實(shí)驗(yàn)四傅立葉光學(xué)的空間頻譜與空間濾波實(shí)驗(yàn)

1、實(shí)驗(yàn)4 傅立葉光學(xué)的空間頻譜與空間濾波實(shí)驗(yàn)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、了解透鏡的傅里葉變換性質(zhì)，加深對(duì)空間頻率、空間頻譜和空間濾波等概念的理解。2、熟悉阿貝成像原理，從信息量的角度理解透鏡孔徑對(duì)分辨率的影響。 3、完成一維空間濾波、二維空間濾波及高通空間濾波。二、實(shí)驗(yàn)原理 1873年阿貝（E.Abbe）首先提出顯微鏡成像原理以及隨后的阿貝波特空間濾波實(shí)驗(yàn)，在傅里葉光學(xué)早期發(fā)展史上做出重要的貢獻(xiàn)。這些實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)單、形象，令人信服，對(duì)相干光成像的機(jī)理及頻譜分析和綜合原理做出深刻的解釋，同時(shí)這種用簡(jiǎn)單的模板作濾波的方法一直延續(xù)至今，在圖像處理技術(shù)中仍然有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。1、二維傅里葉變換和空間頻譜在信息光學(xué)中常用傅

2、里葉變換來(lái)表達(dá)和處理光的成像過(guò)程。設(shè)在物屏X-Y平面上光場(chǎng)的復(fù)振幅分布為g (x，y) ，根據(jù)傅里葉變換特性，可以將這樣一個(gè)空間分布展開(kāi)成一系列二維基元函數(shù)的線性疊加，即 （1）式中fx、fy為x、y方向的空間頻率，即單位長(zhǎng)度內(nèi)振幅起伏的次數(shù)，G (fx，fy)表示原函數(shù)g (x，y)中相應(yīng)于空間頻率為fx、fy的基元函數(shù)的權(quán)重，亦即各種空間頻率的成分占多大的比例，也稱為光場(chǎng)（optical field）g (x，y)的空間頻譜。G (fx、fy)可由g (x，y)的傅里葉變換求得 (2) g(x，y)與G (fx，fy)是一對(duì)傅里葉變換式，G (fx，fy)稱為g(x，y)的傅里葉的變換，g

3、(x，y)是G (fx，fy)的逆變換，它們分別描述了光場(chǎng)的空間分布及光場(chǎng)的頻率分布，這兩種描述是等效的。當(dāng)g(x，y)是空間周期函數(shù)時(shí)，空間頻率是不連續(xù)的。例如空間周期為x0的一維函數(shù)g(x)，即g(x)=g (x+x0)。描述空間周期為x0的一維光柵時(shí)，光柵面上光振幅分布可展成傅里葉級(jí)數(shù) (3)上式中，n0，±1，±2，；f0=1/x0 ，稱為基頻；fn=nf0，是基頻的整數(shù)倍頻，稱為n次諧波的頻率。Gn是g(x)的空間頻率，由傅里葉變換得 (4)2、透鏡的二維傅里葉變換性質(zhì) 在光學(xué)上，透鏡是一個(gè)傅里葉變換器，它具有二維傅里葉變換的本領(lǐng)。理論證明，若在焦距為F的正透鏡L

4、的前焦面（X-Y面）上放一光場(chǎng)振幅透過(guò)率為g(x，y)的物屏，并以波長(zhǎng)為l的相干平行光照射，則在L的后焦面（X¢-Y¢面）上就得到g(x，y)的傅里葉變換，即g(x，y)的頻譜，此即夫瑯禾費(fèi)衍射情況。其空間頻譜 (5)其中空間頻率fx、fy與透鏡像方焦面（頻譜面）上的坐標(biāo)有如下關(guān)系 （6）顯然，就是空間頻率為（）的頻譜項(xiàng)的復(fù)振幅，是物的復(fù)振幅分布的傅里葉變換，這就為函數(shù)的傅里葉變換提供了一種光學(xué)手段，將抽象的函數(shù)演算變成了實(shí)實(shí)在在的物理過(guò)程。由于分別正比于x¢，y¢，所以當(dāng)l、F一定時(shí)，頻譜面上遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于物頻譜中的高頻部分，中心點(diǎn)x¢

