人教版高中數(shù)學(xué)選修22教學(xué)案22直接證明與間接證明教師版

1、直接證明與間接證明_(1) 了解直接證明的一種基本方法綜合法、分析法；(2) 了解間接證明的一種基本方法反證法；(3)了解綜合法、分析法、反證法的思考過程與特點(diǎn),會(huì)用綜合法、分析法、反證法證明數(shù)學(xué)問題.類型一、直接證明：一. 綜合法1.定義：從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，經(jīng)過一系列的推理論 證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立. 2.思維特點(diǎn)：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出 結(jié)論的一種證明方法3.框圖表示：(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論)二.分析法1.定義：一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,

2、直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判斷一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明方法叫做分析法.2. 思維特點(diǎn)：執(zhí)果索因步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種 方法3.框圖表示：(用Q表示要證明的結(jié)論,Pn表示充分條件)4.分析法的書寫格式：例3 求證:證明：因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以要證只需證展開得 只需證 只需證 因?yàn)轱@然成立，所以要證：只要證：只需證：顯然成立上述各步均可逆所以,結(jié)論成立類型二、反證法：反證法：假設(shè)命題結(jié)論不成立（即命題結(jié)論的反面成立），經(jīng)過正確的推理,引出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原命題成立,這樣的的證明方法叫反證法。（2）反證法的一般

3、步驟：a、反設(shè)：假設(shè)命題結(jié)論不成立（即假設(shè)結(jié)論的反面成立）；b、歸繆：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾； c、下結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定命題成立。（3）應(yīng)用反證法的情形：直接證明困難;需分成很多類進(jìn)行討論結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個(gè)” -類命題； 結(jié)論為 “唯一”類命題；（4）關(guān)鍵在于歸繆矛盾：a、與已知條件矛盾；b、與公理、定理、定義矛盾；c、自相矛盾。 題型一綜合法：例1 已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：證明：以上三式相加，且注意到a,b,c不全相等，故總結(jié)：本題主要綜合運(yùn)用基本不等式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來證明.例2 在ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a

4、, b，c,且A,B,C成等差數(shù)列, a, b，c 成等比數(shù)列,求證ABC為等邊三角形.證明：由 A, B, C成等差數(shù)列，有 2B=A + C 因?yàn)锳,B,C為ABC的內(nèi)角，所以A + B + C= 由 ，得B=. 由a, b，c成等比數(shù)列，有. 由余弦定理及，可得再由，得.因此.從而A=C. 由，得A=B=C=.所以ABC為等邊三角形總結(jié):解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言，或把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來 練習(xí)：1、在ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為,且A,B,C成等差數(shù)列, 成等比數(shù)列,求證ABC為等邊三

5、角形.分析：將 A , B , C 成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言就是2B =A + C; A , B , C為ABC的內(nèi)角，這是一個(gè)隱含條件，明確表示出來是A + B + C =； a , b，c成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言就是此時(shí)，如果能把角和邊統(tǒng)一起來，那么就可以進(jìn)一步尋找角和邊之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求于是，可以用余弦定理為工具進(jìn)行證明證明：由 A, B, C成等差數(shù)列，有 2B=A + C 因?yàn)锳,B,C為ABC的內(nèi)角，所以A + B + C= 由 ，得B=.由a, b，c成等比數(shù)列，有.由余弦定理及，可得再由，得.因此.從而A=C. 由，得A=B=C=.所以A

6、BC為等邊三角形解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言，或把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來2、已知求證本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。 證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于對(duì)稱，不妨設(shè)，從而原不等式得證。2）商值比較法：設(shè) 故原不等式得證。注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。討論：若題設(shè)中去掉這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？題型二分析法：例2若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：lg+ lg+ lglga+lgb+lgc。證明

