【核按鈕】2016高考（新課標）數學（理）一輪復習配套（課時精講+課時檢測+單元檢測）：第三章　導

1、第三章第三章導導數數1.了解導數概念的實際背景2通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義3能根據導數的定義求函數 yC(C 為常數)，yx，y1x，yx2，yx3，y x的導數4能利用以下給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，并了解復合函數求導法則， 能求簡單復合函數(僅限于形如 yf(axb)的復合函數)的導數常見的基本初等函數的導數公式：(C)0(C 為常數)；(xn)nxn1(nN)；(sinx)cosx;(cosx)sinx；(ex)ex;(ax)axlna(a0，且 a1)；(lnx)1x；(logax)1xlogae(a0，且 a1)常用的導數運算法則：法則

2、1：u(x)v(x)u(x)v(x)法則 2：u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)法則 3：u（x）v（x）u（x）v（x）u（x）v（x）v2（x）(v(x)0)5了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性， 會求函數的單調區(qū)間(其中多項式函數不超過三次)6了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數不超過三次)7會用導數解決實際問題8了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念9了解微積分基本定理的含義3.1導數的概念及運算導數的概念及運算1

3、導數的概念(1)定義如果函數 yf(x)的自變量 x 在 x0處有增量x，那么函數 y 相應地有增量yf(x0 x)f(x0)，比值yx就叫函數 yf(x)從 x0到 x0 x 之間的平均變化率，即yxf（x0 x）f（x0）x.如果當x0時，yx有極限，我們就說函數 yf(x)在點 x0處_，并把這個極限叫做 f(x)在點 x0處的導數，記作_或 y|xx0，即 f (x0)0limxyx0limxf（x0 x）f（x0）x(2)導函數當 x 變化時，f(x)便是 x 的一個函數，我們稱它為 f(x)的導函數(簡稱導數)yf(x)的導函數有時也記作 y， 即 f (x)y 0limxf（xx

4、）f（x）x.(3)求函數 yf(x)在點 x0處導數的方法求函數的增量y；求平均變化率yx；取極限，得導數 f (x0)0limxyx.2導數的幾何意義函數 yf(x)在點 x0處的導數的幾何意義， 就是曲線 yf(x)在點 P(x0，f(x0)處的切線的斜率也就是說，曲線 yf(x)在點 P(x0，f(x0)處的切線的斜率是相應的切線方程為3基本初等函數的導數公式(1)c(c 為常數)，(x)(Q*)；(2)(sinx)_，(cosx)_；(3)(lnx)，(logax)；(4)(ex)_，(ax).4導數運算法則(1)f(x)g(x)_.(2)f(x)g(x)_；當 g(x)c(c 為常

5、數)時，即cf(x)_.(3)f（x）g（x）(g(x)0)5復合函數的導數復合函數 yf(g(x)的導數和函數 yf(u)，ug(x)的導數間的關系為_即 y 對 x的導數等于 y 對 u 的導數與 u 對 x 的導數的乘積自查自糾：1(1)可導f(x0)(3)f(x0 x)f(x0)f（x0 x）f（x0）x2f(x0)yy0f(x0)(xx0)3(1)0 x1(2)cosxsinx(3)1x1xlna(4)exaxlna4(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)cf(x)(3)f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）25yxyuux函數 f(x)a35a2x2的導數

6、f(x)()A3a210ax2B3a210ax210a2xC10a2xD以上都不對解：f(x)10a2x.故選 C.曲線 y1lnx在 xe 處的切線方程為()Axeye0Bexye0Cxey2e0Dxey2e0解：y1x（lnx）21x（lnx）2，y|xe1e，故所求方程為 y11e(xe)，整理得 xey2e0.故選 D.已知曲線 yx243lnx 的一條切線的斜率為12，則切點的橫坐標為()A3B2C1D.12解：yx23x，令x23x12，解得 x2 或 x3(舍去)故選 B.物體的運動方程是 s13t32t25，則物體在 t3 時的瞬時速度為解：v(t)s(t)t24t，t3 時，

7、v3，故填3.(2014新課標)設曲線 yaxln(x1)在點(0，0)處的切線方程為 y2x，則 a_.解：ya1x1，根據已知，當 x0 時，y2，代入解得 a3.故填 3.類型一類型一導數的概念導數的概念已知函數 f(x)x21.用定義的方法求：(1)f(x)在 x2 處的導數；(2)f(x)在 xa 處的導數解：(1)因為yxf（2x）f（2）x（2x）21（221）x4x，當x0 時，4x4，所以 f(x)在 x2 處的導數是 4.(2)因為yxf（ax）f（a）x（ax）21（a21）x2ax，當x0 時，2ax2a，所以 f(x)在 xa 處的導數是 2a.點撥：利用導數定義求函

8、數在某一點處的導數，首先寫出函數在該點處的平均變化率yx，再化簡平均變化率，最后判斷當x0 時，yx無限趨近于哪一常數，該常數即為所求導數，這是定義法求導數的一般過程航天飛機發(fā)射后的一段時間內，第 t s時的高度 h(t)5t330t245t4(單位：m)(1)求航天飛機在第 1 s 內的平均速度；(2)用定義方法求航天飛機在第 1 s 末的瞬時速度解：(1)航天飛機在第 1 s 內的平均速度為h（1）h（0m/s.(2)航天飛機第 1 s 末高度的平均變化率為h（1t）h（1）t5（1t）330（1t）245（1t）484t5t345t2120tt5t245t120