5、;=y¢=0，fx=fy=0對(duì)應(yīng)于零頻。3、阿貝成像原理現(xiàn)在我們知道，物體應(yīng)該看成是大量空間信息的集合體，光信息處理涉及的空間信息的頻譜不再是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念，它是展現(xiàn)在透鏡焦平面上的物理實(shí)在。然而當(dāng)初，最先把物體看成是大量空間信息的集合體的是阿貝。1873年，德國(guó)人阿貝在研究顯微鏡設(shè)計(jì)方案時(shí)，提出了空間頻率、空間頻譜及二次衍射成像的概念，并進(jìn)行了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究。他認(rèn)為：在相干光照明下，顯微鏡的成像可分為兩個(gè)步驟。第一步是通過(guò)物的夫瑯禾費(fèi)衍射，在物鏡后焦面上形成一個(gè)衍射圖樣，第二步是這些衍射圖樣發(fā)出的子波相干涉，在像平面上相干迭加形成物的像，通過(guò)目鏡可以觀察到這個(gè)像。圖1是阿貝成像

6、原理示意圖，圖中物G是正弦振幅透射光柵，成像的第一步是光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射。在G上取代表正弦光柵中的某些透光縫A、B、C，由正弦光柵透出的所有方向的光中，經(jīng)計(jì)算知，只有三個(gè)方向的平行光是彼此相長(zhǎng)地相干，會(huì)聚于焦平面F上，形成f+1、f0和f-1。第二步，把這些衍射圖樣f+1、f0和f-1看成是相干的子波源，這三列波在像平面H上相干迭加，就得到正弦光柵的像。ABCLFHA¢B¢C¢平行光圖1 阿貝成像原理YG成像的這兩步驟本質(zhì)上就是兩次傅立葉變換，如果物的振幅分布是g(x,y)，可以證明在物鏡后面焦面，上的光強(qiáng)分布正好是g(x,y)的傅立葉變換。（只要令，為波長(zhǎng)，F(xiàn)為

7、物鏡焦距）。所以第一步驟起的作用就是把一個(gè)光場(chǎng)的空間分布變成為：空間頻率分布；而第二步驟則是又一次傅氏變換將又還原到空間分布。按頻譜分析理論，譜面上的每一點(diǎn)均具有以下四點(diǎn)明確的物理意義： （1）譜面上任一光點(diǎn)對(duì)應(yīng)著物面上的一個(gè)空間頻率成分。 （2）光點(diǎn)離譜面中心的距離，標(biāo)志著物面上該頻率成分的高低，離中心遠(yuǎn)的點(diǎn)代表物面上的高頻成分，反映物的細(xì)節(jié)部分?？拷行牡狞c(diǎn)，代表物面的低頻成分，反映物的粗輪廓。中心亮點(diǎn)是0級(jí)衍射即零頻，反映在像面上呈現(xiàn)均勻背景。 （3）光點(diǎn)的方向，指出物平面上該頻率成分的方向，例如橫向的譜點(diǎn)表示物面有縱向柵縫。 （4）光點(diǎn)的強(qiáng)弱則顯示物面上該頻率成分的幅度大小。由以上定性

8、分析可以看出，阿貝的二次成像理論的第一次衍射是透鏡對(duì)物作空間傅里葉變換，它把物的各種空間頻率和相應(yīng)的振幅一一展現(xiàn)在它的焦平面上。一般情況下，物體透過(guò)率的分布不是簡(jiǎn)單的空間周期函數(shù)，它們具有復(fù)雜的空間頻譜，故透鏡焦平面上的衍射圖樣也是極復(fù)雜的。第二次衍射是指空間頻譜的衍射波在像平面上的相干迭加。如果在第二次衍射中，物體的全部空間頻譜都參與相干迭加成像，則像面與物面完全相似。如果在展現(xiàn)物的空間頻譜的透鏡焦平面上插入某種光學(xué)器件（稱之為空間濾波器），使某些空間頻率成分被濾掉或被改變，則像平面上的像就會(huì)被改變，這就是空間濾波和光學(xué)信息處理的基本思想。 在實(shí)際光學(xué)成像系統(tǒng)中，像和物不可能完全一樣。這是由

