學(xué)而思高中物理競賽講義7

1、 第9講 曲線運動動力學(xué)解釋本講提示： 1.本講的理論推導(dǎo)盡量在聽懂的基礎(chǔ)上自己能獨立完成，不然容易留下“心理陰影”。 2.新課為了激發(fā)興趣肯定盡量結(jié)合實際講，但是學(xué)習(xí)完后應(yīng)該對理論有完整體系的認識。 總得來說，做好受虐的心理準備，聽不懂回家死磕，實在不行記得讓老師下講復(fù)習(xí)。 知識點睛曲線運動中的加速度 我們研究曲線運動，運用的坐標系不同，加速度分量式是不同。物理學(xué)研究的時候根據(jù)研究問題的特點不同，采用的坐標系經(jīng)常不一樣，比如直角坐標系，自然坐標系，極坐標系，球坐標系，注坐標系等，在高一暑假的講義上，我們曾經(jīng)鋪墊過一些，本講繼續(xù)討論。 在普通的直角坐標系中，分加速度容易理解，每個坐標方向相互獨

2、立。記為：對應(yīng)的動力學(xué)方程就是牛頓定律分量式，具體的應(yīng)用參考我們對于拋體以及恒力曲線運動的處理，這個方法比較適合恒力作用下的曲線運動。由于淺顯易懂，本講不再重復(fù)。1.自然坐標系以及加速度分量 除了直角坐標系以外，我們還經(jīng)常會用自然坐標系研究加速度。有一類曲線運動是在已知軌道上進行的，這時，可以在軌道上任取一參照點，這樣就可以在軌道上用到的距離來表示運動方程。這就是自然坐標，實際初中物理中的勻速率運動公式就是這個坐標系中的方程。 我們把運動方向叫切向，垂直運動方向叫法向。對應(yīng)的，每個方向的加速度叫切向加速度，與法向加速度。下面用數(shù)學(xué)推導(dǎo)相應(yīng)的加速度。當質(zhì)點做曲線運動時，一般速度的大小和方向都在變

3、化。為計算P位置加速度，將速度增量分解為與平行的分量和垂直的分量，如圖：質(zhì)點在P的加速度為 其中就是切向加速度和法向加速度。其中法向加速度又有規(guī)律： 易從相似三角形得： ， 其中R為P位置的“曲率半徑”， 由于，所以還有： 如果物體做圓周運動，這個加速度又叫向心加速度，向心加速度的規(guī)律最早由惠更斯在研究勻速圓周運動時發(fā)現(xiàn)。惠更斯發(fā)現(xiàn)：做勻速圓周運動的物體，其受合外力總是正比于物體質(zhì)量，正比于物體速度平方，反比于其圓軌道半徑。記為： 這就是高中教材上的圓周運動向心力定理。 應(yīng)該說這個結(jié)論還是很實用的，雖然只是我們推論中的一個特殊情況。 由于暫時我們的同學(xué)對于向量微分的運算還不了解，為了把上述推導(dǎo)

4、在極坐標系里推廣，必須把自然坐標系的計算結(jié)果做一個形象的總結(jié)。【總結(jié)】改變一個速度的大小的加速度分量與速度共線，由速度大小變化率決定。改變一個速度方向的加速度與該速度垂直指向旋轉(zhuǎn)的內(nèi)側(cè)，大小正比于速度與角速度乘積。 利用以上推論我們引入極坐標里的加速度2.極坐標系以及加速度分量極坐標以到參考點(又叫極點)的距離以及到參考射線(極軸)的夾角來描述平面內(nèi)的點(，)，其數(shù)學(xué)優(yōu)點是某些平面坐標系里的很復(fù)雜的曲線方程很簡單(比如以極點為圓心的圓的方程為)。極坐標在物理上的優(yōu)勢是描述一些既沿著徑向運動，又繞著固定點的旋轉(zhuǎn)的運動比較直觀。比如橢圓軌道衛(wèi)星的運動，我們關(guān)心衛(wèi)星到地面高度以及方位角。又比如我們以

