高中數(shù)學(xué)不等式的解法舉例解析

1、不等式的解法舉例不等式滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支中，應(yīng)用范圍十分廣泛，諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明.涉及不等式的內(nèi)容的考題大致可分為以下幾種類型：解不等式； 證明不等式； 取值范圍問題； 應(yīng)用問題. 試題主要有如下特點： （1）突出重點，綜合考查.試題中不等式常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、三角等進行綜合. （2）解含參數(shù)的不等式能較好地體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化、分類整合、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想. （3）除單獨考查不等式的試題外，常在一些函數(shù)、數(shù)

2、列、立體幾何、解析幾何等試題中涉及不等式的知識，加強了不等式作為一種工具作用的考查.1.不等式的解法 不等式的解法，要加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練與復(fù)習(xí).，通過等價轉(zhuǎn)化可簡化不等式(組)，以快速、準(zhǔn)確求解.(1)解一元一次不等式（組）及一元二次不等式（組）是解其他各類不等式的基礎(chǔ). 簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。(2)解高次不等式、分式不等式，分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先

3、移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。首先使不等式一邊是零，一邊是一次因式（一次項系數(shù)為正）或二次不完全平方式的積與商的形式（注意二次因式恒正恒負的情況），然后用數(shù)軸標(biāo)根法寫出解集（尤其要注意不等號中帶等號的情形）.(3)解絕對值不等式的常用方法：1）絕對值不等式的解法：分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式（答：）；利用絕對值的定義；數(shù)形結(jié)合；如解不等式（答：）兩邊平方：如若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_。（答：）含絕對值不等式的性質(zhì)：同號或有；異號或有

4、.2）含參不等式的解法：討論法：討論絕對值中的式子大于零還是小于零，然后去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一般不等式. 等價變形：解絕對值不等式常用以下等價變形xa x2a2 axa(a0)xa x2a2 xa或xa(a0) 一般地有：f(x)g(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)g(x) 求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集. 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點

5、值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值。對于解含參數(shù)不等式，要充分利用不等式性質(zhì).對參數(shù)的討論，要不“重復(fù)”不“遺漏”.一要考慮參數(shù)總的取值范圍,二要用同一標(biāo)準(zhǔn)對參數(shù)進行劃分，三要使得劃分后，不等式的解集的表達式是確定的.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上 能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)

6、間上的.恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為. 2.掌握算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理定理如果a,bR,那么a2b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取“=”）.定理 如果a,b是正數(shù)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取“=”)(1)二元均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能.(2)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件、合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的成因在于使等號能夠成立.(3)“和定積最大，積定和最小”，即2個正數(shù)的和為定值，則可求其積的最大值；積為定值，則可求其和的最小值.應(yīng)用此結(jié)論求值要注意三個條件： 各項或因式非負； 和或積為定值； 各項或

7、各因式都能取得相等的值.必要時要作適當(dāng)?shù)淖冃?，以滿足上述前提. “一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針3.不等式證明(1)證明不等式的常用方法有：比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法.其他方法如：放縮法、反證法、換元法、判別式法證明不作過高要求. 不等式的性質(zhì)：同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）； 左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若，則或；若，則；若，則。(2)比較法有求差比較法和求商比較法兩種模式.求差比

8、較法中的變形可以變成平方和、常數(shù)、因式的積；求商比較法要注意對分母的符號進行討論.比較法在符號確定的前提下，可以轉(zhuǎn)化為乘方問題來解決：如果a，b0,則a2b2 ab. 作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；分析法；平方法；分子（或分母）有理化；利用函數(shù)的單調(diào)性；尋找中間量或放縮法；常用的放縮技巧有：圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。 (3)利用綜合法、分析法證明不等式經(jīng)常使用的基本不等式有： a20,aR; a2b22ab,a,bR; , a,bR;abc3 ,a,b,cR; 利用基本不等式的變式： ,(其中a,bR). a、

