固體物理基礎(chǔ)吳代鳴之高教課后到題答案

1、一 本章習(xí)題P272習(xí)題1.試證理想六方密堆結(jié)構(gòu)中c/a=1.633.一 說明： C是上下底面距離，a是六邊形邊長。二 分析：首先看是怎樣密堆的。如圖(書圖1.10(a)，P8)，六方密堆結(jié)構(gòu)每個格點(diǎn)有12個近鄰。（同一面上有6個，上下各有3個）上下底面中間各有一個球，共有六個球與之相切，每個球直徑為a。中間層的三個球相切，又分別與上下底面的各七個球相切。球心之間距離為a。所以球心之間即格點(diǎn)之間距離均為a（不管是同層還是上下層之間）。三 證明：如圖OA=a，OO=C/2（中間層是上下面層的一半），AB=aO是ABC的三垂線交點(diǎn)（由余弦定理2若晶胞基矢互相垂直，試求晶面族（hkl）的面間距。一、

2、分析：我們想到倒格矢與面間距的關(guān)系。倒格矢與晶面族 （hkl）的關(guān)系寫出與正格子基矢 的關(guān)系。即可得與晶面族（hkl） 垂直的倒格矢。進(jìn)而求得此面間距d。二、解：互相垂直，可令晶胞體積倒格子基矢： 而與 （hkl）晶面族垂直的倒格矢 故（hkl） 晶面族的面間距3若在體心立方晶胞的每個面中心處加一個同類原子，試說明這種晶體的原胞應(yīng)如何選擇？每個原胞含有幾個原子？ 1 分析：考慮選取原胞的條件：（即布拉菲晶格的最小單元）（1） 體積最小的重復(fù)結(jié)構(gòu)單元（2） 只包含一個格點(diǎn)（3） 能反映晶格的周期性應(yīng)將幾個原子組合成一個格點(diǎn)，然后構(gòu)成原胞。原胞反映周期性，在空間無空隙無交疊排列成晶格。我們不容易看

3、出哪幾個原子組合成一個格點(diǎn)。我們可先分析晶胞是否組成復(fù)式格子？何種格子組成的復(fù)式格子？是由幾層套構(gòu)而成的？我們知道如果是體心立方，將是兩個簡立方套構(gòu)而成的二重復(fù)式格子。如果是面心立方，將有對面面心處的原子構(gòu)成三重簡立方格子；加上頂點(diǎn)處是四重簡立方格子。這樣，我們的題中是體心加面心，面心的四重格子加上體心處的原子構(gòu)成的一重格子，故應(yīng)是五重簡立方的復(fù)式格子。所以布拉菲晶格是簡單立方格子。這樣可將體心，八個頂點(diǎn)中取一個，對面面心各取一個原子（即三個）作為一個組合形成一個格點(diǎn)，即由5個原子形成一個格點(diǎn)，亦即基元是選這樣的原子組合。最后格點(diǎn)的原胞是簡立方，每個原胞含一個格點(diǎn)，每個格點(diǎn)含五個原子。故每個原

4、胞含有5個原子。2 答：通過分析我們知道，原胞可選為簡單立方，每個原胞中含有5個原子。體心，八個頂點(diǎn)中取一個，對面面心各取一個原子（即三個）作為基元。布拉菲晶格是簡單立方格子。4試求面心立方結(jié)構(gòu)的（111）和（110）面的原子面密度。一（111）面（1） 分析：先分析有幾個原子？如圖（書圖1.12，P10）。（111）面由3頂點(diǎn)連線組成的面。3個頂點(diǎn)原子，每個貢獻(xiàn)1/6，3個面心原子，每個貢獻(xiàn)1/2，共6原子，每個（111）面有個原子。求出（111）面面積可得原子面密度。（2） 解：平均每個（111）面有個原子。（111）面面積所以原子面密度二（110）面（1） 分析：如圖（書圖1.12，P1

5、0）。（110）面是四頂點(diǎn)組成的面。分析有幾個原子？4個頂點(diǎn)原子，每個貢獻(xiàn)1/4（上下兩層，每層兩個單胞中的（110）共用一個頂點(diǎn)）；2個面心原子，每個貢獻(xiàn)1/2。共6個原子，平均每個（110）面有原子。再求出（110）面積即可。（2） 解：平均每個（110）面有個原子。（110）面面積所以（110）面原子面密度5設(shè)二維矩形格子的基矢為，試畫出第一、二、三、布里淵區(qū)。解：倒格子基矢：所以倒格子也是二維矩形格子。方向短一半。最近鄰次近鄰再次近鄰再再次近鄰做所有這些點(diǎn)與原點(diǎn)間連線的垂直平分線，圍成布里淵區(qū)。再按各布里淵區(qū)的判斷原則進(jìn)行判斷，得：第一布里淵區(qū)是一個扁長方形；第二布里淵區(qū)是2塊梯形和2

