第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

1、第二章  控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 本章目錄 2.1 傳遞函數(shù)2.2 傳遞函數(shù)的說明2.3 非線性數(shù)學模型的線性化 2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)數(shù)學模型2.5 用方塊圖表示的模型2.6 信號流程圖與梅遜公式2.7* 數(shù)學模型的MATLAB描述小結(jié) 本章簡介系統(tǒng)是指相互聯(lián)系又相互作用著的對象之間的有機組合。許多控制系統(tǒng)，不管它們是機械的、電氣的、熱力的、液壓的，還是經(jīng)濟學的、生物學的等等，都可以用微分方程加以描述。如果對這些微分方程求解，就可以獲得控制系統(tǒng)對輸入量（或稱作用函數(shù)）的響應(yīng)。系統(tǒng)的微分方程，可以通過支配著具體系統(tǒng)的物理學定律，例如機械系統(tǒng)中的牛頓定律，電系統(tǒng)中的

2、克?；舴蚨傻全@得。為了設(shè)計（或者分析）一個控制系統(tǒng)，首先需要建立它的數(shù)學模型，即描述這一系統(tǒng)運動規(guī)律的數(shù)學表達式。有三種比較常用的描述方法：一種是把系統(tǒng)的輸出量與輸入量之間的關(guān)系用數(shù)學方式表達出來，稱之為輸入-輸出描述，或外部描述，例如微分方程式、傳遞函數(shù)和差分方程。第二種不僅可以描述系統(tǒng)的輸入、輸出間關(guān)系，而且還可以描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性，稱之為狀態(tài)變量描述，或內(nèi)部描述，它特別適用于多輸入、多輸出系統(tǒng)，也適用于時變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和隨機控制系統(tǒng)。另一種方式是用比較直觀的方塊圖模型來進行描述。同一控制系統(tǒng)的數(shù)學模型可以表示為不同的形式，需要根據(jù)不同情況對這些模型進行取舍，以利于對控制系統(tǒng)進行有效

3、的分析。本章所討論的數(shù)學模型以傳遞函數(shù)和方塊圖為主。 2.1 傳遞函數(shù)   在控制理論中，為了描述線性定常系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系，最常用的函數(shù)是所謂的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)，在某些特定條件下也可以擴充到一定的非線性系統(tǒng)中去。線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義初始條件為零時，輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。設(shè)有一線性定常系統(tǒng)，它的微分方程是(2-1)式中y是系統(tǒng)的輸出量，x是系統(tǒng)的輸入量。初始條件為零時，對方程（2-1）兩端進行拉普拉斯變換，就可以得到該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：(2-2)傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)的輸入量與輸出量之間的關(guān)

4、系式，它表達了系統(tǒng)本身的特性，而與輸入量無關(guān)。傳遞函數(shù)包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所必需的單位，但它不能表明系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)（許多物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的傳遞函數(shù)）。傳遞函數(shù)分母中s的最高階數(shù)，就是輸出量最高階導數(shù)的階數(shù)。如果s的最高階數(shù)等于n，這種系統(tǒng)就叫n階系統(tǒng)。例題2-1 彈簧阻尼系統(tǒng)例題2-2 機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)例題2-3 RLC電路  2.2 傳遞函數(shù)的說明 傳遞函數(shù)概念的適用范圍限于線性常微分方程系統(tǒng)。當然，在這類系統(tǒng)的分析和設(shè)計中，傳遞函數(shù)方法的應(yīng)用是很廣泛的。下面是有關(guān)傳遞函數(shù)的一些重要說明（下列各項說明中涉及的均為線性常微分方程描述的系統(tǒng)）。1. 系

5、統(tǒng)的傳遞函數(shù)是一種數(shù)學模型，它表示聯(lián)系輸出變量與輸入變量的微分方程的一種運算方法。2. 傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身的一種屬性，它與輸入量或驅(qū)動函數(shù)的大小和性質(zhì)無關(guān)。3. 傳遞函數(shù)包含聯(lián)系輸入量與輸出量所必需的單位，但是它不提供有關(guān)系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)的任何信息（許多物理上完全不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)，稱之為相似系統(tǒng)）。4. 如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)已知，則可以針對各種不同形式的輸入量研究系統(tǒng)的輸出或響應(yīng)，以便掌握系統(tǒng)的性質(zhì)。5. 如果不知道系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則可通過引入已知輸入量并研究系統(tǒng)輸出量的實驗方法，確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一旦被確定，就能對系統(tǒng)的動態(tài)特性進行充分描述，它不同于對系統(tǒng)的物理描

