高考數(shù)學(xué)《函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用》練習(xí)卷

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練習(xí)卷練習(xí)卷高考定位在高考壓軸題中，函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點，常以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(方程的根)、比較大小、不等式證明、不等式恒成立與能成立問題.真 題 感 悟1.(2018全國卷)已知函數(shù)f(x)exax2.(1)若a1，證明：當(dāng)x0 時，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一個零點，求a.(1)證明當(dāng)a1 時，f(x)exx2，則f(x)ex2x.令g(x)f(x)，則g(x)ex2.令g(x)0，解得xln 2.當(dāng)x(0，ln 2)時，g(x)0.當(dāng)x0

2、 時，g(x)g(ln 2)22ln 20，f(x)在0，)上單調(diào)遞增，f(x)f(0)1.(2)解若f(x)在(0，)上只有一個零點，即方程 exax20 在(0，)上只有一個解，由aexx2，令(x)exx2，x(0，)，(x)ex（x2）x3，令(x)0，解得x2.當(dāng)x(0，2)時，(x)0.(x)min(2)e24.ae24.2.(2019全國卷)已知函數(shù)f(x)sinxln(1x)，f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(1)f(x)在區(qū)間1，2 存在唯一極大值點；(2)f(x)有且僅有 2 個零點.證明(1)設(shè)g(x)f(x)，則g(x)cosx

3、11x，g(x)sinx1（1x）2.當(dāng)x1，2 時，g(x)單調(diào)遞減，而g(0)0，g2 0；當(dāng)x，2 時，g(x)0.所以g(x)在(1，)單調(diào)遞增，在，2 單調(diào)遞減，故g(x)在1，2 存在唯一極大值點，即f(x)在1，2 存在唯一極大值點.(2)f(x)的定義域為(1，).當(dāng)x(1，0時，由(1)知，f(x)在(1，0)單調(diào)遞增，而f(0)0，所以當(dāng)x(1，0)時，f(x)0，故f(x)在(1，0)單調(diào)遞減.又f(0)0，從而x0 是f(x)在(1，0的唯一零點.當(dāng)x0，2 時，由(1)知，f(x)在(0，)單調(diào)遞增，在，2 單調(diào)遞減，而f(0)0，f2 0；當(dāng)x，2 時，f(x)0，

4、所以當(dāng)x0，2 時，f(x)0.從而，f(x)在0，2 上沒有零點.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)當(dāng)x2，時，f(x)0，f()1.所以f(x)0，從而f(x)在(，)沒有零點.綜上，f(x)有且僅有 2 個零點.考 點 整 合1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點函數(shù)的零點、方程的實根、函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)是三個等價的概念，解決這類問題可以通過函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，畫出函數(shù)圖象的變化趨勢，數(shù)形結(jié)合求解.2.三次函數(shù)的零點分布三次函數(shù)在存在兩個極值點的情況下，由于當(dāng)x時，函數(shù)值也趨向，只要按照極值與零的大小關(guān)系確定其零點的個數(shù)即可.存在兩個極值點x1，x2且x10兩個f(x1)0

5、或f(x2)0三個f(x1)0 且f(x2)0a0(f(x1)為極小值，f(x2)為極大值)一個f(x1)0 或f(x2)0兩個f(x1)0 或f(x2)0三個f(x1)0 且f(x2)03.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.若證明f(x)g(x)，x(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，如果能證明F(x)在(a，b)上的最大值小于 0，即可證明f(x)g(x)對一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI).精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)xI，使f(x)g(x)成立I與f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)m

6、ax0(xI).對x1，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.對x1I，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.溫馨提醒解決方程、 不等式相關(guān)問題， 要認(rèn)真分析題目的結(jié)構(gòu)特點和已知條件，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)研究性質(zhì)，這是解題的關(guān)鍵.熱點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【例 1】 (2019天津卷選編)設(shè)函數(shù)f(x)lnxa(x1)ex，其中aR R.(1)若a0，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若 0a0，從而f(x)0，所以f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)證明由(1)知，f(x)1ax2exx.令g(x)1ax2ex，由 0a0，且gln1a1aln1a2

7、1a1ln1a20，故g(x)0 在(0，)內(nèi)有唯一解，從而f(x)0 在(0，)內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為x0，則 1x0g（x0）x0，所以f(x)在(0，x0)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)x(x0，)時，f(x)g（x）x1 時，h(x)1x11 時，h(x)h(1)0，所以 lnxx1，從而fln1alnln1aaln1a1eln1alnln1aln1a1hln1af(1)0，所以f(x)在(x0，)內(nèi)有唯一零點.又f(x)在(0，x0)內(nèi)有唯一零點 1，從而，f(x)在(0，)內(nèi)恰有兩個零點.探究提高1.三步求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題.第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸

8、(或直線yk)在該區(qū)間上的交點問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖象；第三步：結(jié)合圖象求解.2.根據(jù)函數(shù)零點情況求參數(shù)范圍：(1)要注意端點的取舍；(2)選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論.【訓(xùn)練 1】 (2019臨沂模擬)已知函數(shù)f(x)(x1)2a(lnxx1)(a0 得x1，由f(x)0 得 0 x1，f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減，f(x)在x1 處取得極小值，無極大值；當(dāng) 0a21，即 0a0 得x1 或 0 xa2，由f(x)0 得a2x1，f(x)在0，a2 上單調(diào)遞增，在a2，1上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增

9、，f(x)在x1 處取得極小值，在xa2處取得極大值.綜上，當(dāng)a0 時，f(x)有一個極值點；當(dāng) 0a2 時，f(x)有兩個極值點.(2)當(dāng)a0，要使g(x)在(0，2上有且只有一個零點，需滿足g(1)0 或g(2)0，解得a1 或a2ln 2.當(dāng) 0a0，當(dāng)xa2，2時，總有g(shù)(x)0.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)e2a2a1a2，g(e2a2a)e2a2ae2a2a(a2)(aln e2a2a2a2)0，g(x)在0，a2 上必有零點.g(x)在0，a2 上單調(diào)遞增，當(dāng) 0a2 時，g(x)在(0，2上有且只有一個零點.綜上，當(dāng) 0a2 或a2ln 2或a1 時，方程f(x)

10、a10 在(0，2上有且只有一個實根.熱點二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【例 2】 (2019北京海淀區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)lnxax1(aR R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸相切，求證：對于任意互不相等的正實數(shù)x1，x2，都有f（x2）f（x1）x2x10，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0，f(x)單調(diào)遞增；若x1a，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)a0 時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0 時，f(x)在0，1a單調(diào)遞增，在1a，上單調(diào)遞減.(2)證明由(1)知，當(dāng)a0 時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，不滿足條件.所以a0，此時f(x)的極

11、大值為f1aln(a)，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)由已知得ln(a)0，故a1，此時f(x)lnxx1.不妨設(shè) 0 x1x2，則f（x2）f（x1）x2x11x11x2等價于 lnx2x1x2x1x1x2x2x1，即證：lnx2x1x2x1x1x21)，故g(x)在(1，)單調(diào)遞減，所以g(x)g(1)0 x2x1.所以對于任意互不相等的正實數(shù)x1，x2，都有f（x2）f（x1）x2x11x11x2成立.探究提高1.證明不等式的基本方法：(1) 利 用單調(diào)性：若f(x)在 a，b上是增函數(shù)，則 xa，b，有f(a)f(x)f(b)，x1，x2a，b，且x1x2，有f(x1)f(

12、x2).對于減函數(shù)有類似結(jié)論.(2)利用最值：若f(x)在某個范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則xD，有f(x)M(或f(x)m).2.證明f(x)g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，證明F(x)0.【訓(xùn)練 2】 已知函數(shù)f(x)ax2axxlnx，且f(x)0.(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且 e2f(x0)22.(1)解f(x)的定義域為(0，)，設(shè)g(x)axalnx，則f(x)xg(x)，f(x)0 等價于g(x)0，因為g(1)0，g(x)0，故g(1)0，而g(x)a1x，g(1)a1，得a1.若a1，則g(x)11x.當(dāng) 0 x1 時，g(x

13、)1 時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增，所以x1 是g(x)的極小值點，故g(x)g(1)0.綜上，a1.(2)證明由(1)知f(x)x2xxlnx，f(x)2x2lnx，設(shè)h(x)2x2lnx，則h(x)21x.當(dāng)x0，12 時，h(x)0.所以h(x)在0，12 單調(diào)遞減，在12，單調(diào)遞增.又h(e2)0，h12 0；當(dāng)x(x0，1)時，h(x)0.因為f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一極大值點.由f(x0)0 得 lnx02(x01)，故f(x0)x0(1x0).由x00，12 得f(x0)f(e1)e2.所以 e2f(x0)0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x( 31，)時，g(x)0