9、，當t0 時，5t245t120120，所以航天飛機在第1 s末的瞬時速度為120 m/s.類型二類型二求導運算求導運算求下列函數的導數：(1)y5x24x1；(2)yxlnx；(3)ysin(x)(其中為常數)；(4)yx3x2(x2)解：(1)y10 x4；(2)ylnxx1xlnx1；(3)ycos(x)(x)cos(x)；(4)y11x2 1（x2）2.點撥：求導運算，一是熟記公式及運算法則，二是掌握求復合函數導數的步驟，遵從“由外到內”的原則，三是要注意在求導前對可以化簡或變形的式子進行化簡或變形，從而使求導運算更簡單求下列函數的導數：(1)y(x1)(x2)；(2)yxex1(x0

10、)；(3)ycos2x；(4)ylnx3x1(x1)解：(1)y(x1)(x2)(x1)(x2)x2x12x3；(2)yx（ex1）x（ex1）（ex1）2（1x）ex1（ex1）2；(3)ysin2x(2x)2sin2x；(4)yln(x3)ln(x1)1x31x12（x1） （x3）.類型三類型三導數的幾何意義導數的幾何意義已知曲線 y13x343.(1)求滿足斜率為 1 的曲線的切線方程；(2)求曲線在點 P(2，4)處的切線方程；(3)求曲線過點 P(2，4)的切線方程解：(1)yx2，設切點為(x0，y0)，故切線的斜率為 kx201，解得 x01，故切點為1，53 ，(1，1)故所

11、求切線方程為 y53x1 和 y1x1，即 3x3y20 和 xy20.(2)yx2，且 P(2，4)在曲線 y13x343上，在點 P(2，4)處的切線的斜率 ky|x24.曲線在點 P(2，4)處的切線方程為 y44(x2)，即 4xy40.(3)設曲線 y13x343與過點 P(2，4)的切線相切于點 Ax0，13x3043 ，又切線的斜率 ky|xx0 x20，切線方程為 y13x3043 x20(xx0)，即 yx20 x23x3043.點 P(2，4)在切線上，42x2023x3043，即 x303x2040，x30 x204x2040，x20(x01)4(x01)(x01)0，(

12、x01)(x02)20，解得 x01 或 x02，故所求的切線方程為 4xy40 或 xy20.點撥：曲線切線方程的求法：(1)以曲線上的點(x0， f(x0)為切點的切線方程的求解步驟：求出函數 f(x)的導數 f(x)；求切線的斜率 f(x0)；寫出切線方程 yf(x0)f(x0)(xx0)，并化簡(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組y0f（x0） ，y1y0 x1x0f（x0） ，得切點(x0，y0)，進而確定切線方程注意：求切線方程時，要注意判斷已知點是否滿足曲線方程，即是否在曲線上與曲線只有一個公共點的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的

13、公共點不一定只有一個已知函數 f(x)x3x16.(1)求滿足斜率為 4 的曲線的切線方程；(2)求曲線 yf(x)在點(2，6)處的切線方程；(3)直線 l 為曲線 yf(x)的切線，且經過原點，求直線 l 的方程解：(1)設切點坐標為(x0，y0)，f(x0)3x2014，x01，x01，y014或x01，y018.切線方程為 y4x18 或 y4x14.(2)f(x)3x21，且(2，6)在曲線 f(x)x3x16 上，在點(2， 6)處的切線的斜率為 kf(2)13.切線方程為 y13x32.(3)解法一：設切點為(x0，y0)，直線 l 的斜率為 f(x0)3x201，直線 l 的方

14、程為 y(3x201)(xx0)x30 x016，又直線 l 過原點(0，0)，0(3x201)(x0)x30 x016，整理得 x02，斜率 k13.直線 l 的方程為 y13x.解法二：設直線 l 的方程為 ykx，切點為(x0，y0)，則斜率 ky00 x00 x30 x016x0，又kf(x0)3x201，x30 x016x03x201，解得 x02，k13.直線 l 的方程為 y13x.1弄清“函數在一點 x0處的導數”“導函數”“導數”的區(qū)別與聯系(1)函數在一點 x0處的導數 f(x0)是一個常數，不是變量；(2)函數的導函數(簡稱導數)，是針對某一區(qū)間內任意點 x 而言的函數

15、f(x)在區(qū)間(a，b)內每一點都可導，是指對于區(qū)間(a，b)內的每一個確定的值x0，都對應著一個確定的導數 f(x0)，根據函數的定義，在開區(qū)間(a，b)內就構成了一個新的函數，也就是函數 f(x)的導函數 f(x)；(3)函數 yf(x)在點 x0處的導數 f(x0)就是導函數 f(x)在點 xx0處的函數值2求函數 yf(x)在 xx0處的導數 f(x0)通常有以下兩種方法(1)利用導數的定義：即求0limxf（x0 x）f（x0）x的值；(2)利用導函數的函數值： 先求函數 yf(x)在開區(qū)間(a，b)內的導函數 f(x)，再將 x0(x0(a，b)代入導函數 f(x)，得 f(x0)

