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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練習(xí)卷練習(xí)卷高考定位在高考壓軸題中,函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點,常以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(方程的根)、比較大小、不等式證明、不等式恒成立與能成立問題.真 題 感 悟1.(2018全國卷)已知函數(shù)f(x)exax2.(1)若a1,證明:當(dāng)x0 時,f(x)1;(2)若f(x)在(0,)只有一個零點,求a.(1)證明當(dāng)a1 時,f(x)exx2,則f(x)ex2x.令g(x)f(x),則g(x)ex2.令g(x)0,解得xln 2.當(dāng)x(0,ln 2)時,g(x)0.當(dāng)x0
2、 時,g(x)g(ln 2)22ln 20,f(x)在0,)上單調(diào)遞增,f(x)f(0)1.(2)解若f(x)在(0,)上只有一個零點,即方程 exax20 在(0,)上只有一個解,由aexx2,令(x)exx2,x(0,),(x)ex(x2)x3,令(x)0,解得x2.當(dāng)x(0,2)時,(x)0.(x)min(2)e24.ae24.2.(2019全國卷)已知函數(shù)f(x)sinxln(1x),f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明:精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(1)f(x)在區(qū)間1,2 存在唯一極大值點;(2)f(x)有且僅有 2 個零點.證明(1)設(shè)g(x)f(x),則g(x)cosx
3、11x,g(x)sinx1(1x)2.當(dāng)x1,2 時,g(x)單調(diào)遞減,而g(0)0,g2 0;當(dāng)x,2 時,g(x)0.所以g(x)在(1,)單調(diào)遞增,在,2 單調(diào)遞減,故g(x)在1,2 存在唯一極大值點,即f(x)在1,2 存在唯一極大值點.(2)f(x)的定義域為(1,).當(dāng)x(1,0時,由(1)知,f(x)在(1,0)單調(diào)遞增,而f(0)0,所以當(dāng)x(1,0)時,f(x)0,故f(x)在(1,0)單調(diào)遞減.又f(0)0,從而x0 是f(x)在(1,0的唯一零點.當(dāng)x0,2 時,由(1)知,f(x)在(0,)單調(diào)遞增,在,2 單調(diào)遞減,而f(0)0,f2 0;當(dāng)x,2 時,f(x)0,
4、所以當(dāng)x0,2 時,f(x)0.從而,f(x)在0,2 上沒有零點.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)當(dāng)x2,時,f(x)0,f()1.所以f(x)0,從而f(x)在(,)沒有零點.綜上,f(x)有且僅有 2 個零點.考 點 整 合1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點函數(shù)的零點、方程的實根、函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)是三個等價的概念,解決這類問題可以通過函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值,畫出函數(shù)圖象的變化趨勢,數(shù)形結(jié)合求解.2.三次函數(shù)的零點分布三次函數(shù)在存在兩個極值點的情況下,由于當(dāng)x時,函數(shù)值也趨向,只要按照極值與零的大小關(guān)系確定其零點的個數(shù)即可.存在兩個極值點x1,x2且x10兩個f(x1)0
5、或f(x2)0三個f(x1)0 且f(x2)0a0(f(x1)為極小值,f(x2)為極大值)一個f(x1)0 或f(x2)0兩個f(x1)0 或f(x2)0三個f(x1)0 且f(x2)03.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.若證明f(x)g(x),x(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x),如果能證明F(x)在(a,b)上的最大值小于 0,即可證明f(x)g(x)對一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI).精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)xI,使f(x)g(x)成立I與f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)m
6、ax0(xI).對x1,x2I使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.對x1I,x2I使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.溫馨提醒解決方程、 不等式相關(guān)問題, 要認(rèn)真分析題目的結(jié)構(gòu)特點和已知條件,恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)研究性質(zhì),這是解題的關(guān)鍵.熱點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【例 1】 (2019天津卷選編)設(shè)函數(shù)f(x)lnxa(x1)ex,其中aR R.(1)若a0,討論f(x)的單調(diào)性;(2)若 0a0,從而f(x)0,所以f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)證明由(1)知,f(x)1ax2exx.令g(x)1ax2ex,由 0a0,且gln1a1aln1a2