9、于透鏡的孔徑是有限的，總有一些衍射角比較大的高次光線（高頻信息）不能進(jìn)入物鏡而被丟掉。所以像的信息總是比物的少些。由于高頻信息主要反映物的細(xì)節(jié)，因此，無(wú)論顯微鏡有多大的放大倍數(shù)，也不可能在像面上分辨出這些細(xì)節(jié)。這是限制顯微鏡分辨本領(lǐng)的根本原因。當(dāng)物鏡孔徑極其小時(shí)，有可能只有零級(jí)衍射通過(guò)物鏡，這時(shí)像面上有亮的均勻背景而無(wú)像分布。4、空間濾波和光信息處理 光信息處理是通過(guò)空間濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)的，所謂空間濾波器是指在圖1中透鏡的后焦平面上放置某種光學(xué)元件來(lái)改造或選取所需要的信息，以實(shí)現(xiàn)光信息處理。這種光學(xué)器件稱為空間濾波器。（b）高通（c）帶通（d）方向（a）低通圖 2 空間濾波器圖2給出了幾種常用的空

10、間濾波器。（a）低通濾波：目的是濾去高頻成分，保留低頻成分。由于低頻成分集中在譜面的光軸（中心）附近，高頻成分落在遠(yuǎn)離中心的地方，經(jīng)低通濾波后圖像的精細(xì)結(jié)構(gòu)將消失，黑白突變處也變得模糊。（b）高通濾波：目的是濾去低頻成分而讓高頻成分通過(guò)，其結(jié)果正好與低通濾波相反，使物的細(xì)節(jié)及邊緣清晰。（c）帶通濾波：根據(jù)需要，有選擇的濾掉某些頻率成分。（d）方向?yàn)V波：只讓某一方向，例如縱向的頻率成分通過(guò)，則像面上將突出了物的橫向線條。(a)(b)(e)(f)圖3 空間濾波器及空間濾波(c)(d)假如用一塊二維矩形光柵作為物，二維矩形光柵的空間結(jié)構(gòu)分布如圖3（a），將其放在圖1的G處，由于它的振幅透射率是二維周

11、期函數(shù)，因此它的空間頻譜也應(yīng)該是二維的，用fx，fy表示。當(dāng)用平行光照射二維矩形光柵時(shí)，在圖1中透鏡的焦平面F上將顯示出二維光柵的頻譜，如圖3（b）。假如用一塊有狹縫的屏作空間濾波器，將狹縫沿Y軸豎直放置在圖1中的F面上，它將擋掉圖3（b）中所有的fx，僅保留fy，如圖3（c），此時(shí)在像平面H上的像將如圖3（d）所示。若用類(lèi)似于圖3（d）的一維光柵代替二維光柵放在圖1的G處，則在圖1的F和H面上也得到上述同樣的像。這就是說(shuō)，圖3（c）中的這條狹縫把二維光柵的像處理成一維光柵的像了。若將狹縫水平放置，它將濾掉圖3（b）中所有的fy，透鏡的焦平面F上保留的頻譜和像平面H上成的像將如圖3（e）所示。

12、如果讓狹縫45°傾斜地放置在F面上，那么透鏡的焦平面F上保留的頻譜和像平面H上成的像將如圖3（f）所示。這表明用一條狹縫作濾波器，當(dāng)其取向不同時(shí)，可將二維光柵的物處理成上述各種方位的一維光柵的像。以上是采用濾波器進(jìn)行光信息處理的最簡(jiǎn)單的實(shí)例，這類(lèi)濾波器從物體的全部空間信息中選出所需要的部分，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)物體信息的處理，獲得由物體的部分空間信息所構(gòu)成的像。三、實(shí)驗(yàn)儀器光學(xué)導(dǎo)軌，He-Ne激光器，薄透鏡若干，濾波器（方向，低通各一），光柵（正交），網(wǎng)格字，白屏，毛玻璃，直尺。四、實(shí)驗(yàn)步驟與內(nèi)容1共軸光路調(diào)節(jié)(1) 在光具座上將小圓孔光闌靠近激光管的輸出端，上、下、左、右調(diào)節(jié)激光管，使激光束