16、3正確區(qū)分“曲線在某點處的切線”與“過某點的曲線的切線”的含義，前者的“某點”即切點，后者的“某點”是否為切點則須檢驗4求曲線在某一點處的切線方程時，可以先求函數在該點的導數， 即曲線在該點的切線的斜率，再利用點斜式寫出直線的方程如果切點未知，要先求出切點坐標1函數 f(x)x3sin2x 的導數 f(x)()Ax2cos2xB3x2cos2xCx22cos2xD3x22cos2x解：f(x)3x2(2x)cos2x3x22cos2x.故選D.2已知 f(x)(x2)(x3)， 則 f(2)的值為()A0B1C2D3解：f(x)(x3)(x2)2x5，f(2)1.故選 B.3曲線 yx311

17、在點 P(1，12)處的切線與 y軸交點的縱坐標是()A9B3C9D15解：由 y|x13，得在點 P(1，12)處的切線方程為 3xy90，令 x0，得 y9，故選 C.4若 f(x)x22x4lnx，則 f(x)0 的解集為()A(0，)B(1，0)(2，)C(2，)D(1，0)解： f(x)2x24x2（x2） （x1）x0，x0，x20，解得 x2.故選 C.5(2014湖北八市高三 3 月調考)設 aR，函數 f(x)exaex的導函數是 f(x)，且 f(x)是奇函數，則 a 的值為()A1B12C.12D1解：因為 f(x)exaex，由奇函數的性質可得f(0)1a0，解得 a1

18、.故選 A.6已知曲線 C：f(x)x3axa，若過曲線 C外一點 A(1，0)引曲線 C 的兩條切線，它們的傾斜角互補，則 a 的值為()A.278B2C2D278解：設切點坐標為(t，t3ata)切線的斜率為 ky|xt3t2a，所以切線方程為 y(t3ata)(3t2a)(xt)，將點(1， 0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)， 解之得 t0 或 t32.分別將 t0 和 t32代入式，得 ka 或 k274a，由它們互為相反數得 a278.故選 A.7(2014江西)若曲線 yex上點 P 處的切線平行于直線 2xy10，則點 P 的坐標是_解：設點 P 的坐標為(x0，y

19、0)，yex.又切線平行于直線 2xy10，所以ex02，可得 x0ln2， 此時 y2， 所以點 P 的坐標為(ln2，2)故填(ln2，2)8(2013江西)設函數 f(x)在(0，)內可導，且 f(ex)xex，則 f(1)_.解：令 ext，則 xlnt.f(ex)xex，f(t)lntt，f(t)1t1，f(1)112.故填2.9求函數 f(x)x34x4 圖象上斜率為1的切線的方程解：設切點坐標為(x0，y0)，f(x0)3x2041，x01.切點為(1，1)或(1，7)切線方程為 xy20 或 xy60.10設函數 f(x)13x3ax(a0)，g(x)bx22b1.若曲線 yf

20、(x)與 yg(x)在它們的交點(1，c)處有相同的切線，求實數 a，b 的值，并寫出切線 l的方程解：因為 f(x)13x3ax(a0)，g(x)bx22b1，所以 f(x)x2a，g(x)2bx.因為曲線 yf(x)與 yg(x)在它們的交點(1，c)處有相同的切線，所以 f(1)g(1)，且 f(1)g(1)，即13ab2b1，且 1a2b，解得 a13，b13，得切點坐標為(1，0)切線方程為 y23(x1)，即 2x3y20.11已知函數 f(x)x1aex(aR，e 為自然對數的底數)(1)若曲線 yf(x)在點(1，f(1)處的切線平行于x 軸，求 a 的值；(2)當 a1 時，

21、若直線 l：ykx1 與曲線 yf(x)相切，求 l 的直線方程解：(1)f(x)1aex，因為曲線 yf(x)在點(1，f(1)處的切線平行于 x 軸，所以 f(1)1ae0，解得 ae.(2)當 a1 時，f(x)x11ex，f(x)11ex.設切點為(x0，y0)，f(x0)x011ex0kx01，f(x0)11ex0k，得 x0kx01k，即(k1)(x01)0.若 k1，則式無解，x01，k1e.l 的直線方程為 y(1e)x1.(2014安徽)若直線 l 與曲線 C 滿足下列兩個條件：(1)直線 l 在點 P(x0，y0)處與曲線C 相切；(2)曲線 C 在點 P 附近位于直線 l

22、 的兩側，則稱直線 l 在點 P 處“切過”曲線 C.下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號)直線 l： y0 在點 P(0， 0)處“切過”曲線 C：yx3直線 l：x1 在點 P(1，0)處“切過”曲線 C：y(x1)2直線 l： yx 在點 P(0， 0)處“切過”曲線 C：ysinx直線 l： yx 在點 P(0， 0)處“切過”曲線 C：ytanx直線 l：yx1 在點 P(1，0)處“切過”曲線 C：ylnx解：對于，y(x3)3x2，y|x00，所以 l：y0 是曲線 C：yx3在點 P(0，0)處的切線，畫圖可知曲線 C：yx3在點 P(0，0)附近位于直線l 的兩側，正確

23、；對于，l：x1 顯然不是曲線 C：y(x1)2在點 P(1，0)處的切線，錯誤；對于，y(sinx)cosx，y|x01，曲線在點 P(0，0)處的切線為 l：yx，畫圖可知曲線 C：ysinx 在點 P(0，0)附近位于直線 l 的兩側，正確；對于，y(tanx)sinxcosx 1cos2x，y|x01cos201，曲線在點 P(0，0)處的切線為 l：yx，畫圖可知曲線 C：ytanx 在點 P(0，0)附近位于直線 l 的兩側，正確；對于，y(lnx)1x，y|x11，在點 P(1，0)處的切線為 l：yx1，令 h(x)x1lnx(x0)，可得 h(x)11xx1x，所以 h(x)