6、述。6. 用傳遞函數(shù)表示的常用連續(xù)系統(tǒng)有兩種比較常用的數(shù)學模型，說明如下第一種表示方式為：第二種表示方式也叫零極點增益模型，具體形式為：這兩種模型各有不同的適用范圍，可以相互轉(zhuǎn)換，在不同的場合需要用不同的模型。如：在根軌跡分析中，用零極點模型就比較合適。 相似系統(tǒng) 相似系統(tǒng)這一概念，在實踐中是很有用的，因為一種系統(tǒng)可能比另一種系統(tǒng)更容易通過實驗來處理。例如，可以通過建造和研究一個與機械系統(tǒng)相似的電模擬系統(tǒng)來代替對機械系統(tǒng)的制造和研究，因為一般來說，電的或電子的系統(tǒng)更容易通過實驗進行研究。表2-1所示為相似系統(tǒng)的相似變量。彈簧阻尼系統(tǒng)機械系統(tǒng)電系統(tǒng)力F轉(zhuǎn)矩T電壓u質(zhì)量m轉(zhuǎn)動慣量J電感L粘性磨擦系

7、統(tǒng)f粘性磨擦系統(tǒng)f電阻R彈簧系數(shù)k扭轉(zhuǎn)系數(shù)k電容的倒數(shù)1/C位移x角位移電荷q速度v角速度電流I表2-1 相似系統(tǒng)中的相似變量  2.3非線性數(shù)學模型的線性化  為了獲得非線性系統(tǒng)的線性數(shù)學模型，假設(shè)變量對于某一工作狀態(tài)的偏離很小。設(shè)系統(tǒng)的輸入量為x(t)，輸出為y(t)，y(t)和x(t)的關(guān)系是y=f(x) （2-6）如果系統(tǒng)的額定工作狀態(tài)相應(yīng)于 ，那么方程（2-6）可以在該點附近展開成泰勒級數(shù)：式中都在x= 點進行計算。如果x- 很小，可以忽略x- 的高階項。因此方程可以寫成方程（2-8）可以改寫成上式說明y- 與x-成正比。方程（2-9）就是由方程（2-6

8、）定義的非線性系統(tǒng)的線性數(shù)學模型。下面來研究另一種非線性系統(tǒng)，它的輸出量y是兩個輸入量x1和x2的函數(shù)，因而y=f(x1，x2) (2-10)為了得到這一非線性系統(tǒng)的線性近似關(guān)系，將方程（2-10）在額定工作點 附近展開成泰勒級數(shù)。這時方程（2-10）可寫成式中偏導數(shù)都在 上進行計算。在額定工作點附近，近似將高階項忽略。于是在額定工作狀態(tài)附近，這一非線性系統(tǒng)的線性數(shù)學模型可以寫成這里介紹的線性化方法只有在工作狀態(tài)附近才是正確的。當工作狀態(tài)的變化范圍很大時，線性化方程就不合適了，這時必須使用非線性方程。應(yīng)當特別注意，在分析和設(shè)計中采用的具體數(shù)學模型，只有在一定的工作條件下才能精確表示實際系統(tǒng)的動

9、態(tài)特性，在其他工作條件下它可能是不精確的。2.4典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的數(shù)學模型    自動控制系統(tǒng)是由若干環(huán)節(jié)組成的，環(huán)節(jié)具有各種各樣的結(jié)構(gòu)和功能。然而本節(jié)所討論的典型環(huán)節(jié)并不是按照它們的作用原理和結(jié)構(gòu)分類的，而是按照它們的動態(tài)特性或數(shù)字模型來區(qū)分。因為控制系統(tǒng)的運動情況只決定于所有各組成環(huán)節(jié)的動態(tài)特性及連接方式，而與這些環(huán)節(jié)具體結(jié)構(gòu)和進行的物理過程不直接相關(guān)。從這一點出發(fā)，組成控制系統(tǒng)的環(huán)節(jié)可以抽象為幾種典型環(huán)節(jié)，逐個研究和掌握這些典型環(huán)節(jié)的特性，就不難進一步綜合研究整個系統(tǒng)的特性。2.4.1比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為(2-11)這表明，輸出量與輸入量成正比

