大數(shù)定律和中心極限定理

1、第五章 大數(shù)定律和中心極限定理總述內(nèi)容提要本章主要講述契比雪夫不等式，契比雪夫大數(shù)定律，貝努里大數(shù)定律和中心極限定理等內(nèi)容重點分析1、 了解切比雪夫不等式、切比雪夫定理和伯努利定理。2、 了解獨立同分布的中心極限定理和棣莫佛拉普拉斯定理。難點分析1、 切比雪夫定理。2、 獨立同分布的中心極限定理。習(xí)題布置習(xí)題5備注第17 次教案§5.1 大數(shù)定律人們在長期的實踐中發(fā)現(xiàn)，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，也就是說隨著試驗次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率將穩(wěn)定與一個確定的常數(shù)。對某個隨機變量進行大量的重復(fù)觀測，所得到的大批觀測數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，由于這類穩(wěn)定性都是在對隨機現(xiàn)象進行大量重復(fù)試驗

2、的條件下呈現(xiàn)出來的，因而反映這方面規(guī)律的定理我們就統(tǒng)稱為大數(shù)定律。一、 契比雪夫不等式 Theorem 4.1 設(shè)隨機變量的均值及方差存在，則對于任意正數(shù)，有不等式或 成立。我們稱該不等式為契比雪夫（Chebyshev）不等式。Proof: （我們僅對連續(xù)性的隨機變量進行證明）設(shè)為的密度函數(shù)，記，則 從定理中看出，如果越小，那么隨機變量取值于開區(qū)間中的概率就越大，這就說明方差是一個反映隨機變量的概率分布對其分布中心的集中程度的數(shù)量指標。利用契比雪夫不等式，我們可以在隨機變量的分布未知的情況下估算事件的概率。Example 5.1 設(shè)隨機變量的數(shù)學(xué)期望，方差估計的大小。Solution 因而 不

3、會小于.二、 契比雪夫大數(shù)定律Theorem 5.2 設(shè)相互獨立的隨機變量分別具有均值及方差，若存在常數(shù)，使，則對于任意正整數(shù)，有Proof： 由于相互獨立，那么對于任意的，相互獨立。于是令 ，則由契比雪夫不等式有令， 則有 即 .Corollary 5.1 設(shè)相互獨立的隨機變量有相同的分布，且 ，存在，則對于任意正整數(shù)，有.定理5.2我們稱之為契比雪夫大數(shù)定理，推論4.1是它的特殊情況，該推論表明，當很大時，事件的概率接近于1。一般地，我們稱概率接近于1的事件為大概率事件)，而稱概率接近于0的事件為小概率事件)，在一次試驗中大概率事件幾乎肯定要發(fā)生，而小概率事件幾乎不可能發(fā)生，這一規(guī)律我們稱

4、之為實際推斷原理。三、 貝努里大數(shù)定律Theorem 5.3 設(shè)是次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，是事件在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正整數(shù)，有 . Proof： 令，是個相互獨立的隨機變量，且.又 ，因而由推論4.1有定理5.3我們稱之為貝努利大數(shù)定律，它表明事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件的概率，也就是說當很大時事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。根據(jù)實際推斷原理，當試驗次數(shù)很大時，就可以利用事件發(fā)生的頻率來近似地代替事件的概率。 第 18 次教案§5.2 中心極限定理中心極限定理是研究在適當?shù)臈l件下獨立隨機變量的部分和的分布收斂于正態(tài)分布的問題。Theorem 5.4

5、 設(shè)相互獨立的隨機變量服從同一分布，且 ，則對于任意，隨機變量的分布函數(shù)趨于標準正態(tài)分布函數(shù)，即有定理的證明從略。該定理我們通常稱之為林德貝格-勒維定理。Corollary 5。2 設(shè)相互獨立的隨機變量服從同一分布，已知均值為，方差為.單分布函數(shù)未知，當充分大時，近似服從正態(tài)分布. Corollary 5.3 設(shè)相互獨立的隨機變量服從同一分布，已知均值為，方差為.單分布函數(shù)未知，當充分大時,近似服從正態(tài)分布. 由推論5.3知，無論是什么樣的分布函數(shù)，他的平均數(shù)當充分大時總是近似地服從正態(tài)分布。 Example 5.2 某單位內(nèi)部有260部電話分機，每個分機有4%的時間要與外線通話，可以認為每個

6、電話分機用不同的外線是相互獨立的，問總機需備多少條外線才能95%滿足每個分機在用外線時不用等候? Solution 令，是260個相互獨立的隨機變量，且，表示同時使用外線的分機數(shù)，根據(jù)題意應(yīng)確定最小的使成立。由上面定理，有查得，故，取，于是也就是說，至少需要16條外線才能95%滿足每個分機在用外線時不用等候。Example 5.3 用機器包裝味精，每袋凈重為隨機變量，期望值為100克，標準差為10克，一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精凈重大于20500克的概率。Solution 設(shè)一箱味精凈重為克，箱中第袋味精的凈重為克，.是200個相互獨立的隨機變量，且，因而有 Theorem 5.5 （德莫佛拉普拉斯定理DeMovire-Laplace Theorem）設(shè)表示次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率。則對于任意區(qū)間，恒有這兩個定理表明二項分布的極限分布是正態(tài)分布。一般來說，當較大時，二項分布的概率計算起來非常復(fù)雜，這是我們就可以用正態(tài)分布來近似地計算二項分布。Example 5.4 設(shè)隨機變量服從，求.Solution Example 5.5 設(shè)電路共電網(wǎng)中內(nèi)有10000盞燈，夜間每一盞燈開著的概率為0.7，假設(shè)各燈的開關(guān)彼此獨立，計算同時開著的燈數(shù)在6800與7200