定積分及其應(yīng)用習(xí)題課

1、定積分及其應(yīng)用習(xí)題課1求極限：；2設(shè)為上的非負(fù)單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，又是它的反函數(shù)，試用定積分的幾何意義證明：。3設(shè)為上的單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，又 是它的反函數(shù)，試用定積分的幾何意義說明：對任意的，總有 ，并進(jìn)一步說明等號成立的條件。4設(shè)在恒正，將下列積分值按大小順序排列： ，。5計(jì)算。 6計(jì)算 。 7設(shè)，求。8設(shè)，求。9設(shè)及其反函數(shù)都可微且有關(guān)系式 ，求。10求多項(xiàng)式 f (x) 使它滿足方程。11設(shè)，其中，求。 廣義積分中值定理：設(shè)在 連續(xù)，在可積并且不變號，則在上至少存在一點(diǎn)，使得：。12證明下面極限： （1）； （2）。 13設(shè)在上連續(xù)，且，求證：14證明恒等式：。15. 設(shè)在上連續(xù)，且單

2、調(diào)增加，試證明對任何，皆有。16設(shè)在連續(xù)，證明 ，其中 。17設(shè)在連續(xù)，在可導(dǎo)，且，證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。18設(shè)在可微，且滿足，證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。19設(shè)在可微，且滿足，證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。20設(shè)在連續(xù)，在可微，且滿足，證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。21設(shè)在上連續(xù)，且，試證：至少存在一點(diǎn)，使得22設(shè)函數(shù) f (x) 在a, b 上連續(xù),在(a, b) 內(nèi)可導(dǎo), 且 ，若存在，證明：（1）在(a, b) 內(nèi) f (x) 0 ； (2) 在(a, b) 內(nèi)存在點(diǎn), 使 ；（3）在(a, b) 內(nèi)存在與相異的點(diǎn)，使 。23設(shè)在上連續(xù)，證明：是周期為的函數(shù)的充分必要條件為：積分值與

3、無關(guān)。24試確定常數(shù)的值，使反常積分收斂，并求出積分值。25. 在區(qū)間上求一點(diǎn)，使曲線與，及所圍圖形面積最小。26設(shè)在上連續(xù)，且嚴(yán)格增加，證明在內(nèi)存在一點(diǎn)，使曲線 與兩直線所圍圖形的面積是曲線與兩直線所圍圖形的面積的三倍。27設(shè)平面圖形由與 所確定，求圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。28證明曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為29半徑為 R , 密度為的球沉入深為 H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密度，現(xiàn)將其從水池中取出, 需做多少功 ? 30為清除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底, 抓起污泥后提出井口，已知井深30 m ，抓斗自重400N ，纜繩每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度為3m /s，在提升過程中污泥以20N /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉，現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口, 問克服重力需作多