10、，動態(tài)關(guān)系與靜態(tài)關(guān)系都一樣，不失真也不遲延，所以又稱為"無慣性環(huán)節(jié)"或"放大環(huán)節(jié)"。比例環(huán)節(jié)的特征參數(shù)只有一個，即放大系數(shù)K。工程上如無彈性變形的杠桿傳動、電子放大器檢測儀表、比例式執(zhí)行機構(gòu)等都是比例環(huán)節(jié)的一些實際例子。2.4.2慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為(2-12)T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，K為比例系數(shù)。當輸入信號為單位階躍函數(shù)時，其環(huán)節(jié)的輸出為它是一條指數(shù)曲線，當時間t=3T4T時，輸出量才接近其穩(wěn)態(tài)值。實際系統(tǒng)中，慣性環(huán)節(jié)是比較常見的，例如直流電機的勵磁回路等。2.4.3積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為(2-13)在單位階躍輸入的作用下

11、，積分環(huán)節(jié)的輸出c(t)為這表明，只要有一個恒定的輸入量作用于積分環(huán)節(jié)，其輸出量就與時間成正比地無限增加。積分環(huán)節(jié)具有記憶功能，當輸入信號突然除去時，輸出總要變化下去。在控制系統(tǒng)設(shè)計中，常用積分環(huán)節(jié)來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。2.4.4微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為(2-14)理想微分環(huán)節(jié)的輸出與輸入量的變化速度成正比。在階躍輸入作用下的輸出響應(yīng)為一理想脈沖（實際上無法實現(xiàn)），由于微分環(huán)節(jié)能預示輸出信號的變化趨勢，所以常用來改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。實際上可實現(xiàn)的微分環(huán)節(jié)都具有一定的慣性，其傳遞函數(shù)如下：它有一個負極點和一個位于S平面原點的零點。實際微分環(huán)節(jié)在單位階躍輸入作用下的輸出響應(yīng)為 2.4

12、.5振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為(2-15)或式中，T為振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；K為放大系數(shù)；為振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比； 稱為無阻尼自然振蕩頻率。2.4.6延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為(2-16)延遲環(huán)節(jié)在單位階躍輸入作用下的輸出響應(yīng)為c(t)=1(t-T)即輸出完全復現(xiàn)輸入，只是延遲了T時間。T為延遲環(huán)節(jié)的特征參數(shù)，稱為"延遲時間"或"滯后時間"。以上介紹了六種典型環(huán)節(jié)，這是控制系統(tǒng)中最見的基本環(huán)節(jié)。  2.5用方塊圖表示的模型   控制系統(tǒng)可以由許多元件組成。為了表明每一個元件在系統(tǒng)中的功能，在控制工程中，常常應(yīng)用所謂"方塊圖&q

13、uot;的概念。方塊圖是描述控制系統(tǒng)的另一種比較直觀的模型，在控制系統(tǒng)的分析中，用方塊圖進行處理具有相當明顯的優(yōu)勢。方塊圖 :系統(tǒng)方塊圖，是系統(tǒng)中每個元件的功能和信號流號的圖解表示。方塊圖表明了系統(tǒng)中各種元件間的相互關(guān)系。方塊圖優(yōu)于純抽象的數(shù)學表達式，因為它能夠清楚地表明實際系統(tǒng)中的信號流動情況。在方塊圖中，通過函數(shù)方塊，可以將所有的系統(tǒng)變量聯(lián)系起來。"函數(shù)方塊"或簡稱為"方塊"，是對加到方塊上的輸入信號的一種運算符號，運算結(jié)果以輸出量表示。元件的傳遞函數(shù)，通常寫進相應(yīng)的方塊中，并以標明信號流向的箭頭，將這些方塊連接起來。應(yīng)當指出，信號只能沿箭頭方向通過