6、塊三角形組成；第三布里淵區(qū)是2對對角三角和4個小三角以及2個等腰梯形組成。6六方密堆結(jié)構(gòu)的原胞基矢為： 試求倒格子基矢并畫出第一布里淵區(qū)。1 分析：從前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，六方密堆結(jié)構(gòu)是兩個簡單六方格子復(fù)合成的二重復(fù)式格子。所以原胞為簡單六方結(jié)構(gòu)。1 解：原胞為簡單六方結(jié)構(gòu)。原胞體積：倒格子基矢：由此看到，倒格子同原胞一樣，只是長度不同，因此倒格子仍是簡單六方結(jié)構(gòu)。（注意：倒格子是簡單六方，而不是六方密堆）選六邊形面心處格點(diǎn)為原點(diǎn)，則最近鄰為六個角頂點(diǎn)，各自倒格矢的垂直平分面構(gòu)成一個六面柱體。次近鄰為上下底面中心，其垂直平分面為上下平行平面。再次近鄰是上下面六個頂角，其垂直平分面不截上面由最

7、近鄰和次近鄰垂直平分面構(gòu)成的六角柱體。所以第一布里淵區(qū)是一個六角柱體。比倒格子六方要小。7試求金剛石的結(jié)構(gòu)因子并討論X射線衍射消失的條件。解：圖見書P7圖1.9(a)金剛石結(jié)構(gòu)的布拉菲晶格是面心立方格子，基元中有兩個原子。將頂角處選為原點(diǎn)，另一原子位置進(jìn)而，將面心再看成是四套簡立方的復(fù)式格子。簡立方每個格點(diǎn)有四個面心立方的格點(diǎn)，而面心立方的格點(diǎn)有2個原子。所以簡立方的每個格點(diǎn)就相當(dāng)于有個原子。也就是考慮一個金剛石結(jié)構(gòu)單胞中，頂點(diǎn)中的一個原子和6個面心中的3個原子（每對對面中取一個）及4個對角原子作為一個基元。最后可構(gòu)成簡單立方晶格。這時基矢：一個單胞中各原子位矢：頂點(diǎn)：面心：對角：因?yàn)槎际峭?/p>

8、原子，故原子散射因子都為f，簡立方布拉菲晶格的倒格矢則結(jié)構(gòu)因子故當(dāng)（1）時，S=0，消光；或當(dāng)（2）時，也有S=0，也消光。為使得（2）成立,需（奇數(shù)）（n為整數(shù)）即即：（b）密勒指數(shù)之和為奇數(shù)的2倍時，消光。為使得（1）成立，需（a）h1、h2、h3不全為奇或不全為偶。（奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)）（1）中左端的3項(xiàng)有2個是-1，能保證（1）式成立）所以當(dāng)：(a)3個密勒指數(shù)不全為奇或不全為偶時，消光；或(b)3個密勒指數(shù)之和為奇數(shù)的2倍時，消光。若（） 密勒指數(shù)為全奇，并且三者之和為即3者之和可被4整除時，能看到衍射線。但因?yàn)槿鏁r，三者之和必為奇數(shù)，故肯定不能被

9、4整除，所以此條件不存在。故只有在下面的條件，能看到衍射線。即僅當(dāng)（）密勒指數(shù)為全偶并且三者之和可被4整除時，方有，才能看到衍射線。8、證明一維NaCl晶體的馬德隆常數(shù)為證明：由馬德隆常數(shù)的定義有其中異號離子取“+”，同號離子取“-”一維NaCl晶體的結(jié)構(gòu)如圖，正負(fù)離子相間排列。最近鄰離子的距離為a。選O點(diǎn)處離子為參考點(diǎn)，其它離子與它的相對距離為由泰勒公式展開（高數(shù)第一冊P161例2）當(dāng)x=1時，有上面的N很大，n大，余項(xiàng)Rn(1)很小，舍去。故有問題得證。9、若離子間的排斥勢用來表示，只考慮最近鄰離子間的排斥作用，試導(dǎo)出離子晶體結(jié)合能的表達(dá)式，并討論參數(shù)和應(yīng)如何決定。解：（1） 一般情況：第

10、j個與第i個離子間的庫侖勢為(同號取“+”，異號取“-”)排斥勢為第j個與第i個的相互作用勢為所有離子對 第i個離子的總相互作用為因?yàn)楸砻骐x子數(shù)相對總數(shù)少，忽略晶體表面離子與內(nèi)部的差異。設(shè)最近鄰離子間距為r，則rij=raj故有晶體內(nèi)離子間總的相互作用為：（此時，中的 “+” 表示異號離子之間， “-”表示 同號離子之間）如果只考慮最近鄰的排斥，且設(shè)有Z個最近鄰離子則是馬德隆常數(shù)。結(jié)合能（2） 平衡時結(jié)合能的表達(dá)式：設(shè)r=r0是平衡時的最近鄰距離。則U（r0）取得極小值。即則有解得平衡時，晶體相互作用能 平衡時結(jié)合能的表達(dá)式（3） 確定參數(shù)和為了能求出和，可建立與宏觀測量量間的關(guān)系，如體彈模量或壓縮系數(shù)。按定義：壓縮系數(shù)表示溫度一定時，加單位壓強(qiáng)時，晶體體積的相對改變量。體彈模量（此由得出。V0是平衡時晶體體積）以類似于NaCl晶體結(jié)構(gòu)為例： 類似于NaCl結(jié)構(gòu)（ ）的晶體都有將代入