導(dǎo)數(shù)平均變化率與瞬時變化率

1、【同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)平均變化率與瞬時變化率w二. 本周教學(xué)目標：1、了解導(dǎo)數(shù)概念的廣闊背景，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵2、通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義三. 本周知識要點：（一）平均變化率1、情境：觀察某市某天的氣溫變化圖2、一般地,函數(shù)f（x）在區(qū)間x1，x2上的平均變化率平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率“視覺化”（二）瞬時變化率導(dǎo)數(shù)1、曲線的切線如圖，設(shè)曲線c是函數(shù)的圖象，點是曲線 c 上一點作割線PQ，當點Q 沿著曲線c無限地趨近于點P，割線PQ無限地趨近于某一極限位置PT我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線c在點P 處的切線割線PQ的

2、斜率為，即當時，無限趨近于點P的斜率2、瞬時速度與瞬時加速度1）瞬時速度定義：運動物體經(jīng)過某一時刻（某一位置）的速度，叫做瞬時速度.2）確定物體在某一點A處的瞬時速度的方法：要確定物體在某一點A處的瞬時速度，從A點起取一小段位移AA1，求出物體在這段位移上的平均速度，這個平均速度可以近似地表示物體經(jīng)過A點的瞬時速度.當位移足夠小時，物體在這段時間內(nèi)的運動可認為是勻速的，所得的平均速度就等于物體經(jīng)過A點的瞬時速度我們現(xiàn)在已經(jīng)了解了一些關(guān)于瞬時速度的知識，現(xiàn)在已經(jīng)知道物體做直線運動時，它的運動規(guī)律用函數(shù)表示為ss（t），也叫做物體的運動方程或位移公式，現(xiàn)在有兩個時刻t0，t0+t，現(xiàn)在問從t0到t

3、0+t這段時間內(nèi)，物體的位移、平均速度各是：位移為ss（t0+t）s（t0）（t稱時間增量）平均速度根據(jù)對瞬時速度的直觀描述，當位移足夠小，現(xiàn)在位移由時間t來表示，也就是說時間足夠短時，平均速度就等于瞬時速度.現(xiàn)在是從t0到t0+t，這段時間是t. 時間t足夠短，就是t無限趨近于0當t0時，位移的平均變化率無限趨近于一個常數(shù)，那么稱這個常數(shù)為物體在t t0的瞬時速度同樣，計算運動物體速度的平均變化率，當t0時，平均速度無限趨近于一個常數(shù)，那么這個常數(shù)為在t t0時的瞬時加速度3、導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在（a,b）上有定義，若無限趨近于0時，比值 無限趨近于一個常數(shù)A，則稱f（x）在x處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)A為

4、函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作幾何意義是曲線上點（）處的切線的斜率導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導(dǎo)數(shù)，此時對于每一個，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù)，稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，也可記作【典型例題】例1、水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的體積（單位：），計算第一個10s內(nèi)V的平均變化率解：在區(qū)間0，10上，體積V的平均變化率為 即第一個10s內(nèi)容器甲中水的體積的平均變化率為例2、已知函數(shù)，分別計算在區(qū)間3，1，0，5上函數(shù)及的平均變化率解：函數(shù)在3，1上的平均變化率為在3,1上的平均變化率為函數(shù)在0，5上的平均變化率為在0，5上的平均

5、變化率為例3、已知函數(shù)，分別計算函數(shù)在區(qū)間1，3，1，2，1，1.1，1，1.001上的平均變化率解：函數(shù)在區(qū)間1，3上的平均變化率為函數(shù)在1，2上的平均變化率為函數(shù)在1，1.1上的平均變化率為函數(shù)在1，1.001上的平均變化率為例4、物體自由落體的運動方程ss（t）gt2，其中位移單位m，時間單位s，g9.8 m/s2. 求t3這一時段的速度.解：取一小段時間3，3+t，位置改變量sg（3+t）2g32（6+t）t，平均速度g（6+t）當t無限趨于0時，無限趨于3g29.4 m/s例5、已知質(zhì)點M按規(guī)律s2t2+3做直線運動（位移單位：cm，時間單位：s），（1）當t2，t0.01時，求.（

6、2）當t2，t0.001時，求.（3）求質(zhì)點M在t2時的瞬時速度.分析：s即位移的改變量，t即時間的改變量，即平均速度，當t越小，求出的越接近某時刻的速度.解：4t+2t（1）當t2，t0.01時，42+20.018.02 cm/s（2）當t2，t0.001時，42+20.0018.002 cm/s（3） t0， （4t+2t）4t428 cm/s 例6、曲線的方程為yx2+1，那么求此曲線在點P（1，2）處的切線的斜率，以及切線的方程解：設(shè)Q（1+，2+），則割線PQ的斜率為：斜率為2切線的斜率為2切線的方程為y22（x1），即y2x【模擬試題】1、若函數(shù)f（x）2x2+1，圖象上P（1,3

7、）及鄰近點Q（1+x,3+y）， 則（ ）A. 4 B. 4x C. 4+2x D. 2x2、一直線運動的物體，從時間到時，物體的位移為，那么時，為（ ）A. 從時間到時，物體的平均速度； B. 在時刻時該物體的瞬時速度； C. 當時間為時物體的速度； D. 從時間到時物體的平均速度3、已知曲線y2x2上一點A（1，2），求（1）點A處的切線的斜率.（2）點A處的切線方程.4、求曲線yx2+1在點P（2，5）處的切線方程5、求y2x2+4x在點x3處的導(dǎo)數(shù)6、一球沿一斜面自由滾下，其運動方程是ss（t）t2（位移單位：m，時間單位：s），求小球在t5時的瞬時速度7、質(zhì)點M按規(guī)律s2t2+3做直線運動（位移單位：cm，時間單位：s），求質(zhì)點M在t2時的瞬時速度【試題答案】1、B 2、B3、解：（1）時，k點A處的切線的斜率為4.（2）點A處的切線方程是y24（x1）即y4x24、解：時，k切線方程是y54（x+2），即y4x3.5、解：y2（3+x）2+4（3+x）（232+43）2（x）2+16x，2x+16時，y|x3166、解：時，瞬時速度v（10+t）10 m/s.瞬時速度v2t2510 m/s.7、解：時，瞬時速度v（8+2t）8cm/s【勵志故事