14、。這樣，控制系統(tǒng)的方塊圖就清楚地表示了它的單向特性。圖2-4表示了一個方塊圖單元。指向方塊的箭頭表示輸入，而從方塊出來的箭頭則表示輸出。在這些箭頭上標明了相應(yīng)的信號。應(yīng)當指出，方塊輸出信號等于輸入信號與方塊中傳遞函數(shù)的乘積。用方塊圖表示系統(tǒng)的優(yōu)點是：只要依據(jù)信號的流向，將各元件的方塊連結(jié)起來，就能夠容易地組成整個系統(tǒng)的方塊圖，通過方塊圖，還可以評價每一個元件對系統(tǒng)性能的影響?？傊?，方塊圖比物理系統(tǒng)本身更容易體現(xiàn)系統(tǒng)的函數(shù)功能。方塊圖包含了與系統(tǒng)動態(tài)特性有關(guān)的信息，但它不包括與系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)有關(guān)的信息。因此，許多完全不同和根本無關(guān)的系統(tǒng)，可以用同一個方塊圖來表示。 應(yīng)當指出，在方塊圖中沒有明顯表示

15、出系統(tǒng)的主能源，而且對于一定的系統(tǒng)來說，方塊圖也不是唯一的。由于分析角度的不同，對于同一個系統(tǒng)，可以畫出許多不同的方塊圖。誤差檢測器 誤差檢測器產(chǎn)生的輸出信號，等于控制系統(tǒng)的參考輸入信號與反饋信號之差。在設(shè)計中，選擇誤差檢測器是一件很重要的工作，需要仔細確定。因為誤差檢測器中的任何缺陷，都必然會降低整個系統(tǒng)的性能。圖2-5表示了誤差檢測器的方塊圖。需要注意的是，圖中進行相加或相減的一些量，應(yīng)具有相同的量綱和單位。閉環(huán)系統(tǒng)方塊圖 在圖2-6上，表示了一個閉環(huán)系統(tǒng)的方塊圖。輸出量C(s)反饋到相加點，并且在相加點與參考輸入量R(s)進行比較。系統(tǒng)的閉環(huán)性質(zhì)，在圖上清楚地表示了出來。在這種情況下，方

16、塊的輸出量C(s)，等于方塊的輸入量E(s)乘以傳遞函數(shù)G(s)。任何線性控制系統(tǒng)，都可以用由方塊、相加點和分支點組成的方塊圖來表示。所謂分支點，就是由方塊出來的輸出信號，從這一點起同時進入另一個方塊或相加點。當輸出量反饋到相加點與輸入量進行比較時，必須將輸出信號轉(zhuǎn)變?yōu)榕c輸入信號相同的形式。例如，在溫度控制系統(tǒng)中，輸出信號通常為被控溫度。具有溫度量綱的輸出信號，在與輸入信號進行比較之前，必須轉(zhuǎn)變?yōu)榱蛭恢?。這種轉(zhuǎn)換由反饋元件來完成，反饋元件的另一個重要作用，是在輸出量與輸入量進行比較之前，改變輸出量。對于正在討論的例子，反饋到相加點與輸入量進行比較的反饋信號為B(s)=H(s)C(s)。反饋信

17、號B(s)與作用誤差信號E(s)之比，叫做開環(huán)傳遞函數(shù)。即輸出量C(s)與作用誤差信號E(s)之比，叫做前向傳遞函數(shù)，因而如果反饋傳遞函數(shù)等于1(稱單位反饋)，那么開環(huán)傳遞函數(shù)與前向傳遞函數(shù)相同。在圖2-6所示系統(tǒng)中，輸出量C(s)與輸入量R(s)的關(guān)系，可推導如下：C(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)從上述方程中消去E(s)，得C(s)=G(s)R(s)-H(s)C(s)于是可得（2-17）C(s)與R(s)之間的傳遞函數(shù)，叫做閉環(huán)傳遞函數(shù)。這一傳遞函數(shù)，將閉環(huán)系統(tǒng)的動特性，與前向通道元件和反饋通道元件的動態(tài)特性聯(lián)系在一起了。由方程（2-17），