7、1a1ln1a20,故g(x)0 在(0,)內(nèi)有唯一解,從而f(x)0 在(0,)內(nèi)有唯一解,不妨設(shè)為x0,則 1x0g(x0)x0,所以f(x)在(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)x(x0,)時,f(x)g(x)x1 時,h(x)1x11 時,h(x)h(1)0,所以 lnxx1,從而fln1alnln1aaln1a1eln1alnln1aln1a1hln1af(1)0,所以f(x)在(x0,)內(nèi)有唯一零點.又f(x)在(0,x0)內(nèi)有唯一零點 1,從而,f(x)在(0,)內(nèi)恰有兩個零點.探究提高1.三步求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題.第一步:將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸
8、(或直線yk)在該區(qū)間上的交點問題;第二步:利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì),進(jìn)而畫出其圖象;第三步:結(jié)合圖象求解.2.根據(jù)函數(shù)零點情況求參數(shù)范圍:(1)要注意端點的取舍;(2)選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論.【訓(xùn)練 1】 (2019臨沂模擬)已知函數(shù)f(x)(x1)2a(lnxx1)(a0 得x1,由f(x)0 得 0 x1,f(x)在(1,)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,f(x)在x1 處取得極小值,無極大值;當(dāng) 0a21,即 0a0 得x1 或 0 xa2,由f(x)0 得a2x1,f(x)在0,a2 上單調(diào)遞增,在a2,1上單調(diào)遞減,在(1,)上單調(diào)遞增
9、,f(x)在x1 處取得極小值,在xa2處取得極大值.綜上,當(dāng)a0 時,f(x)有一個極值點;當(dāng) 0a2 時,f(x)有兩個極值點.(2)當(dāng)a0,要使g(x)在(0,2上有且只有一個零點,需滿足g(1)0 或g(2)0,解得a1 或a2ln 2.當(dāng) 0a0,當(dāng)xa2,2時,總有g(shù)(x)0.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)e2a2a1a2,g(e2a2a)e2a2ae2a2a(a2)(aln e2a2a2a2)0,g(x)在0,a2 上必有零點.g(x)在0,a2 上單調(diào)遞增,當(dāng) 0a2 時,g(x)在(0,2上有且只有一個零點.綜上,當(dāng) 0a2 或a2ln 2或a1 時,方程f(x)
10、a10 在(0,2上有且只有一個實根.熱點二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【例 2】 (2019北京海淀區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)lnxax1(aR R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸相切,求證:對于任意互不相等的正實數(shù)x1,x2,都有f(x2)f(x1)x2x10,f(x)在(0,)上單調(diào)遞增;當(dāng)a0,f(x)單調(diào)遞增;若x1a,f(x)0,f(x)單調(diào)遞減.綜上所述:當(dāng)a0 時,f(x)在(0,)上單調(diào)遞增;當(dāng)a0 時,f(x)在0,1a單調(diào)遞增,在1a,上單調(diào)遞減.(2)證明由(1)知,當(dāng)a0 時,f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,不滿足條件.所以a0,此時f(x)的極
11、大值為f1aln(a),精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)由已知得ln(a)0,故a1,此時f(x)lnxx1.不妨設(shè) 0 x1x2,則f(x2)f(x1)x2x11x11x2等價于 lnx2x1x2x1x1x2x2x1,即證:lnx2x1x2x1x1x21),故g(x)在(1,)單調(diào)遞減,所以g(x)g(1)0 x2x1.所以對于任意互不相等的正實數(shù)x1,x2,都有f(x2)f(x1)x2x11x11x2成立.探究提高1.證明不等式的基本方法:(1) 利 用單調(diào)性:若f(x)在 a,b上是增函數(shù),則 xa,b,有f(a)f(x)f(b),x1,x2a,b,且x1x2,有f(x1)f(
12、x2).對于減函數(shù)有類似結(jié)論.(2)利用最值:若f(x)在某個范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m),則xD,有f(x)M(或f(x)m).2.證明f(x)g(x),可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x),證明F(x)0.【訓(xùn)練 2】 已知函數(shù)f(x)ax2axxlnx,且f(x)0.(1)求a;(2)證明:f(x)存在唯一的極大值點x0,且 e2f(x0)22.(1)解f(x)的定義域為(0,),設(shè)g(x)axalnx,則f(x)xg(x),f(x)0 等價于g(x)0,因為g(1)0,g(x)0,故g(1)0,而g(x)a1x,g(1)a1,得a1.若a1,則g(x)11x.當(dāng) 0 x1 時,g(x
13、)1 時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增,所以x1 是g(x)的極小值點,故g(x)g(1)0.綜上,a1.(2)證明由(1)知f(x)x2xxlnx,f(x)2x2lnx,設(shè)h(x)2x2lnx,則h(x)21x.當(dāng)x0,12 時,h(x)0.所以h(x)在0,12 單調(diào)遞減,在12,單調(diào)遞增.又h(e2)0,h12 0;當(dāng)x(x0,1)時,h(x)0.因為f(x)h(x),所以xx0是f(x)的唯一極大值點.由f(x0)0 得 lnx02(x01),故f(x0)x0(1x0).由x00,12 得f(x0)f(e1)e2.所以 e2f(x0)0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x( 31,)時,g(x)0
