曲面的第一基本形式在曲面論中的作用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上曲面的第一基本形式在曲面論中的作用 微分幾何學(xué)主要是運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論研究空間曲線或曲面在它一點(diǎn)領(lǐng)域的性質(zhì)，是研究一般的曲線在小范圍上的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分類學(xué)科1827年高斯發(fā)表的關(guān)于曲面的一般研究著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了現(xiàn)代形式曲面論的基礎(chǔ)高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和根本性的內(nèi)容，建立了曲面的內(nèi)在幾何學(xué)主要思想是強(qiáng)調(diào)了曲面上只依賴于第一基本形式的性質(zhì)，例如曲面上曲面的長度、兩條曲線的夾角、曲面上區(qū)域的面積、測地線、測地線曲率和總曲率等等他的理論奠定了近代形式曲面論的基礎(chǔ)1 曲面的第一基本形式的定義及計(jì)算公式 給出曲面：上的曲線

2、（）;或?qū)τ谇€（）有,或者若以s表示曲面上曲線的弧長，則 令，則有這是關(guān)于的一個二次形式，稱為曲面S的第一基本形式表示為 它的系數(shù) 稱為曲面S的第一基本量1（P67-68）例 求球面的第一基本形式解 可得出 由此得到曲面的第一基本量為 因而 曲面的第一基本形式在曲面論中占有非常重要的地位而對于曲面的特殊參數(shù)表示有由定義得曲面的第一基本形式為由上式知，又根據(jù)拉格朗日恒等式可知第一基本形式的判別式 因此第一基本量滿足不等式這表明第一基本形式是正定的，這個結(jié)論也可由直接得出2 第一基本形式在求曲線弧長的作用由曲面的第一基本形式的定義知以s表示曲面上曲線的弧長,則有這個二次形式可以決定曲面上曲線的弧

3、長，設(shè)曲線（C）上兩點(diǎn)則弧長為 S=從而對曲線弧長的求法提供了一種更簡潔的解法3 利用第一基本形式求曲面上兩方向的夾角前面已經(jīng)提到過曲面上一點(diǎn)()的切方向稱曲面上的方向，它只能表示為其中和是過點(diǎn)的坐標(biāo)曲線的切向量給定了曲面的參數(shù)表示式后和是已知的，因此給出了一方向就等于給出一對值不過方向和的長度無關(guān)，所以給出就能確定曲面的一方向我們以后經(jīng)常用（）或表示曲面上的一方向1（P80-82）給出曲面上兩方向（）和(),我們把向量和間的夾角稱為方向（）和（)間的角 即由這個公式可以推出曲面上兩個方向（）和()垂直的條件是：例 在曲面上一點(diǎn)，含的二次方程：確定兩個切方向（）和（）證明這兩個方向互相垂直的充

4、要條件是 證明 因?yàn)椴荒芡瑫r為0不妨假設(shè)讓兩端同除以可以化為 又因?yàn)榉匠逃袃蓚€切方向（）和()， 所以但是兩方向（）和（）垂直， 則有即 從而得 所以  此外我們還可以求出坐標(biāo)曲線-曲線（=常數(shù)）和-曲線（=常數(shù)）的夾角的表達(dá)式，因?yàn)楹褪亲鴺?biāo)曲線的切向量，所以間的夾角為:由此推出曲面的坐標(biāo)網(wǎng)是正交的必要條件是4 正交曲線族和正交軌線給出兩族曲線如果它們正交，由可以得出（）即或如果給出一族曲線則另一族和它正交的曲線稱為這族曲線的正交軌線從(1)中可以看出正交軌線的微分方程是即5 利用第一基本形式可求曲面域的面積設(shè)曲面S：給出曲面S上一個區(qū)域D，我們將推導(dǎo)其面積的計(jì)算公式首先把曲面域用坐

5、標(biāo)曲線u=常數(shù)與v=常數(shù)剖分成完整的和不完整的曲邊四邊形 u-曲線和v-曲線越密，那些完整的曲邊四邊形就越接近平行四邊形，而那些不完整的曲邊四邊形的面積子整個曲面域面積里所占的比重就越小，以至于可以略去   取以點(diǎn)為頂點(diǎn)的曲邊四邊形，可以近似地把它換成切平面上的平行四邊形這個平行四邊形一以切于坐標(biāo)曲線的向量與為邊我們把所取的曲邊四邊形的面積可以認(rèn)為近似地等于,為邊的平行四邊形的面積   由于平行四邊形的面積等于兩邊之積再乘以他們夾角的正弦 于是上述的平行四邊形 的面積因此曲面域D的面積可由二重積分來表示：的面積= 這里的區(qū)域D是曲面域D相應(yīng)的平面上的區(qū)域

