現(xiàn)代控制理論知識點(diǎn)匯總

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)空間表達(dá)式n階 A稱為系統(tǒng)矩陣，描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)之間的聯(lián)系；為輸入（或控制）矩陣，表示輸入對每個(gè)狀態(tài)變量的作用情況；C輸出矩陣，表示輸出與每個(gè)狀態(tài)變量間的組成關(guān)系，直接傳遞矩陣，表示輸入對輸出的直接傳遞關(guān)系。 狀態(tài)空間描述的特點(diǎn)考慮了“輸入狀態(tài)輸出”這一過程，它揭示了問題的本質(zhì)，即輸入引起了狀態(tài)的變化，而狀態(tài)決定了輸出。狀態(tài)方程和輸出方程都是運(yùn)動(dòng)方程。狀態(tài)變量個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)包含的獨(dú)立貯能元件的個(gè)數(shù)，n階系統(tǒng)有n個(gè)狀態(tài)變量可以選擇。狀態(tài)變量的選擇不唯一。從便于控制系統(tǒng)的構(gòu)成來說，把狀態(tài)變量選為可測量或可觀察的量更為合適。建立狀態(tài)空間描

2、述的步驟：a選擇狀態(tài)變量；b列寫微分方程并化為狀態(tài)變量的一階微分方程組；c將一階微分方程組化為向量矩陣形式，即為狀態(tài)空間描述。狀態(tài)空間分析法是時(shí)域內(nèi)的一種矩陣運(yùn)算方法，特別適合于用計(jì)算機(jī)計(jì)算。 模擬結(jié)構(gòu)圖（積分器加法器比例器）已知狀態(tài)空間描述，繪制模擬結(jié)構(gòu)圖的步驟：積分器的數(shù)目應(yīng)等于狀態(tài)變量數(shù)，將他們畫在適當(dāng)?shù)奈恢?，每個(gè)積分器的輸出表示相應(yīng)的某個(gè)狀態(tài)變量，然后根據(jù)狀態(tài)空間表達(dá)式畫出相應(yīng)的加法器和比例器，最后用箭頭將這些元件連接起來。 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 由系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式：a將各個(gè)環(huán)節(jié)（放大、積分、慣性等）變成相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖；b每個(gè)積分器的輸出選作，輸入則為；c由模擬圖寫出狀態(tài)方

3、程和輸出方程。 由系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式：如電路系統(tǒng)。通常選電容上的電壓和電感上的電流作為狀態(tài)變量。利用KVL和KCL列微分方程，整理。由描述系統(tǒng)的輸入輸出動(dòng)態(tài)方程式（微分方程）或傳遞函數(shù)，建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，即實(shí)現(xiàn)問題。實(shí)現(xiàn)是非唯一的。方法：微分方程系統(tǒng)函數(shù)模擬結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間表達(dá)式。熟練使用梅森公式。注意：a如果系統(tǒng)函數(shù)分子冪次等于分母冪次，首先化成真分式形式，然后再繼續(xù)其他工作。 b模擬結(jié)構(gòu)圖的等效。如前饋點(diǎn)等效移到綜合反饋點(diǎn)之前。p28 c對多輸入多輸出微分方程的實(shí)現(xiàn)，也可以先畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。5狀態(tài)矢量的線性變換。也說明了狀態(tài)空間表達(dá)的非唯一性。不改變系統(tǒng)的特征值。特征多

4、項(xiàng)式的系數(shù)也是系統(tǒng)的不變量。特征矢量的求解：也就是求的非零解。狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型（為任意矩陣）：主要是要先求出變換矩陣。a互異根時(shí)，各特征矢量按列排。b有重根時(shí)，設(shè)階系統(tǒng)，為單根，對特征矢量，求法與前面相同， 稱作的廣義特征矢量，應(yīng)滿足。系統(tǒng)的并聯(lián)實(shí)現(xiàn)：特征根互異；有重根。方法：系統(tǒng)函數(shù)部分分式展開模擬結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間表達(dá)式。6由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣的矩陣函數(shù)表示第j個(gè)輸入對第i個(gè)輸出的傳遞關(guān)系。狀態(tài)空間表達(dá)式不唯一，但系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣是不變的。子系統(tǒng)的并聯(lián)、串聯(lián)、反饋連接時(shí)，對應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)及傳遞函數(shù)陣。方法：畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，理清關(guān)系，用分塊矩陣表示。7離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表