18、可求得C(s)為因此，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出量，顯然取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸入量的性質(zhì)。擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng) 圖2-7為一個在擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)。當兩個輸入量（參考輸入量和擾動量）同時作用于線性系統(tǒng)時，可以對每一個輸入量單獨地進行處理，將與每一個輸入量單獨作用時相應(yīng)的輸出量疊加，即可得到系統(tǒng)的總輸出量。每個輸入量加進系統(tǒng)的形式，用相加點上的加號或減號來表示?，F(xiàn)在來討論圖2-7上表示的系統(tǒng)。在研究擾動量N(s)對系統(tǒng)的影響時，可以假設(shè)系統(tǒng)在開始時是靜止的，并且假設(shè)無誤差信號，這樣就可以單獨計算系統(tǒng)對擾動的響應(yīng)CN(s)。這一響應(yīng)可由下式求得：另一方面，在研究系統(tǒng)對參考輸入量的響應(yīng)時，可以假設(shè)擾動量等于零

19、。這時系統(tǒng)對參考輸入量R(s)的響應(yīng)CR(s)可由下式求得：將上述兩個單獨的響應(yīng)相加，就可以得到參考輸入量和擾動量同時作用時的響應(yīng)。換句話說，參考輸入量R(s)和擾動量N(s)同時作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的響應(yīng)C(s)為另一方面，當G1(s)G2(s)H(s)的增益增大時，閉環(huán)傳遞函數(shù)CR(s)/R(s)趨近于1/H(s)。這表明，當 G1(s)G2(s)H(s)>>1時，閉環(huán)傳遞函數(shù)CR(s)/R(s)將變成與G1(s)和G2(s)無關(guān)，而只與H(s)成反比關(guān)系，因此G1(s)和G2(s)的變化，不影響閉環(huán)傳遞函數(shù)CR(s)/R(s)。這是閉環(huán)系統(tǒng)的另一個優(yōu)點?？梢匀菀椎乜闯觯喝魏伍]環(huán)

20、系統(tǒng)，當反饋傳遞函數(shù)H(s)=1時，系統(tǒng)的輸入量與輸出量相等。畫方塊圖的步驟 在繪制系統(tǒng)的方塊圖時，首先列寫描述每一個元件動態(tài)特性的方程式。然后假定初始條件等于零，對這些方程式進行拉普拉斯變換，并將每一個拉普拉斯變換方程分別以方塊的形式表示出來。最后將這些方塊單元結(jié)合在一起，以組成完整的方塊圖。方塊圖的簡化 應(yīng)當強調(diào)指出，只有當一個方塊的輸出量不受其后的方塊影響時，才能夠?qū)⑺鼈兇?lián)連接。如果在這些元件之間存在著負載效應(yīng)，就必需將這些元件歸并為一個單一的方塊。任意數(shù)量串聯(lián)的、表示無負載效應(yīng)元件的方塊，可以用一個單一的方塊代替，它的傳遞函數(shù)，就等于各單獨傳遞函數(shù)的乘積。一個包含著許多反饋回路的復雜

21、的方塊圖，可以應(yīng)用方塊圖的代數(shù)法則，經(jīng)過逐步重新排列和整理而得到簡化。在表2-1中，列舉了一些比較常見的方塊圖代數(shù)法則。這些代數(shù)法則說明，同一個方程式可以用不同的方法表示。通過重新排列和代換，將方塊圖簡化后，可以使以后的數(shù)學分析工作很容易進行。但是應(yīng)當指出，當方塊圖得到簡化后，新的方塊卻變得更加復雜了，因為產(chǎn)生了新的極點和零點。 原始方塊圖等效方塊圖12345表2-1 方塊圖代數(shù)法則  在方塊圖簡化過程中，應(yīng)記住以下兩條原則：1前向通道中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變；2回路中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變。方塊圖簡化的一般法則是移動分支點和相加點，交換相加點，減少內(nèi)反饋回路。下面

