實數(shù)所有知識點歸納和專項練習(xí)

1、第六章 實數(shù)回顧知識：1.判斷題(1)0.01是0.1的平方根.( )(2)52的平方根為5. （ ）(3)0和負(fù)數(shù)沒有平方根. （ ）(4)因為的平方根是±,所以=±. （ ）（5）正數(shù)的平方根有兩個，它們是互為相反數(shù). （ ）2.選擇題（1）下列各數(shù)中沒有平方根的數(shù)是（ ）A.(2)3B.33C.a0D.（a2+1）(2)等于（ ）A.aB.aC.±aD.以上答案都不對（3）如果a(a0)的平方根是±m，那么（ ）A.a2=±mB.a=±m2C.=±mD.±=±m(4)若正方形的邊長是a,面積為S，那

2、么（ ）A.S的平方根是aB.a是S的算術(shù)平方根C.a=±D.S= 3.填空題（1）若9x249=0,則x=_.(2)若有意義，則x范圍是_.(3)已知x4+=0,那么x=_,y=_.(4)如果a0,那么=_,()2=_.6.3實數(shù)一.無理數(shù) 1. 無理數(shù)的概念無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)說明：有理數(shù)是指有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)包括：（1）開方開不盡的數(shù)，如；（2）有特定意義的數(shù)，如，及含的數(shù)；（3）有一定結(jié)構(gòu)的無限小數(shù)，如，0.080080008；（4）無限不循環(huán)小數(shù)一個有理數(shù)a 與一個無理數(shù)b進(jìn)行四則運算時，ab，a-b，都是無理數(shù)，當(dāng)a0時，ab，都是無理數(shù)，當(dāng)a0時，ab

3、，都是有理數(shù)。2. 無理數(shù)的特征（1）無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限（2）無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式3. 小數(shù)的分類4. 確定中的正數(shù)x的近似值的方法（1）確定正數(shù)x的整數(shù)部分。根據(jù)平方的定義，把x夾在兩個連續(xù)的正整數(shù)之間，確定其整數(shù)部分，例如：求中的正數(shù)x的整數(shù)部分。因為，即，所以，因此小數(shù)部分為2。（2）確定x的小數(shù)部分十分位上的數(shù)字。將這兩個整數(shù)平方和的平均數(shù)與a比較，預(yù)測十分位上數(shù)字的取值范圍，如兩個整數(shù)2和3的平方和的平均數(shù)為所以x的十分位上的數(shù)字一定比3小，不妨設(shè) x2.2。設(shè)誤差為k（k必為一個純小數(shù)，且k可能為負(fù)數(shù)），則x2.2k。所以（2.2k）25，所以4.84

4、4.4k k25，由于k是小數(shù)，所以k2很小，把它舍去，所以4.844.4k5，所以k0.036，所以x2.2k2.20.0362.236注意：實際估算中，整數(shù)部分的數(shù)字容易估計，十分位上的數(shù)字可以采用試驗的方法進(jìn)行估計，即所以4.84<5<5.29。所以所以，所以十分位上的數(shù)字為2。二. 平方根1. 算術(shù)平方根（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，特別地，的算術(shù)平方根是0。（2）算術(shù)平方根的表示方法：非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根記作“”或“”，讀作“根號a”，其中符號讀作“二次根號”，a叫做被開方數(shù)，2叫做根指數(shù)，通常省略不寫

5、。 例如：4216，16的算術(shù)平方根是4，即。（3）算術(shù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)a的算術(shù)平方根為，0的算術(shù)平方根是0，即0，（3）負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根。（4）算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)數(shù)：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即a0，算術(shù)平方根本身是非負(fù)數(shù)，即0。（5）理解算術(shù)平方根要注意的三點：算術(shù)平方根與平方根的相同點是它們的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)，零的平方根與算術(shù)平方根都是零。不同點是：任何正實數(shù)的平方根都有兩個，這兩個平方根互為相反數(shù)，但是任何正實數(shù)的算術(shù)平方根只有一個，是正實數(shù)平方根中的正值。當(dāng)二次方根被開方數(shù)是含有字母的代數(shù)式時，它是否有意義，則需看被開方數(shù)是否非負(fù)。2. 平方根（1）平方根的概念：一般地，如果一