5、達(dá)式及實(shí)現(xiàn)（模擬結(jié)構(gòu)圖）8時(shí)變系統(tǒng)：四個(gè)矩陣是時(shí)間t有關(guān)的。非線性系統(tǒng)：各微分方程組的右端含有狀態(tài)變量的非線性項(xiàng)。利用泰勒級數(shù)可以線性化。第二章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解一線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程（）的解：二矩陣指數(shù)函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1表示到的轉(zhuǎn)移。5個(gè)基本性質(zhì)。2的計(jì)算：a定義；b變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型 ,c用拉氏反變換 記憶常用的拉氏變換對 d應(yīng)用凱萊-哈密頓定理三線性定常系統(tǒng)非齊次方程（）的解：?？捎衫献儞Q法證明（當(dāng)然給出拉氏變換法的求解思路）。求解步驟：先求，然后將B和u(t)代入公式即可。特殊激勵(lì)下的解。四線性時(shí)變系統(tǒng)的解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣用來表示。的計(jì)算：當(dāng)時(shí)，；通常不等。不滿足乘法可交換條

6、件時(shí)，一般采用級數(shù)近似法：解為：五離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解（遞推法和Z變換法）遞推法為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；滿足解為，直接計(jì)算有一定困難，可采用這樣的步驟：先將原狀態(tài)方程化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型，求變換矩陣T，再求出，再得到。當(dāng)然，。Z變換法公式不用記憶，現(xiàn)推最好。；可見z;計(jì)算的用到的內(nèi)容：部分分式展開（先除z后乘z）；ZT對六連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化定常系統(tǒng)的離散化a. ；b.近似離散化即時(shí)變系統(tǒng)的離散化略第三章線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性一能控性及能觀性定義（線性連續(xù)定常、時(shí)變系統(tǒng)，離散時(shí)間系統(tǒng)）二線性定常系統(tǒng)的能控性判別（具有一般系統(tǒng)矩陣的多輸入系統(tǒng)）判別方法（一）：通過線性變換若A的特征值互異，

7、線性變換（）為對角線標(biāo)準(zhǔn)型，能控性充要條件：沒有全為的行。變換矩陣T的求法。若A的特征值有相同的，線性變換（）為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，能控性充要條件：對應(yīng)于相同特征值的部分，每個(gè)約當(dāng)塊對應(yīng)的中最后一行元素沒有全為的。中對應(yīng)于互異特征根部分，各行元素沒有全為的。變換矩陣T的求法。這種方法能確定具體哪個(gè)狀態(tài)不能控。但線性變換比較復(fù)雜，關(guān)鍵是求、。判別方法（二）：直接從，判別能控的充要條件是能控性判別矩陣的秩為n。在單輸入系統(tǒng)中，是一個(gè)的方陣；而多輸入系統(tǒng)，是一個(gè)的矩陣，可通過三線性定常系統(tǒng)的能觀性判別判別方法（一）：通過線性變換若A的特征值互異，線性變換（）為對角線標(biāo)準(zhǔn)型，能觀性充要條件：中沒有全為的列。變

8、換矩陣T的求法。若A的特征值有相同的，線性變換（）為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，能控性充要條件：對應(yīng)于相同特征值的部分，每個(gè)約當(dāng)塊對應(yīng)的中第一列元素沒有全為的。對應(yīng)于互異特征根部分，對應(yīng)的中各列元素沒有全為的。變換矩陣T的求法。這種方法能確定具體哪個(gè)狀態(tài)不能觀。但線性變換比較復(fù)雜，關(guān)鍵是求、。判別方法（二）：直接從，C判別能觀性的充要條件是能觀性判別矩陣的秩為n。在單輸入系統(tǒng)中，是一個(gè)的方陣；而多輸入系統(tǒng)，是一個(gè)的矩陣，可通過四離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性與能觀性能控性充要條件的秩為n。能控性充要條件的秩為n。五時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀性（與定常系統(tǒng)不同）在上狀態(tài)能控的充要條件是格拉姆矩陣非奇異。與一樣么？這種方法要求