14、，g(x)單調(diào)遞減.所以當(dāng)x 31 時，g(x)取得最大值，g(x)maxg( 31)2e13.所以m2e13.即實數(shù)m的取值范圍為2e13，).角度 2不等式存在性問題【例 32】 (2019海南模擬)已知函數(shù)f(x)xmlnxm1x(mR R)，g(x)12x2exxex.(1)當(dāng)x1，e時，求f(x)的最小值；(2)當(dāng)m2 時，若存在x1e，e2，使得對任意的x22，0，f(x1)g(x2)成立，求實數(shù)m的取值范圍.解(1)f(x)xmlnxm1x，且定義域(0，)，f(x)1mxm1x2（x1）x（m1）x2，當(dāng)m2 時，若x1，e，則f(x)0，f(x)在1，e上是增函數(shù)，則f(x)

15、minf(1)2m.當(dāng)me1 時，若x1，e，則f(x)0，f(x)在1，e上是減函數(shù)，則f(x)minf(e)emm1e.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)當(dāng) 2m0， 則x( 21， 21)， 令f(x)0， 則x(， 21)( 21，).f(x)在區(qū)間(， 21)，( 21，)上單調(diào)遞減，在區(qū)間( 21，21)上單調(diào)遞增.(2)f(x)(1x)(1x)ex.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)當(dāng)a1 時，設(shè)函數(shù)h(x)(1x)ex，h(x)xex0)，因此h(x)在0，)上單調(diào)遞減，而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.當(dāng) 0a0(x0)，所以

16、g(x)在0，)上單調(diào)遞增，而g(0)0，故 exx1.當(dāng) 0 x(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x054a12，則x0(0，1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01.當(dāng)a0 時，取x0512，則x0(0，1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.綜上，a的取值范圍是1，).熱點四利用導(dǎo)數(shù)求解最優(yōu)化問題【例 4】圖 1 是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖， 圖 2 是凹槽的橫截面(陰影部分)示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為 4.若凹槽的強(qiáng)度T等于橫截面的面積S與邊AB的乘積，設(shè)AB2x，BCy.

17、(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并指出x的取值范圍；(2) 求當(dāng)x取何值時，凹槽的強(qiáng)度最大.解(1)易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長為x.所以 42x2yx，得y4（2）x2.由題意知 0 xy，得 0 x44，所以y4（2）x20 x44 .精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)即y212x0 x0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x2，52 時，f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0.其中找到函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點是解題的突破口.4.不等式恒成立、能成立問題常用解法(1)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)

18、化為最值，不等式恒成立問題在變量與參數(shù)易于分離的情況下，采用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，形如af(x)max或af(x)min.(2)直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題， 在參數(shù)難于分離的情況下， 直接轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值問題，伴有對參數(shù)的分類討論.(3)數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)圖象的幾何直觀性求解，一定要重視函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用.鞏固提升一、選擇題1.設(shè)f(x)是定義在 R R 上的奇函數(shù)， 且f(2)0， 當(dāng)x0 時， 有xf（x）f（x）x20 的解集是()A.(2，0)(2，)B.(2，0)(0，2)C.(，2)(2，)D.(，2)(0，2)解析x0 時f（x）xxf（x）f（x）x20，(

19、x)f（x）x在(0，)為減函數(shù)，又(2)0，當(dāng)且僅當(dāng) 0 x0，此時x2f(x)0.又f(x)為奇函數(shù)，h(x)x2f(x)也為奇函數(shù).故x2f(x)0 的解集為(，2)(0，2).答案D精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2.(2019衡水調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x23x5，g(x)axlnx，若對x(0，e)，x1，x2(0，e)且x1x2，使得f(x)g(xi)(i1，2)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.1e，6eB.1e，e74C.6e，e74D.0，1e 6e，e74解析當(dāng)x(0，e)時，函數(shù)f(x)的值域為114，5.由g(x)a1xax1x可知：當(dāng)a0 時，g(x)0.令g(

20、x)0，得x1a，則1a(0，e)，所以g(x)ming1a1lna.作出函數(shù)g(x)在(0，e)上的大致圖象，如圖所示，數(shù)形結(jié)合，知1lna114，g（e）ae15.解之得6ea1.若關(guān)于x的不等式f(x)0 在 R R 上恒成立，則a的取值范圍為()A.0，1B.0，2C.0，eD.1，e解析當(dāng)x1 時，由f(x)x22ax2a0 恒成立，而二次函數(shù)f(x)圖象的對精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)稱軸為直線xa，所以當(dāng)a1 時，f(x)minf(1)10 恒成立，當(dāng)a1 時，f(x)minf(a)2aa20，0a1 時，由f(x)xalnx0 恒成立，即axlnx恒成立.設(shè)g(x