6、個數(shù)x的平方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（也叫做二次根式）。（2）平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)a有兩個平方根，一個是a的算術(shù)平方根“”，另一個是“”，它們互為相反數(shù)，合起來記作“”，讀作“正，負(fù)根號a”，例如：5的平方根是；的平方根是；負(fù)數(shù)沒有平方根。3. 開平方求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方，其中a叫做被開平方。如：因為，所以說明：由于開平方與平方互為逆運算，因此我們可以利用平方運算來求一個數(shù)的平方根或算術(shù)平方根，也常用平方運算檢驗所求得的平方根是否正確，注意被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)。4. 平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系（1）區(qū)別：定義不同；個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)

7、，而一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個；表示方法不同：正數(shù)a的平方根表示為，正數(shù)a的算術(shù)平方根表示為；取值范圍不同：正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)，正數(shù)的平方根是一正、一負(fù)。（2）聯(lián)系：具有包含關(guān)系：平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中的正的那個；存在條件相同：平方根和算術(shù)平方根都只有非負(fù)數(shù)才有；0的平方根與算術(shù)平方根都是0。5. 兩個重要的性質(zhì)（1），即當(dāng)時，當(dāng)時，（2）6、理解平方根要把握以下三點：零才有平方根，負(fù)數(shù)沒有平方根。（2）非零的兩個數(shù)互為相反數(shù)時，它們的平方是同一個正數(shù)，因此一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)。零的平方根是零。（3）平方與開平方互為逆運算，因此，可以用平方運算來

8、求一個數(shù)的平方根，也可以用平方運算來檢驗一個數(shù)是不是另一個數(shù)的平方根。 三. 立方根1、立方根的概念（1）. 一般的，如果一個數(shù)x的立方等于a，即，那么這個數(shù)就叫做a的立方根（也叫三次方根）。（2）. 立方根的性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0。（3.） 立方根的表示方法：每個數(shù)都只有一個立方根，用符號“”表示，讀作“三次根號a”，其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù)，要注意這里的根指數(shù)不能省略。（4）. 兩個互為相反數(shù)的立方根之間的關(guān)系：根據(jù)立方根的定義可知，若，則，因為，即，也就是說，求一個負(fù)數(shù)的立方根時，只要先求出這個負(fù)數(shù)的絕對值的立方根，然后再取它的相反數(shù)即可，即三次

9、根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。2、開立方求一個數(shù)a的立方根的運算叫做開立方。開立方與立方互為逆運算。例如把64開立方，就是要求64的立方根，那么什么數(shù)的立方等于64呢，因為，所以64的立方根是4，即。3、 立方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系（1） 區(qū)別：（1）用根號表示平方根時，根指數(shù)是2可以省略，而用根號表示立方根時，根指數(shù)3不能省略。（2）平方根只有非負(fù)數(shù)才有，而立方根任何數(shù)都有，且每個數(shù)都只有一個立方根，如沒有平方根，但有立方根。（3）正數(shù)的平方根有兩個，而正數(shù)的立方根只有一個，如2的平方根是，而立方根只有。（2）. 聯(lián)系：（1）都與相應(yīng)的乘方運算互為逆運算。（2）都可以歸結(jié)為非負(fù)數(shù)的非負(fù)方根來

10、研究，平方根主要通過算術(shù)平方根來研究，而負(fù)數(shù)的立方根也可轉(zhuǎn)化為正數(shù)的立方根來研究，即。（3）0的立方根和平方根都是0。4. 立方根中小數(shù)點的移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點每移動三位，立方根的小數(shù)點就向相同方向移動一位。如：，則。5. 兩個重要的性質(zhì)（1），如（2），如四. 確定無理數(shù)近似值的方法（估算法）1. 當(dāng)被開方數(shù)在1至1000以內(nèi)，可用乘方與開方為互逆運算來確定無理數(shù)的整數(shù)部分，然后根據(jù)所要求的誤差大小確定小數(shù)部分。2. 當(dāng)被開方數(shù)是正的純小數(shù)或比1000大時，利用方根與被開方數(shù)的小數(shù)點之間的規(guī)律，移動小數(shù)點的位置，將其轉(zhuǎn)化到被開方數(shù)1至1000以內(nèi)進(jìn)行估算，即平方根中的被開方數(shù)的小數(shù)點向右