24、minh(1)0，故 x1lnx，可知曲線 C：ylnx 在點 P(1，0)附近位于直線 l 的下方，錯誤故填.3.2導數的應用導數的應用(一一)1函數的單調性與導數在某個區(qū)間(a，b)內，如果 f(x)0，那么函數 yf(x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果 f(x)0，那么函數 yf(x)在這個區(qū)間內_2函數的極值與導數(1)判斷 f(x0)是極大值，還是極小值的方法：一般地，當 f(x0)0 時，如果在 x0附近的左側 f(x)0， 右側 f(x)0，那么 f(x0)是極大值；如果在 x0附近的左側_，右側_，那么 f(x0)是極小值(2)求可導函數極值的步驟：求 f(x)；求方程_的根；檢查

25、 f(x)在上述方程根的左右對應函數值的符號如果左正右負，那么 f(x)在這個根處取得_；如果左負右正，那么 f(x)在這個根處取得_3函數的最值與導數(1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數 f(x)在a，b上必有最大值與最小值(2) 若 函 數 f(x) 在 a ， b 上 單 調 遞 增 ， 則_ 為 函 數 在 a ， b 上 的 最 小 值 ，_為函數在a，b上的最大值；若函數 f(x)在a，b上單調遞減，則_為函數在a，b上的最大值， _為函數在a， b上的最小值(3)設函數 f(x)在a， b上連續(xù)， 在(a， b)內可導，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟如下：求 f(x)在

26、(a，b)內的極值；將 f(x)的各極值與端點處的函數值_，_比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值自查自糾：1單調遞減2(1)f(x)0f(x)0(2)f(x)0極大值極小值3(2)f(a)f(b)f(a)f(b)(3)f(a)f(b)關于函數的極值， 下列說法正確的是()A導數為 0 的點一定是函數的極值點B函數的極小值一定小于它的極大值Cf(x)在定義域內最多只能有一個極大值，一個極小值D若 f(x)在(a，b)內有極值，那么 f(x)在(a，b)內不是單調函數解：導數為 0 的點不一定是極值點(如 yx3，在 x0 處)，而極值點的導數一定為 0.極值是局部概念，因此極小值可

27、能有多個且有可能大于極大值極值點是單調性的轉折點故選 D.已知函數 f(x)12x2x，則 f(x)的單調增區(qū)間是()A(，1)和(0，)B(0，)C(1，0)和(1，)D(1，)解：f(x)x1，令 f(x)0，解得 x1.故選D.若在區(qū)間1，2內有 f(x)0，且 f(1)0，則在1，2內有()Af(x)0Bf(x)0Cf(x)0Df(x)1解：f(x)0，f(x)在1，2內單調遞增f(1)0，在1，2內 f(x)0.故選 A.若函數 f(x)的導函數 f(x)x24x3， 則函數 f(x1)的單調遞減區(qū)間是_解：由 f(x)x24x30 得 1x3，所以函數 f(x)的單調遞減區(qū)間為(1

28、，3)，函數 yf(x1)的圖象由函數 yf(x)的圖象向右平移 1 個單位得到， 故函數 f(x1)的單調遞減區(qū)間是(2， 4)故填(2，4)函數 f(x)x2cosx，x0，2 的最大值是_解：f(x)12sinx，令 f(x)0 得 sinx12，從而 x6，當 x0，6 時，f(x)0，f(x)單調遞增；當 x6，2 時，f(x)0，f(x)單調遞減，所以 f(x)在 x6處取得極大值，即最大值6 3.故填6 3.類型一類型一導數法判斷函數的單調性導數法判斷函數的單調性設函數 f(x)在定義域內可導，yf(x)的圖象如圖所示，則導函數 yf(x)的圖象可能是()解：當 x0 時，f(x

29、)為增函數，f(x)0，排除 A， C； 當 x0 時， f(x)先增后減， 再增， 對應 f(x)先正后負，再正故選 D.點撥：導函數的圖象在哪個區(qū)間位于 x 軸上方(下方)，說明導函數在該區(qū)間大于 0(小于 0)，那么它對應的原函數在那個區(qū)間就單調遞增(單調遞減)(2014北京聯考)如圖是函數 yf(x)的導函數 yf(x)的圖象，則下面判斷正確的是()A在(2，1)上 f(x)是增函數B在(1，3)上 f(x)是減函數C當 x2 時，f(x)取極大值D當 x4 時，f(x)取極大值解： 由 yf(x)的圖象可得 yf(x)的大致圖象如圖由圖可知，A，B，D 均錯故選 C.類型二類型二導數

30、法研究函數的單調性導數法研究函數的單調性已知函數 f(x)x3ax，f(1)0.(1)求 a 的值；(2)求函數 f(x)的單調區(qū)間解：(1)f(x)3x2a，由 f(1)3a0，得 a3.(2)f(x)x33x，f(x)3x23.令 f(x)0，得 x1 或 x1.所以 f(x)的單調遞增區(qū)間是(，1)，(1，)，單調遞減區(qū)間是1，1點撥：用導數求函數的單調區(qū)間，突破口是討論導數的符號注意： 區(qū)間的端點可以屬于單調區(qū)間，也可以不屬于單調區(qū)間，對結論沒有影響如，本例中1， 1也可以寫成(1， 1)寫單調區(qū)間時，一般不要使用符號“”，可以用“， ” “和”分開各區(qū)間，原因是各單調區(qū)間用“”連接的

