三重積分概念及其計(jì)算

1、§5 三重積分教學(xué)目的 掌握三重積分的定義和性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容 三重積分的定義和性質(zhì)；三重積分的積分換元法；柱面坐標(biāo)變換；球面坐標(biāo)變換基本要求 掌握三重積分的定義和性質(zhì)，熟練掌握化三重積分為累次積分，及用柱面坐標(biāo)變換和球面坐標(biāo)變換計(jì)算三重積分的方法教學(xué)建議 (1) 要求學(xué)生必須掌握三重積分的定義和性質(zhì)，知道有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積由于三重積分的定義與性質(zhì)及充要條件與二重積分類似，可作扼要敘述與比較(2) 對較好學(xué)生可布置這節(jié)的廣義極坐標(biāo)的習(xí)題一、三重積分的概念背景：求某非均勻密度的曲頂柱體的質(zhì)量時(shí)，通過“分割、近似，求和、取極限”的步驟，利用求柱體的質(zhì)量方法來得到結(jié)果一類大量的“非均勻

2、”問題都采用類似的方法，從而歸結(jié)出下面一類積分的定義定義1 設(shè)是定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域上的函數(shù)，是一個(gè)確定的數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某個(gè)正數(shù)，使對于的任何分割，當(dāng)它的細(xì)度時(shí)，屬于的所有積分和都有,則稱在上可積，數(shù)稱為函數(shù)在上的三重積分，記作=，其中稱為三重積分的被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)域可積函數(shù)類（）有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積.（）有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)的間斷點(diǎn)集中在有限多個(gè)零體積的曲面上，則必在上可積.二、化三重積分為累次積分定理21.15 若函數(shù)在長方體=上的三重積分存在，且對任何，二重積分=存在，其中=，則積分也存在，且=. (1)為了方便有時(shí)也可采用其他的計(jì)算

3、順序若簡單區(qū)域由集合所確定，在平面上的投影區(qū)域?yàn)?是一個(gè)型區(qū)域，設(shè)在上連續(xù)，在上連續(xù)，上連續(xù)，則=，其他簡單區(qū)域類似一般區(qū)域上的三重積分，常將區(qū)域分解為有限個(gè)簡單區(qū)域上的積分的和來計(jì)算例1 計(jì)算，其中為由平面,所圍的區(qū)域.例2 求，其中為.例3改變下列累次積分順序三、三重積分換元法設(shè)變換：，把空間中的區(qū)域一對一地映成空間中的區(qū)域，并設(shè)函數(shù)，及它的偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)且行列式=0 , ,則=，（4）其中在上可積（一）、柱面坐標(biāo)變換：如下圖所示變換：，=，按（4）式=，這里為在柱面坐標(biāo)變換下的原象在柱面坐標(biāo)中：=常數(shù)，是以軸為中心軸的圓柱面； =常數(shù)，是過軸的半平面； =常數(shù)，是垂直于軸的平面若在平面上的投影區(qū)域，即=時(shí)=，其中二重積分部分應(yīng)用極坐標(biāo)計(jì)算例4 計(jì)算，其中是由曲面與為界面的區(qū)域例5 計(jì)算由和拋物面圍成。例6計(jì)算由和圍成。（二）、球坐標(biāo)變換變換：，=，變換公式為：=在球面坐標(biāo)中：=常數(shù)，是以原點(diǎn)為中心的球面=常數(shù)，是過軸的半平面=常數(shù)，是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以軸為中心軸的圓錐面當(dāng)時(shí),=.例7 求由圓錐體和球體所確定的立體體積，其中和