9、先計(jì)算出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，如果無法寫成閉解，則失去工程意義。使用信息，其中，如果存在某個(gè)時(shí)刻，使得，則系統(tǒng)在上是狀態(tài)完全能控的。能觀性判別與能控性類似，也可以使用格拉姆矩陣，但工作量太大。可使用信息：，其中，如果存在某個(gè)時(shí)刻，使得，則系統(tǒng)在上是狀態(tài)完全能觀測的。六能控性與能觀性的對偶原理若，則與對偶。對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣是互為轉(zhuǎn)置的。且他們的特征方程式是相同的。與對偶，則能控性等價(jià)于能觀性，能觀性等價(jià)于能控性。時(shí)變系統(tǒng)的對偶原理？七能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型對于狀態(tài)反饋，化為能控標(biāo)準(zhǔn)型比較方便；對于觀測器的設(shè)計(jì)及系統(tǒng)辨識，能觀標(biāo)準(zhǔn)型比較方便。 能控標(biāo)準(zhǔn)型（如果已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式）判別系統(tǒng)的能控性

10、。計(jì)算特征多項(xiàng)式，即可寫出。求變換矩陣，。求，計(jì)算，也可以驗(yàn)證是否有。 能控標(biāo)準(zhǔn)型 判別系統(tǒng)的能控性。計(jì)算特征多項(xiàng)式，即可寫出。求變換矩陣。求，計(jì)算，也可以驗(yàn)證是否有。 能觀標(biāo)準(zhǔn)型判別系統(tǒng)的能觀性。計(jì)算特征多項(xiàng)式，即可寫出。求變換矩陣。求，計(jì)算，也可以驗(yàn)證是否有。 能觀標(biāo)準(zhǔn)型判別系統(tǒng)的能觀性。計(jì)算特征多項(xiàng)式，即可寫出。求變換矩陣，。求，計(jì)算，也可以驗(yàn)證是否有。 如果已知傳遞函數(shù)陣，可直接寫出能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間表達(dá)。能控標(biāo)準(zhǔn)型：能觀標(biāo)準(zhǔn)型：八線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解1按能控性分解（狀態(tài)不完全能控，即），通過非奇異變換完成。，前個(gè)列矢量是M中個(gè)線性無關(guān)的列，其他列矢量保證非奇異的條件下是任

11、意的。2按能觀性分解（狀態(tài)不完全能觀，即），通過非奇異變換完成。，前個(gè)行矢量是N中個(gè)線性無關(guān)的行，其他行矢量保證非奇異的條件下是任意的。3按能控性和能觀性分解（系統(tǒng)是不完全能控和不完全能觀的），采用逐步分解法，雖然煩瑣，但直觀。步驟：首先按能控性分解（能控狀態(tài)，不能控狀態(tài)）。對不能控子系統(tǒng)按能觀性分解（不能控能觀狀態(tài)，不能控不能觀狀態(tài)）。將能控子系統(tǒng)按能觀性分解（能控能觀狀態(tài)，能控不能觀狀態(tài)）。綜合各步變換結(jié)果，寫出最后的表達(dá)式。 另一種方法：化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，判斷各狀態(tài)的能控性能觀測性，最后按4種類型分類排列。九傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)問題1實(shí)現(xiàn)的定義：由寫出狀態(tài)空間表達(dá)式，甚至畫出模擬結(jié)構(gòu)圖，稱為傳

12、遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)問題。 條件：傳遞函數(shù)陣中每個(gè)元的分子分母多項(xiàng)式都是實(shí)常數(shù)；元是s的真有理分式。注意：如果不是有理分式，首先求出直接傳遞矩陣。2能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) 單入單出系統(tǒng)，是有理分式，可直接根據(jù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù)寫出能控標(biāo)準(zhǔn)1型和能觀標(biāo)準(zhǔn)2型實(shí)現(xiàn)。多輸入多輸出系統(tǒng)，是矩陣，將整理成和單入單出系統(tǒng)傳遞函數(shù)相類似的形式，即；此時(shí)的是維常數(shù)陣。其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)與單入單出系統(tǒng)類似，只是各矩陣中的0變?yōu)槿憔仃嚕?變?yōu)閱挝痪仃嘔，常數(shù)變?yōu)槌?shù)乘單位矩陣，即。注意：能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的維數(shù)是；能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的維數(shù)是。3最小實(shí)現(xiàn)（維數(shù)最小的實(shí)現(xiàn)）為最小實(shí)現(xiàn)的充要條件是是完全能控能觀的。步