7、：要證lg+ lg+ lglga+lgb+lgc，只需證lglg（abc），只需證abc。但是，。且上述三式中的等號(hào)不全成立，所以，abc。因此lg+ lg+ lglga+lgb+lgc。分析：從定不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點(diǎn)，因此我們直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的重要條件練習(xí):在銳角中,求證:證明:要證明只需證因?yàn)锳、B為銳角,所以只需證只需證因?yàn)镃為銳角,為鈍角所以恒成立所以題型三反證法：例1、已知a是整數(shù)，2能整除，求證：2能整除a.證明： 假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“2不能整除a”。因?yàn)閍是整數(shù)，故a是奇數(shù)，a可表示為2m+1（m為整數(shù)），則，即是奇數(shù)。所以，2不能整除。這與已知“2能

8、整除”相矛盾。于是，“2不能整除a”這個(gè)假設(shè)錯(cuò)誤，故2能整除a.例2、在同一平面內(nèi)，兩條直線a，b都和直線c垂直。求證：a與b平行。證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“直線a與b相交”。設(shè)直線a，b的交點(diǎn)為M，a，c的交點(diǎn)為P，b，c的交點(diǎn)為Q，如圖所示，則。這樣的內(nèi)角和這與定理“三角形的內(nèi)角和等于”相矛盾，這說明假設(shè)是錯(cuò)誤的。所以直線a與b不相交，即a與b平行。例3、求證：是無理數(shù)。證明： 不是無理數(shù)，即是有理數(shù)，那么它就可以表示成兩個(gè)整數(shù)之比，設(shè)，且p，q互素，則。所以 .故是偶數(shù)，q也必然為偶數(shù)。設(shè)q=2k，代入式，則有，即，所以p也為偶數(shù)。P和q都是偶數(shù)，它們有公約數(shù)2，這與p，q互素相矛

9、盾。因此，假設(shè)不成立，即“是無理數(shù)”。練習(xí)：已知，求證：不能同時(shí)大于。證法一：假設(shè)三式同時(shí)大于，即，三式同向相乘得，又，同理，這與假設(shè)矛盾，故原命題得證。證法二：假設(shè)三式同時(shí)大于，同理三式相加得，這是矛盾的，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以原命題得證1、已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：證明：2bc,a0,2abc 同理 2abc 2abc 因?yàn)閍，b，c不全相等，所以2bc, 2ca, 2ab三式不能全取“=”號(hào)，從而、三式也不能全取“=”號(hào)2、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：證明：左右=2（ab+bcac）a，b，c成等比數(shù)列，又a，b，c都是正數(shù)，所以3、若實(shí)數(shù)，求證：證明：采

10、用差值比較法：4、已知a,b,c,dR,求證:ac+bd分析一:用分析法證法一:(1)當(dāng)ac+bd0時(shí),顯然成立(2)當(dāng)ac+bd0時(shí),欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)即證a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即證2abcdb2c2+a2d2即證0(bc-ad)2因?yàn)閍,b,c,dR,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:原不等式成立分析二:用綜合法證法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad

11、)2(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd故命題得證分析三:用比較法證法三:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd,即ac+bd 5、設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且ab，求證：a3+b3a2b+ab2 證明：(用分析法思路書寫) 要證 a3+b3a2b+ab2成立， 只需證(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立， 即需證a2-ab+b2ab成立。(a+b0) 只需證a2-2ab+b20成立， 即需證(a-b)20成立。 而由已知條件可知，ab，有a-b0，所以(a-b)20顯然成立，由此命題

12、得證。 (以下用綜合法思路書寫) ab，a-b0，(a-b)20，即a2-2ab+b20 亦即a2-ab+b2ab 由題設(shè)條件知，a+b0，(a+b)(a2-ab+b2)(a+b)ab即a3+b3a2b+ab2，由此命題得證._基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1 設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形 D不確定答案B解析由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，所以，sin(BC)sin2A，sinAsin2A，而sinA0，sinA1，A，所以ABC是直角三角形2 已知x、y為正實(shí)數(shù)，