31、條件是在合并后的區(qū)間內函數單調性依然成立如，本例中(，1)，(1，)不能寫成(，1)(1，)，不妨取 x132(，1)，x232(1，)，x1x2，而 f(x1)f32 98，f(x2)98，這時 f(x1)f(x2)不成立(2014山東) 設 函 數 f(x) exx2k2xlnx(k0，k 為常數，e2.71828是自然對數的底數)，求函數 f(x)的單調區(qū)間解：函數 yf(x)的定義域為(0，)f(x)x2ex2xexx4k2x21xxex2exx3k（x2）x2（x2） （exkx）x3.由 k0 可得 exkx0，所以當 x(0，2)時，f(x)0，函數 yf(x)單調遞減，x(2，

32、)時，f(x)0，函數 yf(x)單調遞增所以 f(x)的單調遞減區(qū)間為(0，2)，單調遞增區(qū)間為(2，)類型三類型三導數法研究函數的極值問題導數法研究函數的極值問題已知函數f(x)12x3cx在x1處取得極值(1)求函數 f(x)的解析式；(2)求函數 f(x)的極值解： (1)f(x)32x2c， 當 x1 時， f(x)取得極值，則 f(1)0，即32c0，得 c32.故 f(x)12x332x.(2)f(x)32x23232(x21)32(x1)(x1)，令 f(x)0，得 x1 或 1.x，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(， 1)1(1，1)1(1，)f(x)00f(x)極極

33、大值小值因此，f(x)的極大值為 f(1)1，極小值為 f(1)1.點撥：找函數的極值點，即先找導數的零點，但并不是說導數為零的點就是極值點(如 yx3)，還要保證該零點為變號零點設 f(x)a(x5)26lnx，其中 aR，曲線 yf(x)在點(1，f(1)處的切線斜率為 2.(1)確定 a 的值；(2)求函數 f(x)的單調區(qū)間與極值解：(1)f(x)2a(x5)6x，依題意，f(1)68a2，得 a12.(2)由(1)知，f(x)12(x5)26lnx(x0)，f(x)x56x（x2） （x3）x.令 f(x)0，得 x2 或 3.x，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，2)2(

34、2，3)3(3， )f(x)00f(x)極大值極小值故 f(x)的單調增區(qū)間為(0，2)和(3，)，單調減區(qū)間為(2，3)f(x)的極大值 f(2)926ln2，極小值 f(3)26ln3.類型四類型四導數法研究函數的最值問題導數法研究函數的最值問題已知函數 f(x)ax22，g(x)x3bx.若曲線 yf(x)與曲線 yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線(1)求 a，b 的值；(2)求函數 f(x)g(x)的單調區(qū)間， 并求其在區(qū)間(，1上的最大值解：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b，f(1)g(1)，f(1)g(1)，a21b，且 2a3b，解得 a4，b5.(2)設 h(

35、x)f(x)g(x)x34x25x2，則 h(x)3x28x5(3x5)(x1)x，h(x)，h(x)的變化情況如下表：x(，53)53(53，1)1(1，)h(x)00h(x)極大值極小值所以 f(x)在，53 ，(1，)上單調遞增，在53，1上單調遞減h53 427，h(1)12，12427，f(x)g(x)在(，1上的最大值為 12.點撥：函數在限定區(qū)間內最多只有一個最大值和一個最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端點或極大值點取得，最小值一般是在端點或極小值點取得已知函數 f(x)2x3ax2bx1，若函數 yf(x)的圖象關于直線 x12對稱，且 f(1)0.(1)求實數 a

36、，b 的值；(2)求函數 f(x)在區(qū)間2， 2上的最大值和最小值解：(1)f(x)6x22axb，函數 yf(x)的圖象的對稱軸為 xa6.a612，a3.f(1)0，62ab0，得 b12.故 a3，b12.(2)由(1)知 f(x)2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2)x，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(， 2)2(2，1)1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值f(2)21，f(2)5，215，f(1)6.所以 f(x)在2，2上的最大值為 21，最小值為6.類型五類型五實際應用問題實際應用問題(優(yōu)化問題優(yōu)化問題)請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD

37、 是邊長為 60 cm 的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得 ABCD 四個點重合于圖中的點 P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F 在 AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點， 設 AEFBx(cm)(1)若廣告商要求包裝盒側面積 S(cm2)最大，x應取何值？(2)若廠商要求包裝盒容積 V(cm3)最大，x 應取何值？解：(1)根據題意有S6024x2(602x)2240 x8x2，0 x30，S24016x，令 S0，得 x15.當 0 x15 時，S0，S 遞增；當 15x30 時，S0，S 遞減所以 x15 cm 時包裝盒側面

38、積 S 最大(2)根據題意有V( 2x)222(602x)2 2x2(30 x)，0 x30，V6 2x(20 x)，當 0 x20 時，V0，V 遞增；當 20 x30 時，V0，V 遞減所以 x20 cm 時包裝盒容積 V 最大點撥：本題主要考查學生的空間想象能力、 閱讀能力、運用數學知識解決實際問題的能力及建立函數模型的能力，屬于中檔題注意用導數求解實際問題中的最大(小)值時，如果函數在區(qū)間只有一個極值點，那么依據實際意義，該極值點也就是最值點用長為 15 cm， 寬為 8 cm 的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別裁去一個邊長為 x cm 的小正方形，然后把四邊翻轉 90角，再焊

