圓錐頂點的截面面積的最大值問題

1、圓錐頂點的截面面積的最大值問題文1得出了如下結論：若圓錐為“銳角或直角圓錐”（）時，過圓錐頂點的所有截面中，軸截面面積最大，最大值是；ABPO圖1CD若圓錐為“鈍角圓錐”時，過圓錐頂點的所有截面中，不是軸截面面積最大，而是使截面成等腰直角三角形的截面面積最大，最大值為為得出上述結論，作者采用的方法是（如圖1）：設圓錐的高為底面半徑為，截面與底面的交線從而得出再利用基本不等式（時）和利用導數確定函數的單調性分類討論求出的最大值本文首先采用較上述方法更為簡單且更容易被學生理解、掌握（特別是還未學習導數內容的高二學生）的方法得出該結論，然后再用同樣的方法研究圓臺的過兩條母線的截面面積的最大值問題如圖

2、1，設圓錐的高、底面半徑和母線長分容易別為、，圓錐的軸截面頂角，是圓錐的過頂點的任意一截面，設，過圓錐頂點的截面三角形（都是腰長為的等腰三角形）中，頂角最大的是軸截面在軸截面中有和當（或）時，；當（或）時，；當（或）時，我們把軸截面頂角分別為銳角、直角、鈍角的圓錐依次稱為銳角圓錐、直角圓錐、鈍角圓錐而，當且僅當取最大值時，取最大值當圓錐為“銳角或直角圓錐”（或）時，即過圓錐頂點的所有截面中，軸截面面積最大，最大值是=；當圓錐為“鈍角圓錐”或時，即過圓錐頂點的所有截面中，不是軸截面面積最大，而是使截面成等腰直角三角形的截面面積最大，最大值為以上方法抓住了截面三角形是腰長為定值（即母線長）的等腰三

3、角形這一特征，而采用公式來計算截面的面積，顯然其思路更自然、過程更明晰簡潔、且更容易被學生理解和掌握以下研究圓臺的過兩條母線的截面面積的最值問題如圖2，設圓臺的上、下底半徑分別為，高和母線分別為（顯然，），等腰梯形ABCD和EFGH分別是圓臺的軸截面和任一過兩母線的截面將圓臺補成圓錐（如圖3）則，（其中）H，BOADCPEFG圖3BACDEFGHO圖2若我們把由銳角圓錐、直角圓錐、鈍角圓錐截得的圓臺依次稱為銳角圓臺、直角圓臺、鈍角圓臺，則顯然有以下結論：若圓臺為“銳角或直角圓臺”時，過圓臺兩母線的所有截面中，軸截面面積最大，最大值是；若圓臺為“鈍角圓臺”時，過圓臺兩母線的所有截面中，不是軸截面面積最大，而是使截面等腰梯形的兩個下底角等于的截面面積最大，且最大值為顯然，從以上對圓臺的三種分類（銳角圓臺、直角圓臺和鈍角圓臺）的定義可知，圓臺的類型還可從軸截面等腰梯形ABCD的底角大小來判斷（如圖4）：DCBA圖4當時，圓臺是銳角圓臺；當時，圓臺是直角圓臺；當時，圓臺是鈍角圓臺我們有下面的結論：當（或時，過圓臺兩母線的所有截面中，軸截面面積最大，最大值是；當（或時，過圓臺兩母線的所有截面中，不是軸截面面積最大，而是使截面等腰梯形的兩個下底角等于