13、驟：對給定的，初選一種實(shí)現(xiàn)（能控標(biāo)準(zhǔn)型或能觀標(biāo)準(zhǔn)型），假設(shè)選能控標(biāo)準(zhǔn)型，判斷是否完全能觀測，若完全能觀測則就是最小實(shí)現(xiàn)；否則進(jìn)行能觀性分解，進(jìn)一步找出能控能觀部分，即為最小實(shí)現(xiàn)。注意：傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)不是唯一的，最小實(shí)現(xiàn)也不是唯一的。十傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)對消與能控性和能觀性之間的關(guān)系對單輸入系統(tǒng)、單輸出系統(tǒng)或者單輸入單輸出系統(tǒng)，系統(tǒng)能控能觀的充要條件是傳遞函數(shù)沒有零極點(diǎn)對消。而對多輸入多輸出系統(tǒng)，傳遞函數(shù)陣沒有零極點(diǎn)對消只是最小實(shí)現(xiàn)的充分條件，也就是說，即使存在零極點(diǎn)對消，系統(tǒng)仍有可能是能控能觀的（p147 例3-19）。對單輸入單輸出系統(tǒng)，若傳遞函數(shù)出現(xiàn)了零極點(diǎn)對消，還不能判斷到底是不能控還是

14、不能觀，還是既不能控又不能觀。第四章 穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法一 穩(wěn)定性的定義李雅普諾夫給出了對任何系統(tǒng)都普遍適用的穩(wěn)定性定義。1平衡狀態(tài)為齊次狀態(tài)方程。滿足對所有t，都有成立的狀態(tài)矢量稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。穩(wěn)定性問題都是相對于某個(gè)平衡狀態(tài)而言的。通常只討論坐標(biāo)原點(diǎn)處的穩(wěn)定性。2穩(wěn)定性的幾個(gè)定義李雅普諾夫意義下穩(wěn)定，（相當(dāng)于自控里的臨界穩(wěn)定）；漸近穩(wěn)定，（相當(dāng)于自控里的穩(wěn)定）；大范圍漸近穩(wěn)定，大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是整個(gè)狀態(tài)空間只有一個(gè)平衡狀態(tài)；不穩(wěn)定。二 李雅普諾夫第一法（間接法）1線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)狀態(tài)穩(wěn)定性：平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充要條件是A的所有特征值具有負(fù)實(shí)部。輸出穩(wěn)定性：充要條件是傳

15、遞函數(shù)的極點(diǎn)位于s的左半平面。2非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性化處理。；，若A的所有特征值具有負(fù)實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定。若A的所有特征值至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。若若A的所有特征值至少有實(shí)部為零，則穩(wěn)定性不能有特征值的符號來確定。三李雅普諾夫第二法（直接法） 借助于一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)來直接對平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出判斷。1預(yù)備知識是由n維矢量x定義的標(biāo)量函數(shù)，且在處，恒有，對任何非零矢量x，如果，則稱之為正定；如果，則稱之為負(fù)定；如果則稱之為半正定或非負(fù)定；如果則稱之為半負(fù)定或非正定；如果或，則稱之為不定。為二次型標(biāo)量函數(shù)，為實(shí)對稱陣。要判別的符號只要判別的符號

16、即可。的定號判據(jù)（希爾維特斯判據(jù)）：首先求出的各階順序主子式，若所有的，則（）正定；若的，的則（）負(fù)定；2李雅普諾夫函數(shù)對于一個(gè)給定系統(tǒng)，如果能找到一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)，而是負(fù)定的，則這個(gè)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，這個(gè)標(biāo)量函數(shù)叫做李雅普諾夫函數(shù)。李雅普諾夫第二法的關(guān)鍵問題就是尋找李雅普諾夫函數(shù)的問題。穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)，平衡狀態(tài)為，如果存在標(biāo)量函數(shù)是正定的，即時(shí)，有，時(shí)，有，且滿足，則稱原點(diǎn)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的；如果當(dāng)時(shí)，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。設(shè)，平衡狀態(tài)為，如果存在標(biāo)量函數(shù)是正定的，即時(shí)，有，時(shí)，有，且滿足，但除外，即，不恒等于，則稱原點(diǎn)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的；如果當(dāng)時(shí)，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。設(shè)，平衡

17、狀態(tài)為，如果存在標(biāo)量函數(shù)是正定的，即時(shí)，有，時(shí)，有，且滿足，但任意的，恒等于，則稱原點(diǎn)平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。設(shè)，平衡狀態(tài)為，如果存在標(biāo)量函數(shù)是正定的，即時(shí)，有，時(shí)，有，且滿足，則稱原點(diǎn)平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。需要注意：這些判據(jù)定理知識充分條件，也就是說，沒有找到合適的李雅普諾夫函數(shù)來證明原點(diǎn)的穩(wěn)定性，不能說明原點(diǎn)一定是不穩(wěn)定的。如果是可找到的，那么通常是非唯一的，但不影響結(jié)論。最簡單的形式是二次型標(biāo)量函數(shù)，但不一定都是簡單的二次型。構(gòu)造需要較多技巧。四李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)定理：，若A是非奇異的，原點(diǎn)是唯一的平衡點(diǎn)。原點(diǎn)大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是對