39、接而成(如圖)問該容器的高為多少時，容器的容積最大？解：依題意，0 x4，容積 V(152x)(82x)x4x346x2120 x，V12x292x1204(3x5)(x6)令 V0，得 x53或 6(舍去)當 0 x53時，V0，V 遞增；當53x4 時，V0，V 遞減所以高 x53cm 時容器的容積最大1用導數判斷單調性用導數判斷函數的單調性時，首先應確定函數的定義域，然后在函數的定義域內，通過討論導數的符號，來判斷函數的單調區(qū)間在對函數劃分單調區(qū)間時，除了必須確定使導數等于 0 的點外，還要注意定義區(qū)間內的間斷點2極值與最值的區(qū)別(1)“極值”反映函數在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數

40、的局部性質；“最值”是個整體概念，是整個區(qū)間上的最大值或最小值，具有絕對性(2)從個數上看，一個連續(xù)函數在閉區(qū)間內的最值一定存在且是唯一的，而極值可以同時存在若干個或不存在， 且極大(小)值并不一定比極小(大)值大(小)(3)從位置上看，極值只能在定義域內部取得，而最值卻可以在區(qū)間的端點處取得；有極值未必有最值，有最值未必有極值；極值有可能成為最值，連續(xù)函數的最值只要不在端點處必定是極值3實際問題中的最值在實際問題中，如果函數在區(qū)間內只有一個極值點，那么只要根據實際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數值比較1(2014新課標)函數 f(x)在 xx0處導數存在若 p： f(x0)

41、0， q： xx0是 f(x)的極值點， 則()Ap 是 q 的充分必要條件Bp 是 q 的充分條件，但不是 q 的必要條件Cp 是 q 的必要條件，但不是 q 的充分條件D p 既不是 q 的充分條件， 也不是 q 的必要條件解：由條件知由 q 可推出 p，而由 p 推不出 q.故選 C.2設 f(x)是函數 f(x)的導函數，yf(x)的圖象如圖所示，則 yf(x)的圖象有可能是()解：當 x0 時，f(x)0，f(x)單調遞增；當 0 x1 時，f(x)0，f(x)單調遞減故選C.3函數 f(x)(x3)ex的單調遞增區(qū)間是()A(，2)B(0，3)C(1，4)D(2，)解：f(x)(x

42、3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令 f(x)0，解得 x2，故選 D.4設函數 f(x)2xlnx，則()A. x12為 f(x)的極大值點B. x12為 f(x)的極小值點C. x2 為 f(x)的極大值點D. x2 為 f(x)的極小值點解： f(x)x2x2， 令 f(x)0， 得 x2.當 x2 時，f(x)2 時，f(x)0，f(x)為增函數，所以 x2 為 f(x)的極小值點，故選 D.5函數 f(x)x33x2m 在區(qū)間1，1上的最大值是 2，則常數 m()A2B0C2D4解：f(x)3x26x3x(x2)，令 f(x)0，得 x0 或 x2(舍去)，當1x0 時，f(x)

43、0；當 0 x1 時，f(x)0.所以當 x0 時，f(x)取得最大值為 m，m2.故選 C.6已知函數 f(x)ax3bx2cxd 的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是()Aa0，b0，c0，b0，c0，b0Da0，b0，c0解： 因為 x0 時， f(x)0 恒成立， 所以 a0； f(x)3ax22bxc0 的兩個根 x1、x2均小于零，所以x1x22b3a0；x1x2c3a0，則 c0，所以 a，b，c 同為正故選 D.7函數 f(x)x32xf(1)，則函數 f(x)在區(qū)間2，3上的值域是_解：f(x)3x22f(1)，令 x1，則 f(1)32f(1)， 得 f(1)3， 因此 f(

44、x)x36x，f(x)3x263(x 2)(x 2)，f(2)4，f( 2)4 2，f( 2)4 2，f(3)9，f(x)在區(qū)間2，3上的值域為4 2， 9故填4 2， 98已知圓柱的體積為 16 cm3，則當底面半徑r_cm 時，圓柱的表面積最小解：圓柱的體積為 Vr2h16r2h16，圓柱 的 表 面 積 S 2rh 2r232r 2r2216rr2，由 S216r22r0，得 r2.因此r(0，2)2(2，)S0S極小值，也是最小值當底面半徑 r2 時，圓柱的表面積最小故填 2.9(2014重慶)已知函數 f(x)x4axlnx32，其中 aR，且曲線 yf(x)在點(1，f(1)處的切

45、線垂直于直線 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函數 f(x)的單調區(qū)間與極值解：(1)對 f(x)求導得 f(x)14ax21x，由 f(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線 y12x 知 f(1)34a2，解得 a54.(2)由(1)知 f(x)x454xlnx32，則 f(x)x24x54x2.令 f(x)0，解得 x1 或 x5.因為 x1 不在 f(x)的定義域(0，)內，故舍去當 x(0，5)時，f(x)0，故 f(x)在(0，5)上為減函數；當 x(5，)時，f(x)0，故 f(x)在(5，)上為增函數由此知函數 f(x)在 x5 時取得極小值 f(5)ln5.10已知函