5、前學(xué)習(xí)運動關(guān)聯(lián)時候用繩子或桿銜接的物體，既有徑向速度，又有轉(zhuǎn)速。都比較適合極坐標，如圖:水平向左運動的物體B的速度分解為沿著繩子的分量以及垂直繩子的轉(zhuǎn)速，根據(jù)自然坐標系得到的加速度計算原理：1.在繩子方向(徑向)上一共是兩個加速度，一個改變大小，與拉繩子的加速度大小一致，另一個改變方向，大小。2.在垂直繩子方向(垂向，注意不是切向)也有兩加速度，一個改變大小，另一個改變方向，注意這個加速度不等于 ，而等于。專業(yè)的力學(xué)教材還會對這些加速度中的某些項取一堆形象的名字方便記憶，比如著名的科里奧利加速度，平面系5個加速度等。由于這個加速度過于依賴向量微分的理解，這里就不引入了。期望著以上的討論能引起同

6、學(xué)們對于向量代數(shù)甚至向量微積分的興趣，因為很復(fù)雜的物理情景理解問題在向量微積分里可以簡化為幾個簡單的算符。學(xué)而思物理競賽的教學(xué)一種灌輸一種觀點，那就是方程是最美最高效率的物理語言。開始喜歡上物理的同學(xué)一般都是因為物理對現(xiàn)實的超理性理解。但多數(shù)喜歡物理的人進入大學(xué)后都容易對脫離實際現(xiàn)象的數(shù)學(xué)運算產(chǎn)生排斥感和畏懼感，希望同學(xué)們盡量的克服。一旦我們弄懂一個方程運算可以處理的實際情景之廣泛，就會瘋狂的喜歡上這種方程。方程會讓我們對眾多的問題有一個統(tǒng)一的觀點，方程會讓我們需要記憶的量以及概念辨析的量減少為最少。從現(xiàn)實的角度，很多喜歡物理而且具備很高物理直覺天賦的同學(xué)最終在學(xué)習(xí)物理的過程中被郁悶，基本都是

7、因為不適應(yīng)物理的數(shù)學(xué)描述方式。我們提倡數(shù)理結(jié)合一起理解物理的教學(xué)觀點也是希望更早的開始幫助我們同學(xué)克服上述困難。同學(xué)們要在科學(xué)道路上走的更高更遠，與其被數(shù)學(xué)語言虐，不如學(xué)會去享受它。當然如果我們學(xué)習(xí)物理只是作為科學(xué)知識去了解物理一下，物理確實不需要過多的數(shù)學(xué)語言去表達它。即便從概念以及邏輯思辨的角度去學(xué)習(xí)物理，物理也是很美麗很迷人的，因為他可以幾乎可以無限的滿足人先天本能中那種無法抑制的探索欲與求知欲。例題精講【例1】 如圖一條不可伸長的輕繩長為L，一端用手握住，另一端系一質(zhì)量為m的小球，今使手握的一端在水平桌面上做半徑為R，角速度為的勻速圓周運動，且使繩始終與半徑為R的圓相切，小球也將在同一

8、水平面內(nèi)做勻速圓周運動，若人手做功的功率為P，求：小球做勻速圓周運動的線速度大??；小球在運動過程中受到的摩擦力的大小【例2】 如圖所示，岸邊的汽車用一根不可伸長的輕繩通過定滑輪牽引水中的小船，設(shè)小船始終不離開水面，且繩足夠長，河岸離水面高h，繩子與水平面成角度。不計船受的阻力，船的質(zhì)量為m，計算車勻速以速度v1拉動船拉力F與函數(shù)。【例3】 如圖，把一個質(zhì)量為m的物體放于半徑為R的光滑圓上，用向上的拉力F拉著物體把物體往下放：如果以恒定的拉力F讓物體往下滑，計算支持力與函數(shù)。如果物體以恒定的豎直分速度v沿著光滑面往下滑，計算拉力F與函數(shù)?！纠?】 一個半徑為R的半圓柱沿水平方向做加速度為a的勻加

9、速運動，在圓柱上擱置一豎直桿，此桿只能沿豎直方向運動，如圖，當半圓的速度向右以v運動時，且如圖中角度已知，求豎直桿的加速度?！纠?】把兩個質(zhì)量均為m的小球用長度為2r的輕繩連接，放于光滑水平地面，分別對兩球施加一對瞬時沖量產(chǎn)生一對初速度v與-v，兩位同學(xué)為計算繩子上張力出現(xiàn)了矛盾。A同學(xué)認為：以繩子中心為圓心，那么拉力為B同學(xué)認為：一右端球為圓心，拉力為哪位同學(xué)考慮不周？為什么？【例6】如圖所示，1根長為2L的細繩，兩端各系1個質(zhì)量為m的小滑環(huán)，滑環(huán)套在固定的水平桿上，細繩的中點掛1個質(zhì)量為M=2m的重物。不計細繩質(zhì)量和一切摩擦，從細線與滑桿平行位置由靜止釋放到水平桿與繩夾角為=30°

