一次函數(shù)應(yīng)用題的解題方法

1、一次函數(shù)應(yīng)用題的解題方法核心提示：一次函數(shù)應(yīng)用題語(yǔ)言敘述較多，數(shù)據(jù)量較大，給同學(xué)們的審題、解題帶來(lái)很多不便，造成的解題失誤較多。但是只要掌握了以下3種解題方法，任何與一次函數(shù)應(yīng)用題有關(guān)的問(wèn)題都能迎刃而解。一.使用直譯法求解一次函數(shù)應(yīng)用題所謂直譯法就是將題中的關(guān)鍵語(yǔ)句“譯”成代數(shù)式，然后找出函數(shù)關(guān)系、列出一次函數(shù)解析式，從而解決問(wèn)題的方法。例題1東風(fēng)商場(chǎng)文具部的某種毛筆每支售價(jià)25元，書(shū)法練習(xí)本每本售價(jià)5元。該商場(chǎng)為促銷(xiāo)制定了甲、乙兩種優(yōu)惠辦法。甲：買(mǎi)1支毛筆就贈(zèng)送1本書(shū)法練習(xí)本；乙：按購(gòu)買(mǎi)金額打9折付款。某校書(shū)法興趣小組打算購(gòu)買(mǎi)這種毛筆10支，這種書(shū)法練習(xí)本x(x>=10)本。（1）分別

2、寫(xiě)出按甲、乙兩種優(yōu)惠辦法實(shí)際付款金額y甲（元）、y乙（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）比較購(gòu)買(mǎi)不同數(shù)量的書(shū)法練習(xí)本時(shí)，按哪種優(yōu)惠辦法付款最省錢(qián)。（3）如果商場(chǎng)允許既可以選擇一種優(yōu)惠辦法購(gòu)買(mǎi)，也可以用兩種優(yōu)惠辦法購(gòu)買(mǎi)，請(qǐng)你就購(gòu)買(mǎi)這種毛筆10支和這種書(shū)法練習(xí)本60本設(shè)計(jì)一種最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案。分析：只需根據(jù)題意，按要求將文字語(yǔ)言翻譯成符號(hào)語(yǔ)言，再列出一次函數(shù)關(guān)系式即可。解：（1）y甲=10×25+5（x-10）=5x+200（x>=10）y乙=10×25×0.9+5×0.9×x=4.5x+225（x>=10）（2）由（1）有：y甲-y乙=

3、0.5x-25若y甲-y乙=0解得x=50若y甲-y乙>0解得x>50若y甲-y乙<0解得x<50當(dāng)購(gòu)買(mǎi)50本書(shū)法練習(xí)本時(shí)，按兩種優(yōu)惠辦法購(gòu)買(mǎi)實(shí)際付款一樣多，即可任選一種優(yōu)惠辦法付款；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)本數(shù)不小于10且小于50時(shí)，選擇甲種優(yōu)惠辦法付款省錢(qián)；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)本數(shù)大于50時(shí)，選擇乙種優(yōu)惠辦法付款省錢(qián)。（3）設(shè)按甲種優(yōu)惠辦法購(gòu)買(mǎi)a(0<=a<=10)支毛筆，則獲贈(zèng)a本書(shū)法練習(xí)本。則需要按乙種優(yōu)惠辦法購(gòu)買(mǎi)10-a支毛筆和(60-a)支書(shū)法練習(xí)本?？傎M(fèi)用為y=25a+25×0.9×（10-a）+5×0.9×（60-a）=495-2a。