13、則()A2lgxlgy2lgx2lgy B2lg(xy)2lgx2lgyC2lgxlgy2lgx2lgy D2lg(xy)2lgx2lgy答案D解析2lg(xy)2(lgxlgy)2lgx2lgy.3設(shè)a、bR，且ab，ab2，則必有()A1abBab1Cab1 D1ab答案B解析ab2(ab)4設(shè)0x1，則a，b1x，c中最大的一個(gè)是()AaBbCcD不能確定答案C解析因?yàn)閎c(1x)0，所以b2x0，所以b1xa，所以abx0，且xy1，那么()Axy2xy B2xyxyCx2xyy Dx2xyx0，且xy1，設(shè)y，x，則，2xy.所以有x2xy0，b0，mlg，nlg，則m與n的大小關(guān)系

14、為_答案mn解析因?yàn)?)2ab2ab0，所以，所以mn.8設(shè)a，b，c，則a、b、c的大小關(guān)系為_答案acb解析b，c，顯然bc，而a22，c2828c.也可用ac20顯然成立，即ac.9如果abab，則實(shí)數(shù)a、b應(yīng)滿足的條件是_答案ab且a0，b0解析abababab0a()b()0(ab)()0()()20只需ab且a，b都不小于零即可三、解答題10 已知nN*，且n2，求證：.證明要證，即證1n，只需證n1，n2，只需證n(n1)(n1)2，只需證nn1，只需證01，最后一個(gè)不等式顯然成立，故原結(jié)論成立一、選擇題11 設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x)，對(duì)任意xR都有f (x)f(x)成

15、立，則()A3f(ln2)2f(ln3)B3f(ln2)0)，則F(x)，x0，lnxR，對(duì)任意xR都有f (x)f(x)，f(lnx)f(lnx)，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)為增函數(shù)，320，F(xiàn)(3)f(2)，即，3f(ln2)2f(ln3)12要使成立，a、b應(yīng)滿足的條件是()AabbBab0且abCab0且a0且ab或ab0且ab答案D解析ab33ab.0時(shí)，有，即ba；當(dāng)ab，即ba.13 若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x、y滿足1，且不等式x0，y0，1，x(x)()2224，等號(hào)在y4x，即x2，y8時(shí)成立，x的最小值為4，要使不等式m23mx有解，應(yīng)有m23m4，m4，故選B.14 在f(m，n)中，m

16、、n、f(m，n)N*，且對(duì)任意m、n都有：(1)f(1,1)1，(2)f(m，n1)f(m，n)2，(3)f(m1,1)2f(m,1)；給出下列三個(gè)結(jié)論：f(1,5)9；f(5,1)16；f(5,6)26；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()個(gè)A3B2C1D0答案A解析f(m，n1)f(m，n)2，f(m，n)組成首項(xiàng)為f(m,1)，公差為2的等差數(shù)列，f(m，n)f(m,1)2(n1)又f(1,1)1，f(1,5)f(1,1)2(51)9，又f(m1,1)2f(m,1)，f(m,1)構(gòu)成首項(xiàng)為f(1,1)，公比為2的等比數(shù)列，f(m,1)f(1,1)2m12m1，f(5,1)25116，f(5,6)f

17、(5,1)2(61)161026，都正確，故選A.二、填空題15若sinsinsin0，coscoscos0，則cos()_.答案解析由題意sinsinsincoscoscos，兩邊同時(shí)平方相加得22sinsin2coscos12cos()1，cos().三、解答題16已知a、b、c表示ABC的三邊長(zhǎng)，m0，求證：.證明要證明，只需證明0即可，a0，b0，c0，m0，(am)(bm)(cm)0，a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2，ABC中任意兩