18、任意對稱實(shí)正定矩陣，李雅普諾夫方程，存在唯一的對稱正定解。該定理等價(jià)于的特征值具有負(fù)實(shí)部。但高階系統(tǒng)求解特征值復(fù)雜。步驟：選定正定矩陣，通常為，代入李雅普諾夫方程，確定出，判斷是否正定，進(jìn)而做出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的結(jié)論。線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)定理：，在平衡點(diǎn)大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是對任意對稱實(shí)正定矩陣，李雅普諾夫方程，存在唯一的對稱正定解。線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)定理：在平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充要條件是，對任意對稱實(shí)正定矩陣，離散李雅普諾夫方程，存在唯一的對稱正定解。該定理等價(jià)于G的特征值均在單位圓內(nèi)。步驟：選定正定矩陣，通常為，代入離散李雅普諾夫方程，確定出，判斷是否正定，進(jìn)而做出系統(tǒng)漸近穩(wěn)

19、定的結(jié)論。五非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析雅可比矩陣法步驟：，寫出，計(jì)算雅可比矩陣，對給定正定矩陣（通常），為正定的。并且為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。變量梯度法第五章 線性定常系統(tǒng)的綜合綜合：常規(guī)綜合，使系統(tǒng)性能滿足某種籠統(tǒng)指標(biāo)要求；最優(yōu)綜合，使系統(tǒng)性能指標(biāo)在某種意義下達(dá)到最優(yōu)。一線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性1狀態(tài)反饋 將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。K稱為狀態(tài)反饋增益陣，。設(shè)原受控系統(tǒng)，=0。狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式簡稱與原受控系統(tǒng)比較，狀態(tài)反饋增益陣的引入，并不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但可以通過的選擇改變閉環(huán)系統(tǒng)的特

20、征值，從而使獲得所要求的性能。2輸出反饋由輸出端y引入輸出反饋增益陣H（），然后反饋到輸入端與參考輸入相加，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。狀態(tài)空間表達(dá)式為簡稱通過的選擇也可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而改變性能，但可供選擇的自由度遠(yuǎn)比?。ㄍǔ＃?。從輸出到狀態(tài)變量導(dǎo)數(shù)的反饋從輸出y引入反饋增益陣G（）到狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)，所得狀態(tài)空間表達(dá)式為簡稱通過的選擇也可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而改變性能。以上三種反饋的共同點(diǎn)是，不增加新的狀態(tài)變量，系統(tǒng)開環(huán)與閉環(huán)同維，其次，反饋增益陣都是常數(shù)矩陣，反饋為線性反饋。閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性a狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性，但不保證系統(tǒng)的能觀性不變。b輸出反饋不改變受控

21、系統(tǒng)的能控性和能觀性。二極點(diǎn)配置問題就是通過選擇反饋增益矩陣，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在根平面所期望的位置，以獲得所希望的動(dòng)態(tài)性能。只討論單輸入單輸出系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋對系統(tǒng)任意配置極點(diǎn)的充要條件是完全能控。給定，給定期望的極點(diǎn)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器的方法：能控規(guī)范型法，適合于。首先判斷是否完全能控，是，則存在狀態(tài)觀測器。通過線性變換化為能控標(biāo)準(zhǔn)型，得到。加入狀態(tài)反饋增益矩陣,得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式，求出對應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。由給定的期望極點(diǎn)，求出期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。將與比較，即可得到。把對應(yīng)與的，通過 。進(jìn)一步畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。當(dāng)階次較低時(shí)，可直接由反映物理系統(tǒng)的A,b矩陣求狀態(tài)反饋增益矩陣

22、，不通過非奇異變換，使設(shè)計(jì)工作簡單。首先判斷是否完全能控，是，則存在狀態(tài)觀測器。加入狀態(tài)反饋增益矩陣,得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式，求出對應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。由給定的期望極點(diǎn)，求出期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。將與比較，即可得到。進(jìn)一步畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。注意，如果給定的是傳遞函數(shù)，則先畫出其要求的模擬結(jié)構(gòu)圖，寫出狀態(tài)空間描述，然后做其他工作。2采用輸出反饋不能任意極點(diǎn)配置，正是輸出線性反饋的基本弱點(diǎn)。采用從輸出到的反饋對系統(tǒng)任意配置極點(diǎn)的充要條件是完全能觀。設(shè)計(jì)從輸出到的反饋陣的問題就是其對偶系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣的問題。方法：（）能觀標(biāo)準(zhǔn)型法，適合于。首先判斷是否完全能觀，是，則存在輸出反饋。通過線性變換化