11、（或向左）每移動2n位，其結(jié)果的小數(shù)點向右（或向左）移動n位，立方根中的被開方數(shù)的小數(shù)點向右（或向左）移動3n位，其結(jié)果的小數(shù)點向右（或向左）移動n位。五. 無理數(shù)大小比較的常見方法1. 估算法：例如：比較與的大小，因為，所以，所以。2. 求差法若，則，若，則。3. 平方法把含有根號的兩個無理數(shù)同時開方，根據(jù)平方后的大小進(jìn)行比較，例如：和的大小，因為，所以4. 移動因式法當(dāng)，時，若，則，因此可以把根號外的因式移到根號內(nèi)。六、實數(shù)1：實數(shù)（1）實數(shù)的概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。（2）實數(shù)的分類：按實數(shù)的性質(zhì)符號分類：實數(shù)可分為正實數(shù)、零、負(fù)實數(shù)。按定義分類：實數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)。 (3)

12、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：（a）無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，而有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。（b）一切有理數(shù)都可以表示成分?jǐn)?shù)。 無理數(shù)不可以表示成分?jǐn)?shù)。聯(lián)系：（a）無理數(shù)和有理數(shù)都是實數(shù)。 （b）無理數(shù)與有理數(shù)在運算中可以互相轉(zhuǎn)化。2：實數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)（1）有關(guān)概念 實數(shù)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的意義與有理數(shù)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的意義是相同的，即有理數(shù)中的概念在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用。相反數(shù)：a與a 表示任意一對相反數(shù)，如 與互為相反數(shù)。倒數(shù)：如果a表示一個非零數(shù)，那么a與互為倒數(shù)（a0），如與互為倒數(shù)。（2）有關(guān)性質(zhì)與 b 互為相反數(shù)a+b=0與 b 互為倒數(shù)ab=1互為相反數(shù)的兩個數(shù)的

13、絕對值相等，即正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，零沒有倒數(shù)3：實數(shù)和數(shù)軸上的點的一一對應(yīng)關(guān)系數(shù)軸上的每一個點都可以用一個實數(shù)來表示；反過來，每一個實數(shù)都可以在數(shù)軸上找到表示它的點。4：實數(shù)大小的比較有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用。在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)絕對值大的反而小。 可根據(jù)有理數(shù)大小的比較法則和不等式的性質(zhì)等方法比較實數(shù)的大小。對于二次根式的大小的比較，可根據(jù)前面老師的講座中所介紹的方法如：作差法、作商法、平方法、倒數(shù)法等進(jìn)行比較。5：實數(shù)的運算法則和運算律有理數(shù)的運算法則和運算律同樣適用于實數(shù)，包括運

14、算順序。實數(shù)有加、減、乘、除、乘方、開方等運算，混合運算的順序是先乘方、開方，再乘除，最后加減，同級運算按照從左到右的順序進(jìn)行，有括號要先算括號里的。6：無理數(shù)的乘法、除法法則及計算（1），（2），（3）最簡無理數(shù)必須同時滿足下列條件：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)；分母中不含根號。注意：無理數(shù)的計算結(jié)果必須是最簡無理數(shù)，如，7：實數(shù)中的非負(fù)數(shù)的四種形式及性質(zhì)（1）形式：；中，。（2）性質(zhì)：非負(fù)數(shù)有最小值零；有限個非負(fù)數(shù)之和仍然是非負(fù)數(shù)；若幾個非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個非負(fù)數(shù)都等于0。8：實數(shù)中的無理數(shù)的常見類型（1）所有開不盡的方根，如。（2）圓周率及含有的數(shù)。如3。（3

15、）看似循環(huán)，但實質(zhì)上不循環(huán)的無限小數(shù)。如：0.3，0.1010010001。注意：帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如是有理數(shù)；不帶根號的數(shù)也可能是無理數(shù)，如等。9：分母有理化將分母中的二次根式化去，叫做分母有理化。兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘。如果它們的積不含有二次根式。我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。如與，與互為有理化因式，分母有理化時，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法，例如，又如，一般的，與互為有理化因式，與互為有理化因式，與互為有理化因式。注意：（1）與不是互為有理化因式。（2）有理化因式不唯一，如與互為有理化因式，與也互為有理化因式。七. 解題方法指導(dǎo)：（一）關(guān)于平方根與算術(shù)平

