一元二次方程知識點總結(jié)及典型習(xí)題

1、 一元二次方程一、本章知識結(jié)構(gòu)框圖實際問題數(shù)學(xué)問題設(shè)未知數(shù)，列方程實際問題的答案數(shù)學(xué)問題的解解 方 程降 次開平方法配方法公式法分解因式法檢 驗二、具體內(nèi)容（一）、一元二次方程的概念 1理解并掌握一元二次方程的意義 未知數(shù)個數(shù)為1，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，整式方程，可化為一般形式；2正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù) （1）明確只有當(dāng)二次項系數(shù)時，整式方程才是一元二次方程。 （2）各項的確定(包括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù)). （3）熟練整理方程的過程3.一元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解4、列出實際問題的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法 1明確一元二次方程是以降次為目的，以

2、配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解； 2、根據(jù)方程系數(shù)的特點，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3、值得注意的幾個問題： (1) 開平方法： 對于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負(fù)數(shù)，可用開平方法求解. 形如的方程的解法：當(dāng)時，; 當(dāng)時，x=0 當(dāng)時，方程無實數(shù)根。（2） 配方法： 通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟： 移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊； “系數(shù)化1”：

3、根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)化為1； 配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式； 求解：若時，方程的解為，若時，方程無實數(shù)解。（3）公式法：一元二次方程的根 當(dāng)時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根不相等； 當(dāng)時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根相等，寫為； 當(dāng)時，方程無實數(shù)根.公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式； 確定的值； 代入中計算其值，判斷方程是否有實數(shù)根； 若代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。（求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0，那么這

4、兩個因式至少有一個為0，即：若，則； 因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；（右化0）把方程的左邊分解因式；（左分解）令每一個因式都為零，得到兩個一元一次方程；（兩因式）解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。（各求解）（5）選用適當(dāng)方法解一元二次方程 對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應(yīng)注意二次根式的化簡問題。 方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程 含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型； 對于字母系數(shù)的一元二次方程一

5、般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不要忘記對字母的取值進(jìn)行討論。（三）、根的判別式 1了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程（） 當(dāng)方程有實數(shù)根；（當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根；） 當(dāng)方程無實數(shù)根； 從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2常見的問題類型 （1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應(yīng)用判別式，證明一元

6、二次方程根的情況 先計算出判別式（關(guān)鍵步驟）； 用配方法將判別式恒等變形； 判斷判別式的符號； 總結(jié)出結(jié)論.（4）分類討論思想的應(yīng)用： 如果方程給出的時未指明是二次方程，后面也未指明兩個根，那一定要對方程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項系數(shù)不為0，一元二次方程可能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根。（5）一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識綜合命題，解答時要在全面分析的前提下，注意合理運用代數(shù)式的變形技巧（6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題（四）、一元二次方程的應(yīng)用 1.數(shù)字問題： 解答這類問

7、題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。 2.幾何問題： 這類問題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對 結(jié)果要結(jié)合幾何知識檢驗。3.增長率問題（下降率）： 在此類問題中，一般有變化前的基數(shù)（），增長率（），變化的次數(shù)（），變化后的基數(shù)（）,這四者之間的關(guān)系可以用公式表示。 4.其它實際問題（都要注意檢驗解的實際意義，若不符合實際意義，則舍去）。一元二次方程習(xí)題 1把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項，一次項，常數(shù)項： （1） （2） （3） （4） 2應(yīng)用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值 (1) 為何值時，關(guān)于的方程是一元

8、二次方程。（2）若分式，則 3由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值 (1)關(guān)于的一元二次方程有一個根為0，則 （2）已知關(guān)于的一元二次方程有一個根為1，一個根為，則 ， （3）已知c為實數(shù)，并且關(guān)于的一元二次方程的一個根的相反數(shù)是方程的一個根，求方程的根及c的值。 4、解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）5、不解方程判別方程根的情況：（1）4 （2） (3) 6、為何值時，關(guān)于x的二次方程 （1）有兩個不等的實數(shù)根 ? （2）有兩個相等的實數(shù)根 ? （3）無實數(shù)根? 7、某印刷廠在四年中共印刷1997萬冊書，已知第一年印刷了342萬冊，第二年印刷了500萬冊，如果以后兩年的增長率相同，那么這兩年各印刷了多少萬冊？ 8、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1