13、能穿過(guò)小孔；然后移遠(yuǎn)小孔，如光束偏離光闌，調(diào)節(jié)激光管的仰俯，再使激光束能穿過(guò)小孔，重新將光闌移近，反復(fù)調(diào)節(jié)，直至小孔光闌在光具座上平移時(shí)，激光束均能通過(guò)小孔光闌。記錄下激光束在光屏上的照射點(diǎn)位置。(2)調(diào)整個(gè)器件高度，使激光器、顯微物鏡（擴(kuò)束鏡）、準(zhǔn)直透鏡、正交光柵、雙凸透鏡處于同一水平高度。(在做以后的實(shí)驗(yàn)時(shí)，都要用透鏡，調(diào)平激光管后，激光束直接打在屏Q上的位置為O，在加入透鏡L后，如激光束正好射在L的光心上，則在屏Q上的光斑以O(shè)為中心，如果光斑不以O(shè)為中心，則需調(diào)節(jié)L的高低及左右，直到經(jīng)過(guò)L的光束不改變方向(即仍打在O上)為止；此時(shí)在激光束處再設(shè)帶有圓孔P的光屏，從L前后兩個(gè)表面反射回去的

14、光束回到此P上，如二個(gè)光斑套準(zhǔn)并正好以P為中心，則說(shuō)明L的光軸正好就在P、O連線上。不然就要調(diào)整L的取向。如光路中有幾個(gè)透鏡，先調(diào)離激光器最遠(yuǎn)的透鏡，再逐個(gè)由遠(yuǎn)及近加入其他透鏡，每次都保持兩個(gè)反射光斑套準(zhǔn)在P上，透射光斑以O(shè)為中心，則光路就一直保持共軸。)(3)調(diào)整準(zhǔn)直透鏡與顯微物鏡（擴(kuò)束鏡）之間的距離，使用白屏觀察準(zhǔn)直后的光斑，光斑在近處和遠(yuǎn)處直徑大致相等（一般以圖像的直徑為38.5mm左右為宜）。注：此時(shí)應(yīng)將顯微物鏡小口徑端作為激光入射方向。準(zhǔn)直透鏡L2擴(kuò)束鏡L1濾波器L3：變換透鏡G：正交光柵激光器圖42解釋阿貝成像原理實(shí)驗(yàn)（波特實(shí)驗(yàn)） (1) 按圖1-2布置光路。用HeNe激光器發(fā)出的

15、一束平行光垂直照射光柵，G是空間頻率為每毫米幾十條的二維的正交光柵，在實(shí)驗(yàn)中作為物。L是焦距為150mm的透鏡，移動(dòng)白屏使正交光柵在白屏上成放大的像。(2) 調(diào)節(jié)光柵，使像上條紋分別處于垂直和水平的位置。這時(shí)在透鏡后焦面上觀察到二維的分立光點(diǎn)陣，這就是正交光柵的夫瑯和費(fèi)衍射(即正交光柵的傅里葉頻譜)，而在像平面上則看到正交光柵的放大像(如圖5(a)。圖5解釋阿貝成像原理實(shí)驗(yàn)光路及實(shí)驗(yàn)圖像(3) 如在F面上設(shè)小孔光闌，只讓一個(gè)光點(diǎn)通過(guò)，則輸出面上僅有一片光亮而無(wú)條紋(如圖5(b)。換句話說(shuō)，零級(jí)相應(yīng)于直流分量，也可理解為函數(shù)的傅里葉變換為1。(4) 換用方向?yàn)V波器作空間濾波器放在F面上，狹縫處于

16、豎直方位時(shí)，S屏上豎條紋全被濾去，只剩橫條紋；當(dāng)然橫條紋也可看作幾個(gè)豎直方向上點(diǎn)源發(fā)出光波的干涉條紋(如圖5(c,d)。把狹縫轉(zhuǎn)到水平方向觀察S屏上條紋取向，并加以解釋。(5) 再將方向?yàn)V波器轉(zhuǎn)45°角(如圖1-2(e)。此時(shí)觀察到像平面上條紋是怎樣的?條紋的寬度有什么變化?3計(jì)算空間頻率（1）把二維正交光柵換成一維光柵，用白屏在L3的后焦面附近緩慢移動(dòng)，確定頻譜光點(diǎn)最清晰的位置，鎖定白屏，察正交光柵的像的構(gòu)成。（2）在L3后焦面（頻譜面）處放置可變圓孔光闌，擋去0級(jí)以外的各點(diǎn)，觀察像面上有無(wú)光柵條紋。調(diào)節(jié)光闌，使0級(jí)和±1級(jí)通過(guò)，觀察像面上的光柵條紋像，再把光闌拿開(kāi)，讓更