18、邊之和大于第三邊，abc0，(abc)m20，2abmabc(abc)m20，.17求證：2cos().證明要證明原等式成立即證明sin(2)2sincos()sin，又因?yàn)閟in(2)2sincos()sin()2sincos()sin()coscos()sin2sincos()sin()coscos()sinsin()sin.所以原命題成立備用例題1：已知 求證：證明：由于x，y，zR，a，b，cR，則 所以.備用例題2: 已知，求證：cossin3(cossin)證明：要證cossin3(cossin)，只需證，只需證，只需證1tan3(1tan)，只需證tan，1tan2tan，即2t

19、an1.tan顯然成立，結(jié)論得證一、選擇題1否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說法中，正確的是()A有一個(gè)解B有兩個(gè)解C至少有三個(gè)解 D至少有兩個(gè)解答案C解析在邏輯中“至多有n個(gè)”的否定是“至少有n1個(gè)”，所以“至多有兩個(gè)解”的否定為“至少有三個(gè)解”，故應(yīng)選C.2否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)的正確反設(shè)為()Aa、b、c都是奇數(shù)Ba、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)Ca、b、c都是偶數(shù)Da、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)答案B解析a，b，c三個(gè)數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況：全是奇數(shù)；有兩個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)；有一個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)；三個(gè)偶數(shù)因?yàn)橐穸ǎ约僭O(shè)應(yīng)為“全是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”故應(yīng)選B.3用反

20、證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60”時(shí)，反設(shè)正確的是()A假設(shè)三內(nèi)角都不大于60B假設(shè)三內(nèi)角都大于60C假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60D假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60答案B解析“至少有一個(gè)不大于”的否定是“都大于60”故應(yīng)選B.4用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B假設(shè)a、b，c都不是偶數(shù)C假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)偶數(shù)D假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù)答案B解析“至少有一個(gè)”反設(shè)詞應(yīng)為“沒有一個(gè)”，也就是說本題應(yīng)假設(shè)為a，b，c都不是偶數(shù)5命題“ABC中，若AB，則ab

21、”的結(jié)論的否定應(yīng)該是()Aab”的否定應(yīng)為“ab或a0，x11且xn1(n1,2)，試證“數(shù)列xn或者對(duì)任意正整數(shù)n都滿足xnxn1”，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)，應(yīng)為()A對(duì)任意的正整數(shù)n，都有xnxn1B存在正整數(shù)n，使xnxn1C存在正整數(shù)n，使xnxn1且xnxn1D存在正整數(shù)n，使(xnxn1)(xnxn1)0答案D解析命題的結(jié)論是“對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列xn是遞增數(shù)列或是遞減數(shù)列”，其反設(shè)是“存在正整數(shù)n，使數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列”故應(yīng)選D.二、填空題11命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是_答案沒有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形解析“至少有

22、一個(gè)”的否定是“沒有一個(gè)”12用反證法證明命題“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”，那么反設(shè)的內(nèi)容是_答案a，b都不能被5整除解析“至少有一個(gè)”的否定是“都不能”13用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟：ABC9090C180，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾，則AB90不成立；所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；假設(shè)A，B，C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)AB90.正確順序的序號(hào)排列為_答案解析由反證法證明的步驟知，先反證即，再推出矛盾即，最后作出判斷，肯定結(jié)論即，即順序應(yīng)為.14用反證法證明質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)的過程如下：假設(shè)_設(shè)全體質(zhì)數(shù)為p1、p2、pn，令pp1p2pn1.顯然，p不含因數(shù)p1、p2、pn.故p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有_的質(zhì)因數(shù)這表明，除質(zhì)數(shù)p1、p2、pn之外，還有質(zhì)數(shù)，因此原假設(shè)不成立于是，質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)答案質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)除p1、p2、pn之外解析由反證法的步驟可得三、解答題15已知：abc0，abbcca0，abc0.求證：a0，b0，c0.證明用反證法：假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc0可知，這三個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)為負(fù)數(shù)，一個(gè)為正數(shù)，不妨設(shè)a0，b0，則由abc0，可得c(ab)，又ab0，c