23、為能觀標(biāo)準(zhǔn)型，得到。加入輸出反饋增益矩陣,得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式，求出對應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。由給定的期望極點(diǎn)，求出期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。將與比較，即可得到。把對應(yīng)與的，通過 。進(jìn)一步畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。當(dāng)階次較低時(shí)，可直接由反映物理系統(tǒng)的A,c矩陣求狀態(tài)反饋增益矩陣，不通過非奇異變換，使設(shè)計(jì)工作簡單。首先判斷是否完全能觀，是，則存在輸出反饋。加入從輸出到的反饋增益矩陣,得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式，求出對應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。由給定的期望極點(diǎn)，求出期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。將與比較，即可得到。進(jìn)一步畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。三系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題所謂系統(tǒng)鎮(zhèn)定，是對受控系統(tǒng)通過反饋使其極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，保證系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定

24、。鎮(zhèn)定問題是極點(diǎn)配置問題的一種特殊情況，它只要求把閉環(huán)極點(diǎn)配置在根平面的左側(cè)，而并不要求將閉環(huán)極點(diǎn)嚴(yán)格地配置在期望極點(diǎn)上。狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是結(jié)構(gòu)分解中能控能觀子系統(tǒng)是輸出反饋能鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。輸出到的反饋實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定的充要條件是不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。四系統(tǒng)解藕問題目的是尋求適當(dāng)?shù)目刂埔?guī)律，使輸入輸出相互關(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)每一個(gè)輸出僅受相應(yīng)的一個(gè)輸入控制，每一個(gè)輸入也僅能控制相應(yīng)的一個(gè)輸出，這樣的問題稱為解藕問題。2定義：若系統(tǒng)m維輸入m維輸出，其傳遞函數(shù)矩陣是一個(gè)對角線有理多項(xiàng)式矩陣，則稱該系統(tǒng)是解藕的。方法：前饋補(bǔ)償

25、器解耦：待解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，在其前面串接一個(gè)前饋補(bǔ)償器傳遞函數(shù)為，使整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為，滿足對角線有理多項(xiàng)式特點(diǎn)。其中。狀態(tài)反饋解藕。如何設(shè)計(jì)和，使系統(tǒng)從v 到y(tǒng)是解藕的。設(shè)計(jì)步驟。五狀態(tài)觀測器作用：閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置、系統(tǒng)解藕以及最優(yōu)控制系統(tǒng)都離不開狀態(tài)反饋。但狀態(tài)變量并不是都能直接檢測，有些根本無法檢測，這就提出狀態(tài)觀測或狀態(tài)重構(gòu)問題。龍伯格提出的狀態(tài)觀測器理論，解決的狀態(tài)重構(gòu)問題，使?fàn)顟B(tài)反饋成為一種可實(shí)現(xiàn)的控制律。定義：動(dòng)態(tài)系統(tǒng)以的輸入u和輸出y作為輸入量，產(chǎn)生一組輸出量逼近于，即，則稱為的一個(gè)狀態(tài)觀測器。構(gòu)造原則：必須是完全能觀或不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；的輸出應(yīng)以足夠快的速度

26、漸近于；在結(jié)構(gòu)上盡可能簡單（具有盡可能低的維數(shù)），以便于物理實(shí)現(xiàn)。等價(jià)性指標(biāo)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)原系統(tǒng)得到只要系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即的特征值具有負(fù)實(shí)部，就可做到與是穩(wěn)態(tài)等價(jià)的。重構(gòu)狀態(tài)方程原因：系統(tǒng)的狀態(tài)是不能直接量測的，因此很難判斷是否有逼近于；不一定能保證的特征值均具有負(fù)實(shí)部?？朔@個(gè)困難，用對輸出量的差值的測量代替對狀態(tài)誤差的測量，當(dāng)，有。同時(shí)，引入反饋陣，使系統(tǒng)的特征值具有負(fù)實(shí)部。狀態(tài)重構(gòu)方框圖為p213 5.16(a) 要求熟練記憶，這種狀態(tài)觀測器稱為漸近觀測器。狀態(tài)觀測器方程為記為這里的G稱為輸出誤差反饋矩陣?？梢宰C明，如果的特征值具有負(fù)實(shí)部，那么狀態(tài)誤差將逐漸衰減到，即估計(jì)狀態(tài)逼近于實(shí)際的狀態(tài)。逼