17、高級(jí)次的衍射都能通過(guò)，再觀察像面上的光柵條紋像，試看這兩種情況的光柵條紋像的寬度有無(wú)變化。（3）把白屏放在頻譜面上，測(cè)量出0級(jí)與+1、+2級(jí)或-1、-2級(jí)衍射極大位置的寬度d1、d2，計(jì)算1級(jí)光點(diǎn)、2級(jí)光點(diǎn)的空間頻率：1級(jí)光點(diǎn)的空間頻率 2級(jí)光點(diǎn)的空間頻率 其中為所用激光光波波長(zhǎng)（632.8nm）；為變換透鏡的焦距。4空間濾波實(shí)驗(yàn)由無(wú)線電傳真所得到的照片是由許多有規(guī)律地排列的像元所組成，如果用放大鏡仔細(xì)觀察，就可看到這些像元的結(jié)構(gòu)，能否去掉這些分立的像元而獲得原來(lái)的圖像呢？由于像元比像要小得多，它具有更高的空間頻率，因而這就成為一個(gè)高頻濾波的問(wèn)題。下面的實(shí)驗(yàn)可以顯示這樣一種空間濾波的可能性。前

18、述實(shí)驗(yàn)中狹縫起的是方向?yàn)V波器的作用，可以濾去圖像中某個(gè)方向的結(jié)構(gòu)，而圓孔可作低通濾波器，濾去圖像中的高頻成分，只讓低頻成分通過(guò)。(1) 按圖6布置好光路。用顯微物鏡和準(zhǔn)直透鏡L1組成平行光系統(tǒng)。以擴(kuò)展后的平行激光束照明物體，以透鏡L2將此物成像于較遠(yuǎn)處的屏上，物使用帶有網(wǎng)格的網(wǎng)格字（中央透光的“光”字和細(xì)網(wǎng)格的疊加），則在屏Q上出現(xiàn)清晰的放大像，能看清字及其網(wǎng)格結(jié)構(gòu)（圖7）。由于網(wǎng)格為周期性的空間函數(shù)，它們的頻譜是有規(guī)律排列的分立的點(diǎn)陣，而字跡是一個(gè)非周期性的低頻信號(hào)，它的頻譜就是連續(xù)的。實(shí)驗(yàn)參考光路：圖1-3空間濾波實(shí)驗(yàn)光路圖圖1-4 網(wǎng)格字成像放大圖(2) 將一個(gè)可變圓孔光闌放在L的第二焦平面上，逐步縮小光闌，直到除了光軸上一個(gè)光點(diǎn)以外，其它分立光點(diǎn)均被擋住，此時(shí)像上不再有網(wǎng)格，但字跡仍然保留下來(lái)。試從空間濾波的概念上解釋上述現(xiàn)象。(3) 把小圓孔移到中央以外的亮點(diǎn)上，在Q屏上仍能看到不帶網(wǎng)格的“光”字，只是較暗淡一些，這說(shuō)明當(dāng)物為“光”與網(wǎng)格的乘積時(shí)，其傅里葉譜是“光”的譜與網(wǎng)格的譜的卷積，因此每個(gè)亮點(diǎn)周?chē)际恰肮狻钡淖V，再作傅里葉變換就還原成“光”字，演示了傅里葉變換的乘積定理。五、實(shí)驗(yàn)要求1、阿貝成像實(shí)驗(yàn)的光路調(diào)整：（1) 用L1和L2組成擴(kuò)束器，以其出射的平行光束垂直地射在鉛直方向的光柵上。（2) 在離光柵（物）2 m以外放置白屏，前后移動(dòng)變換透鏡，在屏