10、;的位置時，已知m速度為v重物速度為多大？連接滑環(huán)與重物的細繩中的張力為多大？【例7】長度為L的輕桿上端連接著一個質(zhì)量為m的 體積可忽略的小重物B。桿的下端被用鉸鏈固接與水平面上的A點。同時，置于同一水平面上的立方體C恰好與B接觸，立方體C的質(zhì)量為M。今作一個微小擾動，使桿子向右傾倒，設(shè)B與C、C與水平面間無摩擦，而B與C剛剛脫離接觸的 瞬間，桿與地面夾角恰好為30°，計算此時B的速度以及桿上拉力?！纠?】一繩的一端連接于A點，繩上距A點為a處系有一重物B，其質(zhì)量為m，繩的;另一端通過定滑輪C，現(xiàn)以恒定速率v收繩，當繩收至圖示位置時，寫出此時人的拉力符合的兩個方程，(，已知已知)【例

11、9】試證明在有心力作用下(時刻指向一個固定點的力)，做曲線運動的物體角動量(物體質(zhì)量m速度v以及到固定點距離r以及r與v夾角正弦乘積mvrsin)守恒?！纠?0】計算以速度v平拋的物體拋出后軌跡曲率半徑與時間的函數(shù)，以此模型推導(dǎo)拋物線曲率半徑公式。課后練習(xí)1.如圖所示，半徑為的圓筒，繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動，小物塊靠在圓筒的內(nèi)壁上，它與圓筒的摩擦因數(shù)為，現(xiàn)要使不下滑，則圓筒轉(zhuǎn)動的角速度至少為( )A B C D2.如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的圓盤上，沿直徑方向上放置以細線相連的A、B兩個小物塊。A的質(zhì)量為，離軸心，B的質(zhì)量為，離軸心，A、B與盤面間相互作用的摩擦力最大值為其重力的0.5倍，試求當圓盤轉(zhuǎn)動的角

12、速度為多少時，細線上開始出現(xiàn)張力？欲使A、B與盤面間不發(fā)生相對滑動，則圓盤轉(zhuǎn)動的最大角速度為多大？()3.水平桌面上放著三個圓柱體A，B，C，它們的半徑均為r，質(zhì)量mB=mC=mA。先讓它們保持如圖所示的位置，然后從靜止開始釋放，若不計接觸面間的摩擦，求A觸及桌面時的速度，已知分離時AB連線與水平夾角為。趣味物理故事清朝全息相片之謎 清朝時候，有個姓汪的官員外出，乘馬車走在一處河堤上天空忽然陰云密布，隨即雷鳴電閃，大雨傾盆汪某急忙讓車子停在一棵大柳樹下躲避 雨過天晴，汪某下車方便，回頭時猛地看見車窗內(nèi)有幾個人影，心中不禁一驚揭開車簾看，車廂里空無一人，仔細審視，原來人影是在車窗玻璃上回家后，人

13、影依然不散，家人都以為神異，就把這塊玻璃取下供奉起來 20幾年后，汪家的兒童用弓箭游戲，不小心打碎了玻璃奇怪的是，每一塊碎片上的影像仍然是完整的 汪某的外甥，翰林院侍讀張亮基得到一塊碎片，拿去給他的好友姚元之看姚元之把自己看到的情況記錄下來，并收入他所寫的竹葉亭雜記書中 書中記載：放平了看，這是一塊殘缺的玻璃片，但斜向陽光看去，就有一個“仙人”坐在里面，儀容端莊，面色微紅，雙目炯炯，胸前飄著長長的白須，頭戴紅色道冠，穿紫色衣服，右手執(zhí)一柄羽毛扇，身旁還侍立著一個童子 姚元之在清代嘉慶、道光兩朝，做官近40年，經(jīng)歷豐富，博學(xué)能文，著述嚴謹囿于當時認識水平，姚元之把這一奇異現(xiàn)象解釋為在雷雨時刻，一位避劫的仙靈精氣聚合不散，附著在玻璃上而成學(xué)習(xí)效果反饋：代課教師： 通過今天學(xué)