27、近的速度取決于G的選擇，即的特征值的配置。觀測器的存在性對于完全能觀測的線性定常系統(tǒng)，其觀測器總是存在的。觀測器存在的充要條件是不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。觀測器的極點(diǎn)配置定理：線性定常系統(tǒng)，其觀測器可以任意配置極點(diǎn)，即具有任意逼近速度的充要條件是完全能觀測。極點(diǎn)配置方法：（）能觀標(biāo)準(zhǔn)型法，適合于。首先判斷是否完全能觀，是，存在觀測器可以任意極點(diǎn)配置。通過線性變換化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型，得到。加入輸出誤差反饋陣,得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式，求出對應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。由給定的期望極點(diǎn)，求出期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。將與比較，即可得到。把對應(yīng)與的，通過 。得觀測器方程，進(jìn)一步畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。當(dāng)階次較低時(shí)，可由特

28、征值不變原理求狀態(tài)反饋增益矩陣，不通過非奇異變換，使設(shè)計(jì)工作簡單。首先判斷是否完全能觀，是，則存在觀測器可以任意極點(diǎn)配置。引入輸出誤差反饋矩陣,得到觀測器系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。求出對應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。由給定的期望極點(diǎn)，求出期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。將與比較，即可得到。得觀測器方程，進(jìn)一步畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。 降維觀測器觀測器維數(shù)與受控系統(tǒng)相同，稱為全維觀測器。如果有些狀態(tài)變量能由輸出y直接獲得，那么僅對其余的狀態(tài)變量用降維觀測器進(jìn)行重構(gòu)即可。步驟：通過線性變換把狀態(tài)按能檢測性分解。（n-m）維狀態(tài)變量需要重構(gòu)，m維狀態(tài)變量由直接獲得。對構(gòu)造（n-m）維觀測器。 詳細(xì)步驟通過實(shí)例熟悉。六利用狀態(tài)觀測器實(shí)

29、現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)（帶觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)）1系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)空間表達(dá)結(jié)構(gòu)框圖要非常熟悉 p221 圖5.21前提：受控系統(tǒng)完全能控能觀，狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)和觀測器都可以任意極點(diǎn)配置。受控系統(tǒng) 式狀態(tài)觀測器 式反饋控制率式整理得整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 也可寫成矩陣形式顯然，這是一個(gè)2n維的閉環(huán)控制系統(tǒng)。2閉環(huán)系統(tǒng)的基本性質(zhì)（1）分離性 復(fù)合系統(tǒng)（由觀測器構(gòu)成的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)）其特征多項(xiàng)式等于矩陣和特征多項(xiàng)式的乘積。即閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)等于直接狀態(tài)反饋（）的極點(diǎn)和狀態(tài)觀測器（）的極點(diǎn)總和，且相互獨(dú)立。所以輸出誤差反饋陣和狀態(tài)反饋陣K可以分別進(jìn)行設(shè)計(jì)。（2）傳遞函數(shù)矩陣的不變性可以推出復(fù)合系統(tǒng)

30、的傳遞函數(shù)為，等于直接狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?；蛘哒f它與采用觀測器反饋無關(guān)。（）觀測器反饋與直接狀態(tài)反饋的等效性穩(wěn)態(tài)時(shí)，兩者等價(jià)。選擇，可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)到期望極點(diǎn)，從而改善系統(tǒng)性能。選擇，可以改變觀測器的極點(diǎn)，從而加速使?fàn)顟B(tài)誤差衰減到。一般取觀測器的極點(diǎn)比閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)（）的極點(diǎn)）略負(fù)，既保證狀態(tài)誤差有較快的衰減速度，又不致引人更多的噪聲干擾。設(shè)計(jì)步驟(只給出低階系統(tǒng)的設(shè)計(jì)步驟)：判斷原受控系統(tǒng)的能控性能觀性，是完全能控能觀，則狀態(tài)反饋陣和觀測器輸出誤差反饋陣存在，且閉環(huán)系統(tǒng)和觀測器極點(diǎn)可以任意配置。設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣：求的特征多項(xiàng)式，由期望的閉環(huán)極點(diǎn)得期望的特征多項(xiàng)式，比較系數(shù)，從

