橢圓定義及性質(zhì)整合

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上橢圓定義及性質(zhì)的應(yīng)用一、橢圓的定義橢圓第一定義第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.過(guò)點(diǎn)作的的外角平分線的垂線，垂足為，則的軌跡方程為.推導(dǎo)過(guò)程：延長(zhǎng)交于，連接，由已知有為的中垂線，則，為中點(diǎn)，=，所以的軌跡方程為 .（橢圓的方程與離心率學(xué)案第5題） 橢圓第二定義第二定義：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比等于常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.（為點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離），右準(zhǔn)線對(duì)應(yīng)右焦點(diǎn)，其中稱作焦半徑，左、右準(zhǔn)線公式.橢圓的焦半徑公式為：.推導(dǎo)過(guò)程：；同理得.簡(jiǎn)記為：左加右減在前.由此

2、可見(jiàn)，過(guò)焦點(diǎn)的弦的弦長(zhǎng)是一個(gè)僅與它的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)的數(shù).（離心率、焦點(diǎn)弦問(wèn)題）例1：（2010全國(guó)卷理數(shù)12題）已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)若，則（ ）A.1 B. C. D.2B【解析】解法一：， ， ， ，設(shè)， ，直線AB方程為.代入消去， ， ，則，解得，則，.解法二：設(shè)直線為橢圓的右準(zhǔn)線，為離心率，過(guò)別作垂直于，為垂足，過(guò)作垂直于與，設(shè)，由第二定義得，由，得,，則，則，則，.故選B.（離心率、焦點(diǎn)弦問(wèn)題）例2：傾斜角為的直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)，且有，求橢圓的離心率.【解析】解法一：為左焦點(diǎn)上的焦半徑，所以過(guò)兩點(diǎn)分別作垂直于準(zhǔn)線的直線且和準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)

3、，從點(diǎn)作.因?yàn)椋O(shè)，則，又因?yàn)?，則,，所以，在中，所以，解得.解法二：如圖，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得，×3化簡(jiǎn)得，代入解得.橢圓第三定義 第三定義：在橢圓中，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是橢圓上異于兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若存在，則.（反之亦成立）.（焦點(diǎn)在Y軸上時(shí)，橢圓滿足）推導(dǎo)過(guò)程：設(shè)，則所以，；由得，所以，所以為定值例1:已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，若點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為.若，則橢圓的方程為 .【解析】解法一：，則，因?yàn)?，則，則.且，則橢圓方程為.解法二：由第三定義知，且，則則橢圓方程為.例2:已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且直

4、線的斜率的取值范圍是，那么直線的斜率的取值范圍是 .【解析】設(shè)，的斜率分別為，則，又，所以.二、橢圓的性質(zhì)焦點(diǎn)三角形橢圓焦點(diǎn)三角形的邊角關(guān)系：， ，周長(zhǎng)為.設(shè).（1）當(dāng)點(diǎn)處于短軸的頂點(diǎn)處時(shí)，頂角最大；（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（3）；（4），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).推導(dǎo)過(guò)程：（1），當(dāng)時(shí)，有最小值，即最大；（2），則有，（當(dāng)點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)時(shí)取得最大值，此時(shí)），代入化簡(jiǎn)得.（3）由（2）得.（離心率問(wèn)題）例1.已知分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是_.【解析】解法一：在橢圓中，焦點(diǎn)三角形頂角最大時(shí)點(diǎn)位于短軸的交點(diǎn)處，由題意得，所以,即,解得.解法二：設(shè)，由題意得橢圓上

5、存在一點(diǎn)，使得，即，化簡(jiǎn)，得，與聯(lián)立，消去得，由橢圓范圍知，即，化簡(jiǎn)得，解得.變式1：已知分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)，使得為鈍角，則橢圓的離心率的取值范圍是_.【解析】在橢圓中，焦點(diǎn)三角形頂角最大時(shí)點(diǎn)位于短軸的交點(diǎn)處，為鈍角，所以，所以,即,解得.變式2：已知分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)，使得（變式3：），則橢圓的離心率的取值范圍是_.【解析】在橢圓中，焦點(diǎn)三角形頂角最大時(shí)點(diǎn)位于短軸的交點(diǎn)處，由題意得，所以，則.變式3：.（離心率問(wèn)題）例2.已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，若在直線上存在點(diǎn)，使得線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是_. 【解析】，即解得：. （焦點(diǎn)三角形面積問(wèn)題