6、由于 所以 的面積= 由此我們看到的曲面上曲線的弧長，曲面上兩方向的夾角以及曲面域的面積都可以用第一基本形式來表示僅由第一基本形式出發(fā)所建立的集合性質(zhì)稱為曲面的內(nèi)在性質(zhì)（或內(nèi)蘊(yùn)性），以上這些性質(zhì)都是曲面的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)6 等距變換和保角變換上的作用定義11（P75-78） 曲面之間的一個變換如果它保持曲面上任意趨向的長度不變，則這個變化稱為等距變換（保長變換） 定義21（P78-81） 曲面之間的一個變換如果使曲面上對應(yīng)曲線的夾角相等，則這個變換稱為保角變換（保形變換）顯然每一個等距變換都是保角變換，但保角變換一般不是等距變換而我們在上面所述的曲面的弧長，夾角，曲面與的面積等都是

7、等距不變量（保長不變量）今后我們把曲面上這種僅僅由表示出來的幾何量稱曲面的內(nèi)蘊(yùn)量利用等距變換的概念，我們可以把曲面進(jìn)行一種分類：使等距等價(jià)的曲面屬于同一類，不等距等價(jià)的曲面屬于不同類，根據(jù)這種分類，則每一個可展曲面和平面是同類的我們說根據(jù)等距等價(jià)的曲面有相同的內(nèi)在性質(zhì)，因?yàn)檫@樣的性質(zhì)不因曲面的彎曲而改變當(dāng)曲面受到彎曲時，曲面的外表（曲面與其所在的外界空間的關(guān)系）改變了，但內(nèi)在性質(zhì)沒有變例如我們可以把一張彎曲成各式各樣的可展曲面，從外表看，他們很不相像，但它們卻有完全相同的內(nèi)在性質(zhì)必須指出的是，無論談等距變換、彎曲、貼合或內(nèi)在性質(zhì)，一般總是限于有關(guān)曲面的一定范圍以內(nèi)例如在懸鏈面和正螺面的等距對應(yīng)

8、中，懸鏈面上每一個圓僅僅對應(yīng)于一條圓柱螺線的一段；圓是閉曲線而圓柱螺線則不是，這兩個曲面不但“局部”的內(nèi)在性質(zhì)是相同的，而且相關(guān)大面積的內(nèi)在性質(zhì)也是相同的，但我們不說，它們有相同的“整體（如果不是指相對的整體而是指絕對的整體）的內(nèi)在性質(zhì)”7 曲面的高斯曲率的應(yīng)用在曲面論的許多問題中，運(yùn)用的較多的是高斯曲率設(shè)為曲面上的一點(diǎn)的主曲率，則它們的乘積稱為曲面在這一點(diǎn)的高斯曲率 通常以表示，即 其中那么如何運(yùn)用高斯曲率確定曲面的第一基本形式需要進(jìn)一步的驗(yàn)證 假設(shè)曲面的高斯曲率是常數(shù)在曲面上取測地平行坐標(biāo)系,因而它的第一基本形式為且滿足條件： 根據(jù)高斯曲率的內(nèi)蘊(yùn)表達(dá)式， 有所以作為的函數(shù)，滿足二階常數(shù)齊次

9、方程初始條件是，根據(jù)的不同符號，方程（1）在初始條件（2）的解分別是 （1） (2) ； （3） 則常曲率曲面的第一基本形式分別為）：2（P62-78）若有正常數(shù)高斯曲率, 若的高斯曲率為零， ，若有負(fù)常數(shù)高斯曲率，由上面的結(jié)論可推出：由相同的常數(shù)高斯曲率的曲面，在局部上必定可以彼此建立保長對應(yīng) 由此不難看出，高斯曲率是曲面的內(nèi)蘊(yùn)量 在曲面論的研究中發(fā)揮了重要作用 對上面的課題的研究只是曲面的第一基本形式的重要推廣，而更為重要的是引用曲面的第一基本形式為以后討論曲面彎曲性質(zhì)的第二基本形式共同構(gòu)成了曲面論的基本定律故對于后面的曲線網(wǎng)及各種曲率都離不開第一基本形式的作用，這里著重討論了高斯曲率，因?yàn)樗芯康那娑际呛瓦@個曲率相關(guān)的，以及后面的測地線曲率都是和曲率相關(guān)的而又有第一基本形式的參數(shù)決定，所以第一基本形式是很重要的8 第一基本形式在實(shí)踐中的應(yīng)用在生活實(shí)踐中，很多方面都涉及到微分幾何知識如何靈活而有效的利用曲面的微分幾何知識，顯得至關(guān)重要在外形設(shè)計(jì)上，把它作為曲面造型的輔助工具，是一項(xiàng)富有實(shí)用價(jià)值的研究課題近年來這方面的研究也較為活潑，已有相當(dāng)多的文獻(xiàn)給出參數(shù)曲面，網(wǎng)絡(luò)曲面，點(diǎn)云曲面上的測地線的計(jì)算方法，以及在蓬帆制造3（P1371