46、數 f(x)x2alnx，a0.(1)若 x1 是函數 f(x)的極值點， 求實數 a 的值；(2)討論 f(x)的單調性解：f(x)2xax，x0.(1)因為 f(1)0，所以 2a0，得 a2，經檢驗，當 a2 時，x1 是函數 f(x)的極值點(2)若 a0，則 f(x)0 恒成立，f(x)在(0，)上單調遞增若 a0，令 f(x)0，得 xa2，當 x0，a2 時， f(x)0， f(x)單調遞減；當 xa2，時，f(x)0，f(x)單調遞增11(2014天門、仙桃、潛江高三期末)某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農業(yè)用地 AOCB規(guī)劃建成一個矩形的高科技工業(yè)園區(qū)已知 A

47、BBC， OABC， ABBC2AO4 km，曲線段 OC 是以點 O 為頂點且開口向上的拋物線的一段如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在 AB，BC上，且一個頂點 P 落在曲線段 OC 上，問應如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積(精確到 0.1 km2)解：以 O 為原點，AO 所在直線為 x 軸建立直角坐標系(如圖)依題意可設拋物線的方程為x22py，且 C(2，4)222p4，p12.故曲線段 OC 的方程為 yx2(0 x2)設 P(x，x2)(0 x2)，則|PM|2x，|PN|4x2.工業(yè)園區(qū)的用地面積S|PM|PN|(2x)(4x2)x32x24x8.S3x

48、24x4，令 S0 x123，x22(舍去)，當 x0，23 時，S0，S 是 x 的增函數；當 x23，2時，S0，S 是 x 的減函數x23時，S 取到最大值，此時|PM|2x83，|PN|4x2329，Smax83329256279.5(km2)答： 把工業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長(PN)為329km， 寬(PM)為83km 時，矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大，最大用地面積約為 9.5 km2.(2014全國)已知函數 f(x)x33x2ax2，曲線 yf(x)在點(0，2)處的切線與 x軸交點的橫坐標為2.(1)求 a；(2)證明：當 k1 時，曲線 yf(x)與直線 ykx2 只有一個交點解：(1)

49、f(x)3x26xa，f(0)a.曲線 yf(x)在點(0，2)處的切線方程為 yax2.由題設得2a2，所以 a1.(2)證明：由(1)知，f(x)x33x2x2.設 g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4，由題設知 1k0.當 x0 時，g(x)3x26x1k0，g(x)單調遞增，g(1)k10，g(0)4，所以 g(x)0 在(，0上有唯一實根當 x0 時，令 h(x)x33x24，則 g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)上單調遞減，在(2，)上單調遞增，所以 g(x)h(x)h(2)0，所以 g(x)0 在(0，)上沒有實根綜上，

50、g(x)0 在 R 有唯一實根，即曲線 yf(x)與直線 ykx2 只有一個交點3.3導數的應用導數的應用(二二)1當 f(x)在某個區(qū)間內個別點處為零，在其余點處均為正(或負)時，f(x)在這個區(qū)間上仍舊是單調遞增(或遞減)的，例如：在(，)上，f(x)x3，當 x0 時，f(x)_，當 x0 時，f(x)0，而 f(x)x3顯然在(，)上是單調遞增函數2可導函數求最值的方法f(x)0 xx1，x2，xn，xa，b直接比較 f(a)，f(b)，f(x1)，f(xn)，找出_和_即可在此基礎上還應注意：(1)結合_可減少比較次數(2)含參數的函數求最值可用：按_分類；按_分類3實際問題中的導數

51、，常見的有以下幾種情形：(1)加速度是速度關于_的導數；(2)線密度是質量關于_的導數；(3)功率是功關于_的導數；(4)瞬時電流是電荷量關于_的導數；(5) 水 流 的 瞬 時 速 度 是 流 過 的 水 量 關 于_的導數；(6)邊際成本是成本關于_的導數4N 型曲線與直線 yk 的位置關系問題如圖，方程 f(x)0 有三個根 x1，x2，x3時，極大值 f(a)0 且極小值 f(b)0.曲線 yf(x)與直線 yk(k 是常數)有一個交點時，見圖中的直線或直線，極大值 f(a)_k或極小值 f(b)_k；曲線 yf(x)與直線 yk(k 是常數)有兩個交點時，見圖中的直線或直線，極大值

52、f(a)_k或極小值 f(b)_k；曲線 yf(x)與直線 yk(k 是常數)有三個交點時，見圖中的直線.以上這些問題，常見于求參數的取值范圍、討論不等關系等形式的題目自查自糾：102最小值最大值(1)單調性(2)單調性極值點3(1)時間(2)長度(3)時間(4)時間(5)時間(6)產量4函數 y4x21x的單調增區(qū)間為()A(0，)B.12，C(，1)D.，12解：y8x1x2，令 y0，解得 x12，函數 y4x21x在12，上遞增故選 B.函數 f(x)ax3x1 在 x1 處有極值，則 a 的值為()A1B0C13D12解：f(x)3ax21，f(1)3a10，a13.故選 C.已知函

53、數 f(x)ax3bxc(a，b，cR)，若 f(1)2，則 f(1)()A0B3C1D2解：f(x)3ax2b，f(1)f(1)2.故選 D.已知 f(x)sinx2x，xR，且 f(2a)f(a1)，則 a 的取值范圍是_解：f(x)cosx20 恒成立，f(x)在 R 上單調遞增f(2a)f(a1)，2aa1，得 a1.故填(，1)若函數 f(x)ax33x23x(a0)在區(qū)間(1，2)是增函數，則 a 的取值范圍是_解：f(x)3ax26x3，當 a0 時，f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數，當且僅當 f(1)0 且 f(2)0，解得54a0.故填54，0.類型一類型一函數單調性的進一步