22、舉例說明方塊圖的變換和化簡。  2.6信號流程圖和梅遜公式 方塊圖對于圖解表示控制系統(tǒng)，是很有用的。但是當系統(tǒng)很復雜時，方塊圖的簡化過程是很繁雜的。信號流程圖，是另一種表示復雜控制系統(tǒng)中系統(tǒng)變量之間關(guān)系的方法。這種方法是S.J.梅遜(Mason)首先提出的。信號流圖 信號流圖，是一種表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的圖。當將信號流圖法應(yīng)用于控制系統(tǒng)時，首先必須將線性微分方程變換為以s為變量的代數(shù)方程。信號流圖是由網(wǎng)絡(luò)組成的，網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點用定向支線段連接。每一個節(jié)點表示一個系統(tǒng)變量，而每兩節(jié)點之間的聯(lián)結(jié)支路相當于信號乘法器。應(yīng)當指出，信號只能單向流通。信號流的方向由支路上的箭頭表示，而乘法因子

23、則標在支路線上。信號流圖描繪了信號從系統(tǒng)中的一點流向另一點的情況，并且表明了各信號之間的關(guān)系。正如所料，信號流圖基本上包含了方塊圖所包含的信息。用信號流圖表示控制系統(tǒng)的優(yōu)點，可以應(yīng)用所謂梅遜增益公式。根據(jù)該公式，不必對信號流圖進行簡化，就可以得到系統(tǒng)中各變量之間的關(guān)系。定義 在討論信號流圖之前，首先必須定義如下一些術(shù)語：節(jié)點，節(jié)點用來表示變量或信號的點。傳輸，兩個節(jié)點之間的增益叫傳輸。支路，支路是連接兩個節(jié)點的定向線段。支路的增益為傳輸。輸入節(jié)點或源點，只有輸出支路的節(jié)點，叫輸出節(jié)點或源點。它對應(yīng)于自變量。輸出節(jié)點或阱點，只有輸入支路的節(jié)點，叫輸入節(jié)點或阱點。它對應(yīng)于因變量?；旌瞎?jié)點，既有輸入

24、支路，又有輸出支路的節(jié)點，叫混合節(jié)點。通道，沿支路箭頭方向而穿過各相連支路的途徑，叫通道。如果通道與任一節(jié)點相交不多于一次，就叫做開通道。如果通道的終點就是通道的起點，并且與任何其它節(jié)點相交不多于一次，就叫做閉通道。如果通道通過某一節(jié)點多于一次，但是終點與起點在不同的節(jié)點上，那么這個通道既不是開通道，又不是閉通道?；芈?，回路就是閉通道（路）?；芈吩鲆?，回路中各支路傳輸?shù)某朔e，叫回路增益。不接觸回路，如果一些回路沒有任何公共節(jié)點，就把它們叫做不接觸回路。前向通道，如果從輸入節(jié)點（源點）到輸出節(jié)點（阱點）的通道上，通過任何節(jié)點不多于一次，則該通道叫做前向通道。前向通道增益，前向通道中，各支路傳輸?shù)?/p>

25、乘積，叫前向通道增益。圖2-9表示了節(jié)點、支路和支路傳輸。信號流圖的性質(zhì) 下面介紹一些信號流圖的重要性質(zhì)。1 支路表示了一個信號對另一個信號的函數(shù)關(guān)系。信號只能沿著支路上的箭頭方向通過。2 節(jié)點可以把所有輸入支路的信號疊加，并把總和信號傳送到所有支路。3 具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點，通過增加一個具有單位傳輸?shù)闹?，可以把它變成輸出?jié)點來處理。（見圖2-9,注意，具有單位傳輸?shù)闹窂膞3指向另一個節(jié)點，后者也以x3表示。）當然，應(yīng)當指出，用這種方法不能將混合節(jié)點改變?yōu)樵袋c。4 對于給定的系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的。由于同一系統(tǒng)的方程可以寫成不同的形式，所以對于給定的系統(tǒng)，可以畫出許多種不同的信號