6、）例3.已知橢圓為焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求.【解析】解法一：設(shè)則有，在中由余弦定理得，則，則，則.解法二：.（焦點(diǎn)三角形面積問(wèn)題）例4.過(guò)橢圓中心的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，則 的最大面積為_(kāi).【解析】由題意得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有，故當(dāng)位于短軸的頂點(diǎn)處時(shí)，面積最大，為.（焦點(diǎn)三角形邊角問(wèn)題）例5.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，（1）在橢圓上滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是？（2）的最大值是？（3）為鈍角時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是？【解析】（1）畫圖知，所求點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為圓與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由于，故有4個(gè)點(diǎn).（2）解法一：設(shè)則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).解法二：由性質(zhì)得，（當(dāng)點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)時(shí)取得最大值，此時(shí)），

7、代入化簡(jiǎn)得.（3）如圖所示，與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，假設(shè)在第一象限的交點(diǎn)為，此時(shí)，設(shè)則有，解得（或），由等面積法得，則，則由勾股定理得，解得，則由對(duì)稱性可知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.(焦點(diǎn)三角形中與距離最值有關(guān)的問(wèn)題):注意在三角函數(shù)與解析幾何中最值問(wèn)題的一個(gè)很重要的用法： （1）三角形兩邊之和大于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)在一條線上時(shí)取得最小值； （2）兩邊之差小于第三邊.焦點(diǎn)三角形中的最值問(wèn)題一般是距離之和的最值，且存在定點(diǎn)，故可以用三角形中的不等式來(lái)求； 若點(diǎn)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，則有：.（三角形三邊關(guān)系）若點(diǎn)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，則有：.推導(dǎo)過(guò)程：連接，由三角形三邊關(guān)系得，則有（橢圓定義的應(yīng)

8、用，三角形三邊關(guān)系）.焦點(diǎn)弦經(jīng)過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦是焦點(diǎn)弦.（1）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)可用弦長(zhǎng)公式求；*（2）設(shè)焦點(diǎn)弦所在的直線的傾斜角為，則有.*（3）（為某一焦點(diǎn)）.（4）的周長(zhǎng)為.（離心率、焦點(diǎn)弦問(wèn)題）（同第二定義例1）例1：（2010全國(guó)卷理數(shù)12題）已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)若，則（ ）A.1 B. C. D.2B【解析】解答題解法：， ， ， ，設(shè)， ，直線方程為.代入消去， ， ，則，解得，則，.中點(diǎn)弦是橢圓的任意一弦，是中點(diǎn)，則.證明：令 ，則，由于，則 .例1：過(guò)點(diǎn)作一條直線交橢圓于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好是弦的中點(diǎn)，求直線的方程.【解析】解答題步驟：解法一（點(diǎn)差法）：由題意得

9、直線有斜率，設(shè)其斜率為，代入橢圓方程，有，兩式作差得，即，則.則直線的方程為，即.解法二（代入法）：由題意得直線有斜率，設(shè)其直線方程為，得，代入得，則，解得，則直線的方程為.這兩種方法都體現(xiàn)了設(shè)而不求的思想，這是圓錐曲線解題的常用思想.切線及切點(diǎn)弦切線方程：（1）設(shè)為圓上一點(diǎn)，則過(guò)該點(diǎn)的切線方程為：；（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，則過(guò)該點(diǎn)的切線方程為：.切點(diǎn)弦方程：（1）設(shè)是圓外的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線,切點(diǎn),則切點(diǎn)弦所在直線方程為； （2）設(shè)是橢圓外的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線,切點(diǎn),則切點(diǎn)弦所在直線方程為. 例1：以上的點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為_(kāi).【解析】解法一：由題意得切線有斜率，設(shè)切線方程為，

10、則，則有，解得，則切線方程為.解法二：點(diǎn)為切點(diǎn)，由公式得，切線方程為，即.例2：以上的點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為_(kāi).【解析】解法一：由題意得切線有斜率，設(shè)切線方程為，代入，化簡(jiǎn)得，則有，解得，則切線方程為.解法二：點(diǎn)為切點(diǎn)，由公式得，切線方程為，即.過(guò)橢圓準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作橢圓和切線，切點(diǎn)弦AB過(guò)該準(zhǔn)線對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn).推導(dǎo)過(guò)程：設(shè)，則的方程為，即 必過(guò)點(diǎn).過(guò)橢圓焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)作橢圓的切線，切線交點(diǎn)在準(zhǔn)線上.光學(xué)性質(zhì)橢圓的光學(xué)性質(zhì)：過(guò)一焦點(diǎn)的光線經(jīng)橢圓反射后必過(guò)另一焦點(diǎn).橢圓上一個(gè)點(diǎn)的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點(diǎn)處的法線平分.（入射光線、反射光線、鏡面、法線）已知：如圖，橢圓的方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，是過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線，為垂直于且過(guò)點(diǎn)的橢圓的法線，交軸于，設(shè)，求證：.證明：在上，則過(guò)點(diǎn)的切