14、,g(x)單調(diào)遞減.所以當(dāng)x 31 時,g(x)取得最大值,g(x)maxg( 31)2e13.所以m2e13.即實數(shù)m的取值范圍為2e13,).角度 2不等式存在性問題【例 32】 (2019海南模擬)已知函數(shù)f(x)xmlnxm1x(mR R),g(x)12x2exxex.(1)當(dāng)x1,e時,求f(x)的最小值;(2)當(dāng)m2 時,若存在x1e,e2,使得對任意的x22,0,f(x1)g(x2)成立,求實數(shù)m的取值范圍.解(1)f(x)xmlnxm1x,且定義域(0,),f(x)1mxm1x2(x1)x(m1)x2,當(dāng)m2 時,若x1,e,則f(x)0,f(x)在1,e上是增函數(shù),則f(x)
15、minf(1)2m.當(dāng)me1 時,若x1,e,則f(x)0,f(x)在1,e上是減函數(shù),則f(x)minf(e)emm1e.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)當(dāng) 2m0, 則x( 21, 21), 令f(x)0, 則x(, 21)( 21,).f(x)在區(qū)間(, 21),( 21,)上單調(diào)遞減,在區(qū)間( 21,21)上單調(diào)遞增.(2)f(x)(1x)(1x)ex.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)當(dāng)a1 時,設(shè)函數(shù)h(x)(1x)ex,h(x)xex0),因此h(x)在0,)上單調(diào)遞減,而h(0)1,故h(x)1,所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.當(dāng) 0a0(x0),所以
16、g(x)在0,)上單調(diào)遞增,而g(0)0,故 exx1.當(dāng) 0 x(1x)(1x)2,(1x)(1x)2ax1x(1axx2),取x054a12,則x0(0,1),(1x0)(1x0)2ax010,故f(x0)ax01.當(dāng)a0 時,取x0512,則x0(0,1),f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.綜上,a的取值范圍是1,).熱點四利用導(dǎo)數(shù)求解最優(yōu)化問題【例 4】圖 1 是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖, 圖 2 是凹槽的橫截面(陰影部分)示意圖,其中四邊形ABCD是矩形,弧CmD是半圓,凹槽的橫截面的周長為 4.若凹槽的強(qiáng)度T等于橫截面的面積S與邊AB的乘積,設(shè)AB2x,BCy.
17、(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并指出x的取值范圍;(2) 求當(dāng)x取何值時,凹槽的強(qiáng)度最大.解(1)易知半圓CmD的半徑為x,故半圓CmD的弧長為x.所以 42x2yx,得y4(2)x2.由題意知 0 xy,得 0 x44,所以y4(2)x20 x44 .精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)即y212x0 x0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x2,52 時,f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0.其中找到函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點是解題的突破口.4.不等式恒成立、能成立問題常用解法(1)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)
18、化為最值,不等式恒成立問題在變量與參數(shù)易于分離的情況下,采用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,形如af(x)max或af(x)min.(2)直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題, 在參數(shù)難于分離的情況下, 直接轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值問題,伴有對參數(shù)的分類討論.(3)數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造函數(shù),借助函數(shù)圖象的幾何直觀性求解,一定要重視函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用.鞏固提升一、選擇題1.設(shè)f(x)是定義在 R R 上的奇函數(shù), 且f(2)0, 當(dāng)x0 時, 有xf(x)f(x)x20 的解集是()A.(2,0)(2,)B.(2,0)(0,2)C.(,2)(2,)D.(,2)(0,2)解析x0 時f(x)xxf(x)f(x)x20,(
19、x)f(x)x在(0,)為減函數(shù),又(2)0,當(dāng)且僅當(dāng) 0 x0,此時x2f(x)0.又f(x)為奇函數(shù),h(x)x2f(x)也為奇函數(shù).故x2f(x)0 的解集為(,2)(0,2).答案D精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2.(2019衡水調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x23x5,g(x)axlnx,若對x(0,e),x1,x2(0,e)且x1x2,使得f(x)g(xi)(i1,2),則實數(shù)a的取值范圍是()A.1e,6eB.1e,e74C.6e,e74D.0,1e 6e,e74解析當(dāng)x(0,e)時,函數(shù)f(x)的值域為114,5.由g(x)a1xax1x可知:當(dāng)a0 時,g(x)0.令g(
