故選A.二、填空題15若sinsinsin0,coscoscos0,則cos()_.答案解析由題意sinsinsincoscoscos,兩邊同時(shí)平方相加得22sinsin2coscos12cos()1,cos().三、解答題16已知a、b、c表示ABC的三邊長(zhǎng),m0,求證:.證明要證明,只需證明0即可,a0,b0,c0,m0,(am)(bm)(cm)0,a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2,ABC中任意兩
18、邊之和大于第三邊,abc0,(abc)m20,2abmabc(abc)m20,.17求證:2cos().證明要證明原等式成立即證明sin(2)2sincos()sin,又因?yàn)閟in(2)2sincos()sin()2sincos()sin()coscos()sin2sincos()sin()coscos()sinsin()sin.所以原命題成立備用例題1:已知 求證:證明:由于x,y,zR,a,b,cR,則 所以.備用例題2: 已知,求證:cossin3(cossin)證明:要證cossin3(cossin),只需證,只需證,只需證1tan3(1tan),只需證tan,1tan2tan,即2t
19、an1.tan顯然成立,結(jié)論得證一、選擇題1否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說法中,正確的是()A有一個(gè)解B有兩個(gè)解C至少有三個(gè)解 D至少有兩個(gè)解答案C解析在邏輯中“至多有n個(gè)”的否定是“至少有n1個(gè)”,所以“至多有兩個(gè)解”的否定為“至少有三個(gè)解”,故應(yīng)選C.2否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)的正確反設(shè)為()Aa、b、c都是奇數(shù)Ba、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)Ca、b、c都是偶數(shù)Da、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)答案B解析a,b,c三個(gè)數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況:全是奇數(shù);有兩個(gè)奇數(shù),一個(gè)偶數(shù);有一個(gè)奇數(shù),兩個(gè)偶數(shù);三個(gè)偶數(shù)因?yàn)橐穸ǎ约僭O(shè)應(yīng)為“全是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”故應(yīng)選B.3用反
20、證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60”時(shí),反設(shè)正確的是()A假設(shè)三內(nèi)角都不大于60B假設(shè)三內(nèi)角都大于60C假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60D假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60答案B解析“至少有一個(gè)不大于”的否定是“都大于60”故應(yīng)選B.4用反證法證明命題:“若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根,那么a,b,c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí),下列假設(shè)正確的是()A假設(shè)a,b,c都是偶數(shù)B假設(shè)a、b,c都不是偶數(shù)C假設(shè)a,b,c至多有一個(gè)偶數(shù)D假設(shè)a,b,c至多有兩個(gè)偶數(shù)答案B解析“至少有一個(gè)”反設(shè)詞應(yīng)為“沒有一個(gè)”,也就是說本題應(yīng)假設(shè)為a,b,c都不是偶數(shù)5命題“ABC中,若AB,則ab
21、”的結(jié)論的否定應(yīng)該是()Aab”的否定應(yīng)為“ab或a0,x11且xn1(n1,2),試證“數(shù)列xn或者對(duì)任意正整數(shù)n都滿足xnxn1”,當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí),應(yīng)為()A對(duì)任意的正整數(shù)n,都有xnxn1B存在正整數(shù)n,使xnxn1C存在正整數(shù)n,使xnxn1且xnxn1D存在正整數(shù)n,使(xnxn1)(xnxn1)0答案D解析命題的結(jié)論是“對(duì)任意正整數(shù)n,數(shù)列xn是遞增數(shù)列或是遞減數(shù)列”,其反設(shè)是“存在正整數(shù)n,使數(shù)列既不是遞增數(shù)列,也不是遞減數(shù)列”故應(yīng)選D.二、填空題11命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是_答案沒有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形解析“至少有
22、一個(gè)”的否定是“沒有一個(gè)”12用反證法證明命題“a,bN,ab可被5整除,那么a,b中至少有一個(gè)能被5整除”,那么反設(shè)的內(nèi)容是_答案a,b都不能被5整除解析“至少有一個(gè)”的否定是“都不能”13用反證法證明命題:“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟:ABC9090C180,這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾,則AB90不成立;所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角;假設(shè)A,B,C中有兩個(gè)角是直角,不妨設(shè)AB90.正確順序的序號(hào)排列為_答案解析由反證法證明的步驟知,先反證即,再推出矛盾即,最后作出判斷,肯定結(jié)論即,即順序應(yīng)為.14用反證法證明質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)的過程如下:假設(shè)_設(shè)全體質(zhì)數(shù)為p1、p2、pn,令pp1p2pn1.顯然,p不含因數(shù)p1、p2、pn.故p要么是質(zhì)數(shù),要么含有_的質(zhì)因數(shù)這表明,除質(zhì)數(shù)p1、p2、pn之外,還有質(zhì)數(shù),因此原假設(shè)不成立于是,質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)答案質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)除p1、p2、pn之外解析由反證法的步驟可得三、解答題15已知:abc0,abbcca0,abc0.求證:a0,b0,c0.證明用反證法:假設(shè)a,b,c不都是正數(shù),由abc0可知,這三個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)為負(fù)數(shù),一個(gè)為正數(shù),不妨設(shè)a0,b0,則由abc0,可得c(ab),又ab0,c
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