導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元復(fù)習(xí)與鞏固 2

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元復(fù)習(xí)與鞏固知識網(wǎng)絡(luò) 目標認知考試大綱要求： 1了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一 點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)數(shù)的概念.2熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則；3掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極大值、極小值，及求閉區(qū)間上函數(shù) 的最大值、最小值.對多項式函數(shù)一般不超過三次. 5了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法，了解定積分的概念和幾何意義.直觀了解微積分 基本定理的含義,并能用定理計算簡單的定積分.6應(yīng)用

2、定積分解決平面圖形的面積、變速直線運動的路程和變力作功等問題.重點： 導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義；用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極大值、極小值，及求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值；正確計算定積分，利用定積分求面積.難點： 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性時有關(guān)字母討論的問題；有關(guān)函數(shù)最值的實際應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)；將實際問題化歸為定積分問題.學(xué)習(xí)策略： 導(dǎo)數(shù)是在函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的研究變量的一門科學(xué)，它為有效地解決一些傳統(tǒng)的初等函數(shù)問題提供了一般的方法，如求曲線的切線方程，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值與最值以及有關(guān)的實際問題等，在具體問題中，應(yīng)根據(jù)問題的具體條件適當選用方法。知識要點梳理知識點一： 導(dǎo)數(shù)的相關(guān)

3、概念1導(dǎo)數(shù)的定義： 對函數(shù)，在點處給自變量x以增量x，函數(shù)y相應(yīng)有增量.若極限存在，則此極限稱為在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作或，此時也稱在點x0處可導(dǎo).即：（或）注意：增量x可以是正數(shù)，也可以是負數(shù).2導(dǎo)函數(shù)： 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導(dǎo)數(shù)，此時對于每一個，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù), 稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，注意：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 過曲線y=f(x)上任意一點(x,y)的切線的斜率就是f(x)在x處的導(dǎo)數(shù)，即.也就是說，曲線y=f(x)在點P(x0, f(x

4、0)處的切線的斜率是，切線方程為.知識點二：導(dǎo)數(shù)的運算1常見基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），（3），（4），（5），（6），（7），（8），2函數(shù)四則運算求導(dǎo)法則設(shè)，均可導(dǎo)（1）和差的導(dǎo)數(shù)：（2）積的導(dǎo)數(shù)：（3）商的導(dǎo)數(shù)：（）3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地，復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)，即或知識點三：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則當時，y=f(x)在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)；當時，y=f(x) 在相應(yīng)區(qū)間上為減函數(shù)；當恒有時，y=f(x)在相應(yīng)區(qū)間上為常數(shù)函數(shù).注意：在區(qū)間(a,b)內(nèi)

5、，是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件！2、函數(shù)的極值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義，(1)如果對于x0附近的所有點，都有：f(x)<f(x0)，稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個極大值，記作 y極大值=f(x0)；(2)如果對于x0附近的所有點，都有：f(x)>f(x0)，稱f(x0)為函數(shù)f(x)的個極小值，記作 y極小值=f(x0).注意：極大值與極小值統(tǒng)稱極值.在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值.3、函數(shù)的最值函數(shù)的最值表示函數(shù)在定義域內(nèi)值的整體情況.連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上必有一個最大值和一個最小值

6、，但是最值點可以不唯一；但在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值和最小值.注意：最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系：函數(shù)最大值和最小值是比較整個定義域上的函數(shù)值得出的，是整個定義區(qū)間上的一個概念，而函數(shù)的極值則是比較極值點附近兩側(cè)的函數(shù)值而得出的，是局部的概念；極值可以有多個，最大(小)值若存在只有一個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，不能在區(qū)間端點取得；而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點.有極值的函數(shù)不一定有最值，有最值的函數(shù)未必有極值，極值可能成為最值.知識點四：定積分1定積分的概念如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間分為n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點（i=1,2,3,n

7、），作和式，當時，上述和式無限趨近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做在區(qū)間上的定積分.記作.即，這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.說明：（1）定積分的值是一個常數(shù)，可正、可負、可為零；（2）用定義求定積分的四個基本步驟：分割；近似代替；求和；取極限.2定積分的幾何意義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).在上，當時，定積分在幾何上表示由曲線以及直線與軸圍成的曲邊梯形的面積；在上，當時，定積分在幾何上表示由曲線以及直線與軸圍成的曲邊梯形面積的負值； 在上，當既取正值又取負值時，曲線的某些部分在軸的上方，而其他部分在軸下方，如果我們將在軸上方的圖形的面

8、積賦予正號，在軸下方的圖形的面積賦予負號；在一般情形下，定積分的幾何意義是曲線，兩條直線與軸所圍成的各部分面積的代數(shù)和.3定積分的性質(zhì)（1）（為常數(shù)），（2），（3）（其中），（4）利用函數(shù)的奇偶性求積分： 若函數(shù)在區(qū)間上是奇函數(shù)，則； 若函數(shù)在區(qū)間上是偶函數(shù)，則.（5）基本公式：，知識點五：微積分基本定理微積分基本定理（或牛頓萊布尼茲公式）:如果在上連續(xù)，且，則。其中叫做的一個原函數(shù).注意：求定積分主要是要找到被積函數(shù)的原函數(shù)，也就是說，要找到一個函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù).由此，求導(dǎo)運算與求原函數(shù)運算互為逆運算.由于也是的原函數(shù)，其中c為常數(shù).知識點六：定積分的應(yīng)用1應(yīng)用定積分求曲邊梯形

9、的面積（1）如圖，由三條直線，軸及一條曲線()圍成的曲邊梯 形的面積為S,則；（2）如圖，由三條直線，軸及一條曲線()圍成的曲邊梯 形的面積為S,則；（3）如圖，由曲線及直線，圍成圖形的 面積為S,則.2利用定積分解決物力問題變速直線運動的路程作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程，等于其速度函數(shù)在時間區(qū)間上的定積分，即.變力作功物體在變力的作用下做直線運動，并且物體沿著與相同的方向從移動到，那么變力所作的功.規(guī)律方法指導(dǎo)1、求曲線y=f(x)在點P(x0, f(x0)處的切線方程（1）求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)；（2）利用直線的點斜式得切線方程.注意：求切線方程，首先要判斷所給點是否在曲線上.若在曲線上，

10、可用上法求解；若不在曲線上，可設(shè)出切點，寫出切線方程，結(jié)合已知條件求出切點坐標，從而得方程.2、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)在定義域內(nèi)解不等式；(4)確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.3、求函數(shù)的極值的基本步驟確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；求方程的根；檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，則f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，則f(x)在這個根處取得極小值. (最好通過列表法)4、利用導(dǎo)數(shù)求區(qū)間a，b上函數(shù)y=f(x)的最大與最小值的步驟求函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)的極值將函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)的極值與區(qū)間兩端的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.5、求定積分的方法： （1）用定義求定積分 步