20、x)0,得x1a,則1a(0,e),所以g(x)ming1a1lna.作出函數(shù)g(x)在(0,e)上的大致圖象,如圖所示,數(shù)形結(jié)合,知1lna114,g(e)ae15.解之得6ea1.若關(guān)于x的不等式f(x)0 在 R R 上恒成立,則a的取值范圍為()A.0,1B.0,2C.0,eD.1,e解析當(dāng)x1 時,由f(x)x22ax2a0 恒成立,而二次函數(shù)f(x)圖象的對精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)稱軸為直線xa,所以當(dāng)a1 時,f(x)minf(1)10 恒成立,當(dāng)a1 時,f(x)minf(a)2aa20,0a1 時,由f(x)xalnx0 恒成立,即axlnx恒成立.設(shè)g(x
21、)xlnx(x1),則g(x)lnx1(lnx)2.令g(x)0,得xe,且當(dāng) 1xe 時,g(x)e 時,g(x)0,g(x)ming(e)e,ae.綜上,a的取值范圍是0,e.答案C4.(2019北京西城區(qū)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)exelnx, 若函數(shù)g(x)f(x)a無零點,則實數(shù)a的取值范圍為()A.e22,0B.e2,0C.(2e,0D.(e,0解析依題意,f(x)1eexelnx1xexe(lnx)2exe(lnx)21elnx1x,令h(x)1elnx1x,則函數(shù)h(x)單調(diào)遞增,且h(e)0,故當(dāng)x(0,e)時,h(x)0.故函數(shù)f(x)在(0,1)和(1,e)上單調(diào)遞減,在(e
22、,)上單調(diào)遞增,作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.令f(x)a0,得af(x),觀察可知 0ae,即ea0.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)答案D二、填空題5.做一個無蓋的圓柱形水桶,若要使其體積是 27 dm3,且用料最省,則圓柱的底面半徑為_ dm.解析設(shè)圓柱的底面半徑為Rdm,母線長為ldm,則VR2l27,所以l27R2,要使用料最省,只需使圓柱形水桶的表面積最小.S表R22RlR2227R,所以S表2R54R2.令S表0,得R3,則當(dāng)R3 時,S表最小.答案36.對于函數(shù)yf(x),若其定義域內(nèi)存在兩個不同實數(shù)x1,x2,使得xif(xi)1(i1,2)成立,則稱函數(shù)f(x)
23、具有性質(zhì)P.若函數(shù)f(x)exa具有性質(zhì)P,則實數(shù)a的取值范圍為_.解析依題意,xf(x)1,即xexa1 在 R R 上有兩個不相等實根,axex在 R R 上有兩個不同的實根,令(x)xex,則(x)ex(x1),當(dāng)x1 時,(x)1 時,(x)0,(x)在(1,)上是增函數(shù).精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)因此(x)極小值為(1)1e.在同一坐標(biāo)系中作y(x)與ya的圖象,又當(dāng)x0 時,(x)xex0.由圖象知,當(dāng)1eax20,f(x1)f(x2)0),因為曲線yf(x)在點(e,f(e)處的切線與直線x20 垂直,所以f(e)0,即1eke20,解得ke,所以f(x)1xex
24、2xex2(x0).由f(x)0 得 0 x0 得xe.所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,在(e,)上單調(diào)遞增,當(dāng)xe 時,f(x)取得極小值,且f(e)ln eee2.所以f(x)的極小值為 2.(2)由題意知對任意的x1x20,f(x1)x10),則h(x)在(0,)上單調(diào)遞減,精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)所以h(x)1xkx210 在(0,)上恒成立,故當(dāng)x0 時,kx2xx12214恒成立,又x1221414,則k14,故實數(shù)k的取值范圍是14,.8.(2019天津卷選編)設(shè)函數(shù)f(x)excosx,g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)x4,
25、2 時,證明f(x)g(x)2x0.(1)解由已知,有f(x)ex(cosxsinx).因此,當(dāng)x2k4,2k54(kZ Z)時,有 sinxcosx,得f(x)0,則f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x2k34,2k4 (kZ Z)時,有 sinx0,則f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2k34,2k4 (kZ Z),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為2k4,2k54(kZ Z).(2)證明記h(x)f(x)g(x)2x.依題意及(1),有g(shù)(x)ex(cosxsinx),從而g(x)2exsinx.當(dāng)x4,2 時,g(x)0,故h(x)f(x)g(x)2xg(x)(1)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-
26、專注-專業(yè)g(x)2x0.因此,h(x)在區(qū)間4,2 上單調(diào)遞減,進(jìn)而h(x)h2 f2 0.所以當(dāng)x4,2 時,f(x)g(x)2x0.能力突破9.(2019濟(jì)南調(diào)研)已知函數(shù)f(x)lnx,g(x)xm(mR R).(1)若f(x)g(x)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;(2)已知x1,x2是函數(shù)F(x)f(x)g(x)的兩個零點,且x1x2,求證:x1x20),則F(x)1x11xx(x0),當(dāng)x1 時,F(xiàn)(x)0,當(dāng) 0 x0,所以F(x)在(1,)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增.F(x)在x1 處取得最大值1m,若f(x)g(x)恒成立,則1m0,即m1.故m的取值范圍為1,).(2)證明由(1)可知, 若函數(shù)F(x)f(x)g(x)有兩個零點, 則m1, 0 x11x2,要證x1
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