16、方根常用的解題方法有： 1. 配方法：在含有字母的代數(shù)式或比較復(fù)雜的數(shù)字式進(jìn)行開平方時，適當(dāng)添項、拆項后，使原來多項式中一部分配成完全平方式，使問題得以簡化。 2. 特殊值法：對某些數(shù)字問題，如果先對其特殊情況進(jìn)行分析，往往可以發(fā)現(xiàn)解決的方法，在關(guān)于平方根的題目中尤其是對含有未知數(shù)的代數(shù)式，根據(jù)題設(shè)條件取一些特殊值，從而求解。常取的特殊值有0、1等值。 3. 運用二次方根被開方數(shù)與算術(shù)平方根的非負(fù)性（2）若有限個非負(fù)數(shù)的和為零，則這些非負(fù)數(shù)均為零。（二）關(guān)于立方根常用的解題方法 1. 利用立方根本身的性質(zhì)求解。 2. 配方化簡：將要開立方的代數(shù)式配成立方形式，便可化簡求解。 3. 特殊值法：對

17、含有未知數(shù)的代數(shù)式開立方的題目，有時可用到取特殊值的方法，如將未知數(shù)取0或1等等來進(jìn)行分析、比較從而求解。 4. 利用開立方運算與立方運算互為逆運算的關(guān)系進(jìn)行解題。（三）關(guān)于實數(shù)常用的解題方法 1. 利用非負(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)來解題：（1）幾類常見的非負(fù)數(shù)有：一個實數(shù)的偶次冪、實數(shù)的絕對值、算術(shù)根、數(shù)軸上原點和原點右邊的點所表示的數(shù)。（2）非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：（a）有限個非負(fù)數(shù)的和與積仍是非負(fù)數(shù)。（b）若有限個非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個加數(shù)都必須是零。（c）最小的非負(fù)數(shù)是零。（d）沒有最大的非負(fù)數(shù)。（e）非負(fù)數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。 2. 對一個數(shù)是有理數(shù)的證明：常證這個數(shù)能表示成幾個有理數(shù)的和、差、積、商形式。

18、 3. 要證一個數(shù)是無理數(shù)常用反證法，即假設(shè)這個數(shù)是有理數(shù)，再推出矛盾。 4. 利用逆向思維的方式：從要求或要證的結(jié)果入手，溯源求解，其中可采用各種轉(zhuǎn)換方法，如等量代換、配方法、參數(shù)法等。八、知識拓展 1. n次方根的概念：平方根與立方根是最基本的偶次方根與奇次方根。 2. n次方根的性質(zhì)：（1）正數(shù)的偶次方根有兩個，它們互為相反數(shù)。（2）負(fù)數(shù)沒有偶次方根。（3）正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)。（4）負(fù)數(shù)的奇次方根是一個負(fù)數(shù)。（5）零的n次方根是零。實數(shù)專題訓(xùn)練一、填空題：、2 的倒數(shù)是。、4 的平方根是。、27 的立方根是。、2 的絕對值是。、2004年我國外匯儲備3275.34億美元，用科學(xué)記數(shù)

19、法表示為億美元。、比較大?。?。、近似數(shù)0.020精確到位，它有個有效數(shù)字。、若 n 為自然數(shù)，那么(1)2n(1)2n1。、若實數(shù) a、b 滿足|a2|( b)20，則 ab。10、在數(shù)軸上表示 a 的點到原點的距離為 3，則 a3。11、已知一個矩形的長為 3cm，寬為 2cm，試估算它的對角線長為。（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）12、羅馬數(shù)字共有 7 個：I（表示 1），V（表示 5），X（表示 10），L（表示 50），C（表示 100），D（表示 500），M（表示 1000），這些數(shù)字不論位置怎樣變化，所表示的數(shù)目都是不變的，其計數(shù)方法是用“累積符號”和“前減后加”的原則來計數(shù)的：如IX1019，VI516，CD500100400，則XL，XI。二、選擇題：（每題 4 分，共 24 分）、下列各數(shù)中是負(fù)數(shù)的是（）A、(3)B、(3)2C、(2)3D、|2|、在，3.14，sin30°，0 各數(shù)中，無理數(shù)有（）A、2 個B、3 個C、4 個D、5 個、絕對值大于 1 小于 4 的整數(shù)的和是（）A、0B、5C、5D、10、下列命題中正確的個數(shù)有（）實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù) aaa121的平方根是 ±11在實數(shù)范圍內(nèi)，非負(fù)數(shù)一定是正數(shù)兩個無理數(shù)之和一定是無理數(shù)A、1 個B、2