雙曲線及其標準方程（第1課時）

1、2.3.1 2.3.1 雙曲線及其標準方程雙曲線及其標準方程（第一課時）（第一課時）yxoF2F1M1F2F 0, c 0, cXYO yxM,1. 橢圓的定義橢圓的定義和和 等于常數(shù)等于常數(shù)2a ( 2a|F1F2|0) 的點的軌跡的點的軌跡.平面內(nèi)與兩定點平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的的距離的2.2.引入問題：引入問題：差差等于常數(shù)等于常數(shù)的點的軌跡是什么呢？的點的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的的距離的實驗探究實驗探究兩個定點兩個定點F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點焦點;|F1F2|=2c 焦距焦距. F2F1M 平面內(nèi)與兩個定點平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距

2、離的差的距離的差的絕對值的絕對值等于常數(shù)等于常數(shù) 的點的軌跡叫做的點的軌跡叫做雙曲線雙曲線.（小于（小于F1F2且大于零）且大于零）注意注意一、定義一、定義02a |F1F2|)02a |F1F2|)當當02a |F1F2|時時雙曲線雙曲線兩條射線兩條射線無軌跡無軌跡| |MF1|-|MF2| | =2a雙曲線冷卻塔工程雙曲線冷卻塔工程F2F1MxOy二、求雙曲線方程二、求雙曲線方程 取過焦點取過焦點F1、F2的直線為的直線為x x軸，取軸，取線段線段F1、F2的中垂線為的中垂線為y y軸，建立平面軸，建立平面直角坐標系（如右圖）。直角坐標系（如右圖）。 設曲線上任一點為設曲線上任一點為M M

3、（x,yx,y），），| |F1F2|=2c,|=2c,則則, ,F1(-c,0),(-c,0),F F2 2(c,0).(c,0).2 2、找等量關系（列式）找等量關系（列式）4 4、化簡化簡3 3、代換代換| |MF1|-|MF2| | =2a1 1、建系設點建系設點aycxycx2)()(2222 將方程移項再平方將方程移項再平方兩邊再平方得：兩邊再平方得：由雙曲線定義知：由雙曲線定義知：2c2a0即即ca0，c2 a20設設 c2 a2=b2 得：得：b2x2 - a2y2=a2b2兩邊同兩邊同除以除以a2b2得：得：)0, 0(12222 babyaxaycxycx2)()(2222

4、 222222244ycxycxaaycx 222ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa )()(22222222acayaxac 這叫雙曲線的這叫雙曲線的標準方程。標準方程。aycxycx2)()(2222 焦點坐標：焦點坐標：F1(0 , -c) ， F2(0 , c)0, 0(12222 babxay222bac 思考：思考：若取過焦點若取過焦點F1、F2的直線為的直線為y y軸，取線軸，取線段段F1、F2的中垂線為的中垂線為x x軸建立平面直角坐標系軸建立平面直角坐標系, ,雙曲雙曲線的方程會發(fā)生怎樣的變化？線的方程會發(fā)生怎樣的變化？ 這叫雙曲線的這叫

5、雙曲線的標準方程。標準方程。yxoF2F1F2F1MxOyOMF2F1xy12222byax)0, 0( ba三、雙曲線的標準方程三、雙曲線的標準方程c2 = a2 + b212222bxay)0, 0( ba判斷下列方程是否表示雙曲線？若是，求出判斷下列方程是否表示雙曲線？若是，求出 及焦點坐標。及焦點坐標。cba,答案：答案：)0 ,6(),0 ,6(6,2,2)1( cba)0 , 2(),0 , 2(2,2,2)3( cba124)1(22 yx122)3(22 yx124)2(22 yx124)4(22 yx)6,0(),6,0(6,2,2)2( cba回顧回顧2:2:已知一已知一橢

6、圓橢圓的標準方程如何確定焦點位置？的標準方程如何確定焦點位置？12422 yx12422 xy焦點在焦點在x x軸上軸上焦點在焦點在y y軸上軸上橢橢 圓圓 看看 分分 母母 大大 小小雙雙 曲曲 線線 看看 系系 數(shù)數(shù) 正正 負負思考思考: :若已知若已知雙曲線雙曲線的標準方程如何確定焦點位置？的標準方程如何確定焦點位置？回顧回顧1 1：橢圓橢圓 的標準方程可以看作的標準方程可以看作雙曲線雙曲線的標準方程可以看作兩個分式的平方的標準方程可以看作兩個分式的平方差差等于等于1 1；兩個分式的平方兩個分式的平方和和等于等于1 1；)0 ,6(),0 ,6( )6, 0(),6, 0( (1)(1)