21、)xlnx(x1)，則g(x)lnx1（lnx）2.令g(x)0，得xe，且當(dāng) 1xe 時，g(x)e 時，g(x)0，g(x)ming(e)e，ae.綜上，a的取值范圍是0，e.答案C4.(2019北京西城區(qū)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)exelnx， 若函數(shù)g(x)f(x)a無零點，則實數(shù)a的取值范圍為()A.e22，0B.e2，0C.(2e，0D.(e，0解析依題意，f(x)1eexelnx1xexe（lnx）2exe（lnx）21elnx1x，令h(x)1elnx1x，則函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，且h(e)0，故當(dāng)x(0，e)時，h(x)0.故函數(shù)f(x)在(0，1)和(1，e)上單調(diào)遞減，在(e

22、，)上單調(diào)遞增，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.令f(x)a0，得af(x)，觀察可知 0ae，即ea0.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)答案D二、填空題5.做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是 27 dm3，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_ dm.解析設(shè)圓柱的底面半徑為Rdm，母線長為ldm，則VR2l27，所以l27R2，要使用料最省，只需使圓柱形水桶的表面積最小.S表R22RlR2227R，所以S表2R54R2.令S表0，得R3，則當(dāng)R3 時，S表最小.答案36.對于函數(shù)yf(x)，若其定義域內(nèi)存在兩個不同實數(shù)x1，x2，使得xif(xi)1(i1，2)成立，則稱函數(shù)f(x)

23、具有性質(zhì)P.若函數(shù)f(x)exa具有性質(zhì)P，則實數(shù)a的取值范圍為_.解析依題意，xf(x)1，即xexa1 在 R R 上有兩個不相等實根，axex在 R R 上有兩個不同的實根，令(x)xex，則(x)ex(x1)，當(dāng)x1 時，(x)1 時，(x)0，(x)在(1，)上是增函數(shù).精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)因此(x)極小值為(1)1e.在同一坐標(biāo)系中作y(x)與ya的圖象，又當(dāng)x0 時，(x)xex0.由圖象知，當(dāng)1eax20，f(x1)f(x2)0)，因為曲線yf(x)在點(e，f(e)處的切線與直線x20 垂直，所以f(e)0，即1eke20，解得ke，所以f(x)1xex

24、2xex2(x0).由f(x)0 得 0 x0 得xe.所以f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增，當(dāng)xe 時，f(x)取得極小值，且f(e)ln eee2.所以f(x)的極小值為 2.(2)由題意知對任意的x1x20，f(x1)x10)，則h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)所以h(x)1xkx210 在(0，)上恒成立，故當(dāng)x0 時，kx2xx12214恒成立，又x1221414，則k14，故實數(shù)k的取值范圍是14，.8.(2019天津卷選編)設(shè)函數(shù)f(x)excosx，g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x4，

25、2 時，證明f(x)g(x)2x0.(1)解由已知，有f(x)ex(cosxsinx).因此，當(dāng)x2k4，2k54(kZ Z)時，有 sinxcosx，得f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x2k34，2k4 (kZ Z)時，有 sinx0，則f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2k34，2k4 (kZ Z)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為2k4，2k54(kZ Z).(2)證明記h(x)f(x)g(x)2x.依題意及(1)，有g(shù)(x)ex(cosxsinx)，從而g(x)2exsinx.當(dāng)x4，2 時，g(x)0，故h(x)f(x)g(x)2xg(x)(1)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-

26、專注-專業(yè)g(x)2x0.因此，h(x)在區(qū)間4，2 上單調(diào)遞減，進(jìn)而h(x)h2 f2 0.所以當(dāng)x4，2 時，f(x)g(x)2x0.能力突破9.(2019濟(jì)南調(diào)研)已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)xm(mR R).(1)若f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)已知x1，x2是函數(shù)F(x)f(x)g(x)的兩個零點，且x1x2，求證：x1x20)，則F(x)1x11xx(x0)，當(dāng)x1 時，F(xiàn)(x)0，當(dāng) 0 x0，所以F(x)在(1，)上單調(diào)遞減，在(0，1)上單調(diào)遞增.F(x)在x1 處取得最大值1m，若f(x)g(x)恒成立，則1m0，即m1.故m的取值范圍為1，).(2)證明由(1)可知， 若函數(shù)F(x)f(x)g(x)有兩個零點， 則m1， 0 x11x2，要證x1