4、故當(dāng)a最大（為10）時(shí)，y最小。所以先按甲種優(yōu)惠辦法購(gòu)買(mǎi)10支毛筆得到10本書(shū)法練習(xí)本，再按乙種優(yōu)惠辦法購(gòu)買(mǎi)50本書(shū)法練習(xí)本，這樣的購(gòu)買(mǎi)方案最省錢(qián)。說(shuō)明：本題屬于“計(jì)算、比較、擇優(yōu)”型，它運(yùn)用了一次函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，解決了最優(yōu)方案的設(shè)計(jì)問(wèn)題。二.使用列表法求解一次函數(shù)應(yīng)用題列表法就是將題目中的各個(gè)量列成一個(gè)表格，從而理順?biāo)鼈冎g的數(shù)量關(guān)系，以便于從中找到函數(shù)關(guān)系的解題方法。例題2某工廠現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件。已知：生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需用甲種原料9kg、乙種原料3kg，可獲利潤(rùn)700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品需用甲種原料4kg、

5、乙種原料10kg，可獲利潤(rùn)1200元。（1）若安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，共有哪幾種方案？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來(lái)。（2）設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤(rùn)是y元，其中一種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)是x，試寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明（1）中的哪種生產(chǎn)方案可以獲得最大總利潤(rùn)。最大的總利潤(rùn)是多少？分析：本題中共出現(xiàn)了9個(gè)數(shù)據(jù)，其中涉及甲、乙兩種原料的質(zhì)量，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總件數(shù)及兩種產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)等。為了清楚地整理題目所涉及的各種信息，我們可采用列表法。解：（1）設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品是（50-x）件產(chǎn)品每件產(chǎn)品需要甲種原料（kg）每件產(chǎn)品需要乙種原料（kg）每件產(chǎn)品利潤(rùn)（元）件數(shù)

6、A93700xB410120050-x根據(jù)題意得：解不等式組，得30<=X<=32因?yàn)閤是整數(shù)，所以x只可取30、31、32，相應(yīng)的(50-x)的值是20、19、18。所以，生產(chǎn)的方案有三種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，B種產(chǎn)品20件；生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件，B種產(chǎn)品19件；生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品18件。（2）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的件數(shù)是x，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品的件數(shù)是50-x。由題意得：y=700x+1200*(50-x)=-500x+60000（其中x只能取30、31、32）因?yàn)?500<0所以y隨x的增大而減小,當(dāng)x=30時(shí)，y的值最大因此，按（1）中第一種生產(chǎn)方案安排生產(chǎn)，獲得的總利潤(rùn)

7、最大最大的總利潤(rùn)是：-500×30+60000=45000（元）說(shuō)明：本題是先利用不等式的知識(shí)，得到幾種生產(chǎn)方案，再利用一次函數(shù)性質(zhì)得出最佳生產(chǎn)方案。三.使用圖示法求解一次函數(shù)應(yīng)用題所謂圖示法就是用圖形來(lái)表示題中的數(shù)量關(guān)系，從而觀察出函數(shù)關(guān)系的解題方法。此法對(duì)于某些一次函數(shù)問(wèn)題非常有效，解題過(guò)程直觀明了。例題3.某市的C縣和D縣上個(gè)月發(fā)生水災(zāi)，急需救災(zāi)物資10t和8t。該市的A縣和B縣伸出援助之手，分別募集到救災(zāi)物資12t和6t，全部贈(zèng)給C縣和D縣。已知A、B兩縣運(yùn)資到C、D兩縣的每噸物資的運(yùn)費(fèi)如下表所示：A縣B縣C縣4030D縣5080（1）設(shè)B縣運(yùn)到C縣的救災(zāi)物資為xt，求總運(yùn)費(fèi)w（元）關(guān)于x（t）的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；（2）求最低總運(yùn)費(fèi)，并說(shuō)明總運(yùn)費(fèi)最低時(shí)的運(yùn)送方案。分析:本題的信息量大，數(shù)據(jù)也較多，為梳理各個(gè)量之間的關(guān)系，我們可以采用如下的圖示整理信息。解：（1）w=30x+80(6-x)+40(10-x)+5012-(10-x)=-40x+980自變量x的取值范圍是：0<=x<=6（2）由（1）可知，總運(yùn)費(fèi)w隨x的增大而