9、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）；  若，則（糖水的濃度問題）。分析法是從要證的結(jié)論入手，尋找其充分條件，即執(zhí)果索因；綜合法為分析法的逆過程，即由因?qū)Ч粡?fù)雜的不等式證明要注意幾種方法的結(jié)合使用. (4)涉及到數(shù)列或與自然數(shù)有關(guān)的不等式可考慮數(shù)學(xué)歸納法的運用,涉及到函數(shù)的不等式可考慮構(gòu)造函數(shù),應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來解決.1，不等式的解集是（ A ） A B C D2，若是等差數(shù)列，首項，則使前n項和成立的最大自然數(shù)n是：（ B ） A4005 B4006 C4007 D40083，的最小值為（ B ）ABCD+4，不等式的解集為（ A ）ABCD5，設(shè)函數(shù) ，則使得的自變量的取值范圍為 （ A

10、）A B C D6，不等式的解集為（ D ）A B C D7，不等式|x+2|x|的解集是 x|x1 .8，設(shè)，函數(shù)，則使的的取值范圍是（ ）（A）（B）（C） （D）9，若正整數(shù)m滿足，則m = 。10，已知集合則為 (A) (B)(C) (D)11，已知集合M=x-3x -28 0,N = x|-x-6>0，則MN 為 （A）x|- 4x< -2或3<x7 （B）x|- 4<x -2或 3x<7 （C）x|x - 2或 x> 3 （D）x|x<- 2或x312，設(shè)，則 ( ) （A）-2<x<-1 （B）-3<x<-2 （C

11、）-1<x<0 （D）0<x<113，若,則( )(A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c14若x，y是正數(shù)，則的最小值是（ ）A3BC4D15不等式組的解集為( ) (0,)；(B) (,2)；(C) (,4)；(D) (2,4)。16若動點（）在曲線上變化，則的最大值為（ ）ABCD217若的最大值是 . 18 集合R| ，則= .19若集合，則_. 20在坐標(biāo)平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（ ）（A）（B）（C）（D）221若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-2,則2a

12、+b+c的最小值為（A）-1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 2-2解析：若且 所以， ，則()，選D. 22若且，則的最小值是（A） （B）3 （C）2 （D）解：（abc）2a2b2c22ab2ac2bc12（bc）2³12，當(dāng)且僅當(dāng)bc時取等號，故選A23不等式:>0的解集為（C）(A)( -2, 1)(B) ( 2, +)(C) ( -2, 1)( 2, +)(D) ( -, -2) ( 1, +)24命題“若，則”的逆否命題是（ ）A若，則或 B.若，則C.若或，則 D.若或，則25若函數(shù)f(x) = 的定義域為R，則a的取值范圍為_.26某公司有60萬元資金，

13、計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于對項目乙投資的倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元，對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確提財投資后，在兩個項目上共可獲得的最大利潤為A.36萬元萬元萬元 D.24萬元B禮品網(wǎng) 禮品網(wǎng) 嶭吘莒27已知，為實數(shù)，且.則“”是“”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】顯然，充分性不成立.又，若和都成立，則同向不等式相加得 即由“”“”28某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸

14、甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元。該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤是 A. 12萬元 B. 20萬元 C. 25萬元 D. 27萬元【答案】D（3，4）（0，6）O（，0）913【解析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸，則有關(guān)系： A原料 B原料甲產(chǎn)品噸 3 2 乙產(chǎn)品噸 3 則有： 目標(biāo)函數(shù) 作出可行域后求出可行域邊界上各端點的坐標(biāo)，經(jīng)驗證知： 當(dāng)3，5時可獲得最大利潤為27萬元，故選D29不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）

15、ABw.w.w.k.s.5.u.c.o.m C D【答案】A【解析】因為對任意x恒成立，所以30已知，則的最小值是（ ）A2BC4D5【答案】C解析因為當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時，取“=”號。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 31設(shè)變量滿足約束條件則的最大值為（A）0 （B）2（C）4 （D）6解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，當(dāng)直線過點B時，在y軸上截距最小，z最大由B（2,2）知432已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是A. 3 B. 4 C. D. 解析：考察均值不等式，整理得 即，又，33設(shè)變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為A.2

16、 B. 4 C. 6 D. 8 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示當(dāng)直線過點B（3,0）的時候，z取得最大值634設(shè)，則的最小值是（A）2 （B）4 （C） （D）5解析： 0224當(dāng)且僅當(dāng)a5c0,ab1,a(ab)1時等號成立如取a,b,c滿足條件.答案：By0x70488070(15,55)35某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品.甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超