26、流圖。信號流圖代數(shù) 根據(jù)前面的定義，可以畫出線性系統(tǒng)的信號流圖。這樣做時，通常將輸入節(jié)點（源點）放在左面，而輸出節(jié)點（阱點）放在右面。方程式的自變量和因變量，分別變?yōu)檩斎牍?jié)點（源點）和輸出節(jié)點（阱點）。支路的傳輸可由方程的系數(shù)得到。為了確定輸入-輸出關(guān)系，可以采用梅遜公式。這個公式后面將要介紹。也可以將信號流圖簡化成只包含輸出和輸入節(jié)點的形式。為了進行這種簡化，需采用下列規(guī)則：1 如圖2-10(a)所示，只有一個輸出支路的節(jié)點的值為x2=ax1。2 串聯(lián)支路的總傳輸，等于所有支路傳輸?shù)某朔e。因此，通過傳輸相乘，可以將串聯(lián)支路合并為單一支路，如圖2-10(b)所示。3 通過傳輸相加，可以將并聯(lián)支

27、路合并為單一支路，如圖2-10(c)所示。4 混合節(jié)點可以消掉，如圖2-10(d)所示。5 回路可以消掉，如圖2-10(e)所示。圖2-10信號流圖及其簡化梅遜公式 用梅遜公式可以直接求信號流圖的傳輸。表示為（2-18）式中Pk=第k條前向通道的通道增益或傳輸；=流圖的特征式=1-（所有不同回路的增益之和）+（每兩個互不接觸回路增益乘積之和）-（每三個互不接觸回路增益乘積之和）+k=在除去與第k條前向通道相接觸的回路的流圖中，第k條前向通道特征式的余因子?？傊?，熟悉了梅遜公式之后，根據(jù)它去求解系統(tǒng)的傳輸，遠比用方塊圖變換方法簡便有效，對于復雜的多環(huán)系統(tǒng)和多輸入、多輸出系統(tǒng)尤其明顯。因此，信號流

28、圖得到了廣泛的實際應(yīng)用，并常用于控制系統(tǒng)的計算機輔助設(shè)計。2.7數(shù)學模型的MATLAB描述 控制系統(tǒng)常用的數(shù)學模型有三種：傳遞函數(shù)、零極點增益和狀態(tài)空間。每種模型均有連續(xù)/離散之分，它們各有特點，有時需在各種模型之間進行轉(zhuǎn)換。本節(jié)主要介紹它們的MATLAB表示及三種模型之間的相互轉(zhuǎn)換。2.7.1連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示1 傳遞函數(shù)模型當： 時則在MATLAB中，直接用分子/分母的系數(shù)表示，即num=b0，b1，bm；den = a0，a1，an；例2-7 用MATLAB表示傳遞函數(shù).  2 零極點增益模型當： 時則在MATLAB中，用z，p，k矢量組表示，即z=z0，z1，

29、zm；p=p0，p1，pn；k=k；例2-8 用MATLAB表示傳遞函數(shù). 3 狀態(tài)空間模型*當： 時則在MATLAB中，該控制系統(tǒng)可用（a，b，c，d）矩陣組表示。4 傳遞函數(shù)的部分分式展開當：時在MATLAB中直接用分子/分母的系數(shù)表示時有num=b0，b1，bm；den = a0，a1，an；則命令r,p,k = residue(num,den)將求出兩個多項式Y(jié)(s)和X(s)之比的部分分式展開的留數(shù)、極點和直接項。Y(s)/X(s)的部分分式展開由下式給出：2.7.2離散系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示*1 傳遞函數(shù)模型：2 零極點增益模型：3 狀態(tài)空間模型：2.7.3模型之間的轉(zhuǎn)換同

30、一個控制系統(tǒng)都可用上述三種不同的模型表示，為分析系統(tǒng)的特性，有必要在三種模型之間進行轉(zhuǎn)換。MATLAB的信號處理和控制系統(tǒng)工具箱中，都提供了模型變換的函：ss2tf，ss2zp，tf2ss，tf2zp，zp2ss，zp2tf，它們的關(guān)系可用圖2-17所示的結(jié)構(gòu)來表示。圖2-18 三種模型之間的轉(zhuǎn)換說明：ss2tf命令：將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。格式為：num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)式中，iu為輸入的序號。轉(zhuǎn)換公式為 ss2zp命令：將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成零極點增益模型。格式為：Z, P, K=ss2zp(A, B, C, D, iu)式中，iu為輸入的序號。tf2ss命令：將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型。格式為