54、討論函數單調性的進一步討論已知實數 a0，函數 f(x)a(x2)22lnx.(1)當 a1 時，討論函數 f(x)的單調性；(2)若 f(x)在區(qū)間1，4上是增函數，求實數 a的取值范圍解：(1)當 a1 時，f(x)x24x42lnx，f(x)2x42x2（x1）2x，x0，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0，)上單調遞增(2)f(x)2ax4a2x2ax24ax2x，又 f(x)在區(qū)間1，4上是增函數，f(x)2ax24ax2x0對x1， 4恒成立，即 2ax24ax20 對 x1，4恒成立，令 g(x)2ax24ax2，則 g(x)2a(x1)222a，a0，g(x)在1，4上單調遞增，只

55、要使 g(x)ming(1)22a0 即可，0a1.點撥：函數 f(x)在限定區(qū)間是單調函數，求參數范圍的問題，可以轉化為恒成立問題求解設函數 f(x)xekx(k0)(1)若 k0，求函數 f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數 f(x)在區(qū)間(1，1)內單調遞增，求 k的取值范圍解：(1)f(x)(1kx)ekx.若 k0，令 f(x)0，得 x1k，所以函數 f(x)的單調遞增區(qū)間是1k，單調遞減區(qū)間是，1k .(2)f(x)在區(qū)間(1，1)內單調遞增，f(x)(1kx)ekx0 在(1，1)內恒成立，1kx0 在(1，1)內恒成立，即1k（1）0，1k10，解得1k1.因為 k0，所以 k

56、的取值范圍是1，0)(0，1類型二類型二極值與最值的進一步討論極值與最值的進一步討論(2013福建) 已 知 函 數 f(x) x alnx(aR)(1)當 a2 時，求曲線 yf(x)在點 A(1，f(1)處的切線方程；(2)求函數 f(x)的極值解：(1)當 a2 時，f(x)x2lnx，f(x)12x.f(1)1，f(1)1.所求切線方程為 y1(x1)， 即 xy20.(2)f(x)1axxax，x0.若 a0，則 f(x)0 恒成立，f(x)不存在極值若 a0，則 x，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，a)a(a，)f(x)0f(x)極小值所以 f(x)的極小值 f(a)a

57、alna.點撥：本題要求掌握運用導數研究函數的單調性、極值的一般步驟分類與整合思想是解這類題目常用的數學思想方法，注意：分類標準統(tǒng)一，層次分明；不重不漏已知函數 f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的單調區(qū)間；(2)求 f(x)在區(qū)間0，1上的最小值解：(1)f(x)(xk1)ex，令 f(x)0，得 xk1.f(x)與 f(x)的變化情況如下：x(， k1)k1(k1， )f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的單調遞減區(qū)間是(，k1)；單調遞增區(qū)間是(k1，)，(2)當 k10，即 k1 時，函數 f(x)在0，1上單調遞增，所以 f(x)在區(qū)間0，1上的最小值為 f(0)k；當 0k

58、11，即 1k2 時，由(1)知 f(x)在0，k1)上單調遞減，在(k1，1上單調遞增，所以 f(x)在區(qū)間0，1上的最小值為f(k1)ek1；當 k11，即 k2 時，函數 f(x)在0，1上單調遞減，所以 f(x)在區(qū)間0，1上的最小值為 f(1)(1k)e.類型三類型三方程根的討論方程根的討論已知函數 f(x)ex，xR.(1)求 f(x)的圖象在點(0，f(0)處的切線方程；(2)證明：曲線 yf(x)與直線 yex 有唯一公共點解：(1)f(0)e01，f(0)1，切線方程為 y11(x0)，即 xy10.(2)證法一：設 g(x)exex，曲線 yex與 yex 的公共點的個數等

59、于函數g(x)exex 零點的個數g(x)exe，令 g(x)0，得 x1，g(x)在(，1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增，g(x)的最小值 g(1)e1e0，g(x)exex0(僅當 x1 時，等號成立)曲線 yf(x)與直線 yex 有唯一公共點證法二：由于方程 exex 等價于xex1e .設 h(x)xex，分析方法類似證法一點撥：本題通過作差或作商構造出新的函數，求出新函數的單調區(qū)間、極值點、區(qū)間端點處的函數值、特殊點(如圖象與 x 軸，y 軸交點)，來判斷交點的個數，這是函數與方程思想的體現若 a1e， 則方程 lnxax0 的實根的個數為()A0 個B1 個C2 個D無窮多個

60、解法一：由于方程 lnxax0 等價于lnxxa.設 f(x)lnxx.f(x)1xxlnxx21lnxx2，令 f(x)0，得 xe，f(x)在(0，e)上單調遞增；在(e，)上單調遞減f(x)的最大值 f(e)1e，f(x)lnxx1e(僅當 xe 時，等號成立)a1e，原方程無實根解法二：設 g(x)lnxax，分析單調性、極值可得結論故選 A.類型四類型四導數法證明不等式導數法證明不等式已知函數 f(x)ex，當 x0，1時，求證：(1)f(x)1x；(2)(1x)f(x)1x.證明：(1)設 g(x)exx1，x0，1g(x)ex10，g(x)在0，1上是增函數，g(x)g(0)10