31、而得到。設(shè)計(jì)觀測器輸出誤差反饋陣：求的特征多項(xiàng)式，由觀測器期望的配置極點(diǎn)得期望的特征多項(xiàng)式，比較系數(shù)，從而得到。給出觀測器方程即式。結(jié)合1式和3式，畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。第六章 最優(yōu)控制三種設(shè)計(jì)最優(yōu)控制系統(tǒng)的方法：古典變分法、極小值原理、動(dòng)態(tài)規(guī)劃一概述在最優(yōu)控制系統(tǒng)中，由于受控對象是一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，所有變量都是時(shí)間的函數(shù)，所以這是動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題。這時(shí)目標(biāo)函數(shù)不再是普通的函數(shù)，而是時(shí)間函數(shù)的函數(shù)，稱為泛函。在上目標(biāo)泛函為，基本約束條件是受控對象的狀態(tài)方程，是標(biāo)量泛函數(shù)，L標(biāo)量函數(shù)（是矢量u(t),x(t)的函數(shù)），x(t)是n維狀態(tài)矢量，u(t)是r維控制矢量。二研究最優(yōu)控制的前提條件（1）給出受

32、控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)描述，即狀態(tài)方程 連續(xù) 離散（2）明確控制作用域（3）明確初始條件 通常給定，若給定，稱為固定始端。若任意，則稱謂自由始端。（4）明確終端條件 固定終端 自由終端 可變終端（5）給出目標(biāo)泛函即性能指標(biāo) 連續(xù) 離散 等式右邊第一項(xiàng)反映對終端性能的要求，稱為終端指標(biāo)函數(shù)。第二項(xiàng)L為狀態(tài)控制過程中對動(dòng)態(tài)品質(zhì)及能量或燃料消耗的要求等，稱為動(dòng)態(tài)指標(biāo)函數(shù)。若不考慮終端指標(biāo)函數(shù)，僅有第二項(xiàng)則稱為拉格郎日型（或積分型）。若僅有第一項(xiàng)，則稱為終端型（梅耶型）。最優(yōu)控制問題就是在約束條件下尋求最優(yōu)控制u(t)，受控系統(tǒng)在上，從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)時(shí)，性能指標(biāo)J取極值。滿足條件的u(t)稱為最優(yōu)控制，

33、這時(shí)狀態(tài)方程的解稱為最優(yōu)軌線，此時(shí)的性能指標(biāo)稱為最優(yōu)指標(biāo)。三靜態(tài)最優(yōu)化問題的解（）多元函數(shù)的極值這里 取極值的必要條件是，取極小值還需滿足海賽矩陣正定。（）具有等式約束的極值a 嵌入法先從目標(biāo)函數(shù)解出一個(gè)變量，代入目標(biāo)函數(shù)，即成為沒有目標(biāo)約束的函數(shù)。b 拉格朗日乘子法將約束條件乘以，與目標(biāo)函數(shù)相加，構(gòu)成一個(gè)新的可調(diào)整的沒有約束的多元函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)約束條件，新函數(shù)是與g同維的列矢量。目標(biāo)函數(shù)存在極值的必要條件是四泛函及其極值變分法動(dòng)態(tài)最優(yōu)控制中的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)泛函數(shù)，因此動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題可以歸結(jié)為求泛函極值問題。變分法概念在控制系統(tǒng)中，自變量是t，宗量函數(shù)是狀態(tài)矢量，因此，而，所以，可以寫成，是積分型泛函。的值取決于函數(shù)，所以是的泛函。求最優(yōu)控制，就是尋求使性能泛函J取極值的。泛函的變分：泛函的變分定義為，多元函數(shù)的變分：多元函數(shù)取極值的必要條件是泛函極值的必要條件歐拉方程求泛函的極小值，就是確定使達(dá)到極小值。定理：設(shè)曲線的始點(diǎn)為，終點(diǎn)為，則使性能泛函取極值的必要條件是：是二階微分方程的解。稱為歐拉方程。其中實(shí)例熟悉步驟。歐拉方程是二階微分方程，求解時(shí)有兩個(gè)常數(shù)待定。對固定端點(diǎn)問題，給定，邊界條件，可以確定常數(shù)。對于自由端點(diǎn)問題，應(yīng)有橫截條件來補(bǔ)足。多元泛函的極值條件歐拉方程組取極值的必要條件是：是二階微分方程組的解。實(shí)例熟悉步驟。p252可變終端問