7、焦點焦點 的坐標為的坐標為(2)(2)若點是雙曲線上的一點，已知若點是雙曲線上的一點，已知則則(3)(3)若點是雙曲線右支上的一點，已知若點是雙曲線右支上的一點，已知則則(4)(4)點在雙曲線的左支上，在點在雙曲線的左支上，在 中，中， 則三角形的周長為則三角形的周長為P116922 yx21,FF101 PF 2PF81 PF 2PF21FPF 31 PF| |PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2| | |=2a=6=2a=6yxo1F2FP( 5, 0)4 4或或16162 2|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=6|=6|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=-2

8、a=-6|=-2a=-6|PF|PF2 2|=9|=9|F|F1 1F F2 2|=2c=10|=2c=102222例例1:1:已知雙曲線的焦點為已知雙曲線的焦點為F F1 1(-5,0),F(-5,0),F2 2(5,0)(5,0)，雙曲線上一，雙曲線上一點點P P到到F F1 1、F F2 2的距離的差的絕對值等于的距離的差的絕對值等于6 6，求雙曲線的標準，求雙曲線的標準方程方程. .116922 yx)0, 0(12222 babyax解解: :焦距為焦距為10101169, 11692222 xyyx“先定位后定量，若不能定位則有兩種先定位后定量，若不能定位則有兩種可能可能”1、寫出

9、適合下列條件的雙曲線的標準方程寫出適合下列條件的雙曲線的標準方程 1)1)焦點在焦點在x x軸上軸上a=4 ，b=3 ；4,15 ca解：雙曲線的標準方程為解：雙曲線的標準方程為:191622 yx雙曲線的標準方程為雙曲線的標準方程為:解：解：115, 1152222 yxxy11516222 acb補充題：補充題：2)2)焦點在焦點在x x軸上，經(jīng)過點軸上，經(jīng)過點 ，)3,2( )2,315( 解：解：12222 byax設方程為：設方程為：把已知兩點代入方程得：把已知兩點代入方程得： 12351322222baba解得：解得： 3122ba1322 yx雙曲線的標準方程為雙曲線的標準方程為

10、:( (教材教材5555頁頁) )定義定義圖形圖形標準方程標準方程焦點焦點a a、b b、c c之之間的關系間的關系如何判斷雙如何判斷雙曲線位置？曲線位置？ 0, 012222 babxay(c,0)、( c,0)(0,c)、(0, c)c2=a2+b2 0, 012222 babyax| |MF1|-|MF2| | =2aF2F1MxOyOMF2F1xy看系數(shù)的正負看系數(shù)的正負1 1、2.3A2.3A組組( (課本第課本第6161頁頁) 1) 1，2 22 2、課后思考、課后思考1、寫出適合下列條件的雙曲線的標準方程寫出適合下列條件的雙曲線的標準方程 1)1)焦點在焦點在x x軸上軸上a=4

11、 ，b=3 ；4,15 ca解：雙曲線的標準方程為解：雙曲線的標準方程為:191622 yx雙曲線的標準方程為雙曲線的標準方程為:解：解：1151152222 yxxy或或11516222 acb補充題：補充題：2)2)焦點在焦點在x x軸上，經(jīng)過點軸上，經(jīng)過點 ，)3,2( )2,315( 解：解：12222 byax設方程為：設方程為：把已知兩點代入方程得：把已知兩點代入方程得： 12351322222baba解得：解得： 3122ba1322 yx雙曲線的標準方程為雙曲線的標準方程為:13, 132222 xyyx雙雙曲曲線線發(fā)發(fā)展展史史定定 義義標標 準準方方 程程 焦焦 點點a.b.

12、c的關系的關系x x2 2a a2 2-y y2 2b b2 2= =1 1x x2 2y y2 2a a2 2+ +b b2 2 =1 =1F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，c2=a2-b2雙曲線雙曲線M| |MF1|-|MF2|=2a M | |MF1|+|MF2|=2ax x2 2a a2 2+ +y y2 2b b2 2= =1 1橢橢 圓圓雙曲線雙曲線y y2 2x x2 2a a2 2- -b b2 2= = 1 1F（0，c）F（0，c）(ab0)(a0,b0)2、求證、求證: :雙曲線雙曲線 與橢圓與橢圓 的焦點相同的焦點相同.151522