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文檔簡介
1、不等式的解法舉例不等式滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支中,應(yīng)用范圍十分廣泛,諸如集合問題,方程(組)的解的討論,函數(shù)單調(diào)性的研究,函數(shù)定義域的確定,三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題,無一不與不等式有著密切的聯(lián)系,許多問題,最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明.涉及不等式的內(nèi)容的考題大致可分為以下幾種類型:解不等式; 證明不等式; 取值范圍問題; 應(yīng)用問題. 試題主要有如下特點: (1)突出重點,綜合考查.試題中不等式常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、三角等進行綜合. (2)解含參數(shù)的不等式能較好地體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化、分類整合、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想. (3)除單獨考查不等式的試題外,常在一些函數(shù)、數(shù)
2、列、立體幾何、解析幾何等試題中涉及不等式的知識,加強了不等式作為一種工具作用的考查.1.不等式的解法 不等式的解法,要加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練與復(fù)習(xí).,通過等價轉(zhuǎn)化可簡化不等式(組),以快速、準(zhǔn)確求解.(1)解一元一次不等式(組)及一元二次不等式(組)是解其他各類不等式的基礎(chǔ). 簡單的一元高次不等式的解法:標(biāo)根法:其步驟是:分解成若干個一次因式的積,并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正;將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上,從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線;并注意奇穿過偶彈回;根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律,寫出不等式的解集。(2)解高次不等式、分式不等式,分式不等式的解法:分式不等式的一般解題思路是先
3、移項使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式,并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正,最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時,一般不能去分母,但分母恒為正或恒為負時可去分母。首先使不等式一邊是零,一邊是一次因式(一次項系數(shù)為正)或二次不完全平方式的積與商的形式(注意二次因式恒正恒負的情況),然后用數(shù)軸標(biāo)根法寫出解集(尤其要注意不等號中帶等號的情形).(3)解絕對值不等式的常用方法:1)絕對值不等式的解法:分段討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集):如解不等式(答:);利用絕對值的定義;數(shù)形結(jié)合;如解不等式(答:)兩邊平方:如若不等式對恒成立,則實數(shù)的取值范圍為_。(答:)含絕對值不等式的性質(zhì):同號或有;異號或有
4、.2)含參不等式的解法:討論法:討論絕對值中的式子大于零還是小于零,然后去掉絕對值符號,轉(zhuǎn)化為一般不等式. 等價變形:解絕對值不等式常用以下等價變形xa x2a2 axa(a0)xa x2a2 xa或xa(a0) 一般地有:f(x)g(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)g(x) 求解的通法是“定義域為前提,函數(shù)增減性為基礎(chǔ),分類討論是關(guān)鍵”注意解完之后要寫上:“綜上,原不等式的解集是”。注意:按參數(shù)討論,最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集;但若按未知數(shù)討論,最后應(yīng)求并集. 提醒:(1)解不等式是求不等式的解集,最后務(wù)必有集合的形式表示;(2)不等式解集的端點
5、值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值。對于解含參數(shù)不等式,要充分利用不等式性質(zhì).對參數(shù)的討論,要不“重復(fù)”不“遺漏”.一要考慮參數(shù)總的取值范圍,二要用同一標(biāo)準(zhǔn)對參數(shù)進行劃分,三要使得劃分后,不等式的解集的表達式是確定的.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題:不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式?(常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題,也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征,利用數(shù)形結(jié)合法)恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上 能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上;若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)
6、間上的.恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為. 2.掌握算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理定理如果a,bR,那么a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取“=”).定理 如果a,b是正數(shù),那么 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取“=”)(1)二元均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能.(2)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件、合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧,而拆與湊的成因在于使等號能夠成立.(3)“和定積最大,積定和最小”,即2個正數(shù)的和為定值,則可求其積的最大值;積為定值,則可求其和的最小值.應(yīng)用此結(jié)論求值要注意三個條件: 各項或因式非負; 和或積為定值; 各項或
7、各因式都能取得相等的值.必要時要作適當(dāng)?shù)淖冃?,以滿足上述前提. “一正二定三相等,和定積最大,積定和最小”這17字方針3.不等式證明(1)證明不等式的常用方法有:比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法.其他方法如:放縮法、反證法、換元法、判別式法證明不作過高要求. 不等式的性質(zhì):同向不等式可以相加;異向不等式可以相減:若,則(若,則),但異向不等式不可以相加;同向不等式不可以相減;左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;異向不等式可以相除,但不能相乘:若,則(若,則); 左右同正不等式:兩邊可以同時乘方或開方:若,則或;若,則;若,則。(2)比較法有求差比較法和求商比較法兩種模式.求差比
8、較法中的變形可以變成平方和、常數(shù)、因式的積;求商比較法要注意對分母的符號進行討論.比較法在符號確定的前提下,可以轉(zhuǎn)化為乘方問題來解決:如果a,b0,則a2b2 ab. 作差:作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果;作商(常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式);分析法;平方法;分子(或分母)有理化;利用函數(shù)的單調(diào)性;尋找中間量或放縮法;常用的放縮技巧有:圖象法。其中比較法(作差、作商)是最基本的方法。 (3)利用綜合法、分析法證明不等式經(jīng)常使用的基本不等式有: a20,aR; a2b22ab,a,bR; , a,bR;abc3 ,a,b,cR; 利用基本不等式的變式: ,(其中a,bR). a、
9、b、cR,(當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號); 若,則(糖水的濃度問題)。分析法是從要證的結(jié)論入手,尋找其充分條件,即執(zhí)果索因;綜合法為分析法的逆過程,即由因?qū)Ч粡?fù)雜的不等式證明要注意幾種方法的結(jié)合使用. (4)涉及到數(shù)列或與自然數(shù)有關(guān)的不等式可考慮數(shù)學(xué)歸納法的運用,涉及到函數(shù)的不等式可考慮構(gòu)造函數(shù),應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來解決.1,不等式的解集是( A ) A B C D2,若是等差數(shù)列,首項,則使前n項和成立的最大自然數(shù)n是:( B ) A4005 B4006 C4007 D40083,的最小值為( B )ABCD+4,不等式的解集為( A )ABCD5,設(shè)函數(shù) ,則使得的自變量的取值范圍為 ( A
10、)A B C D6,不等式的解集為( D )A B C D7,不等式|x+2|x|的解集是 x|x1 .8,設(shè),函數(shù),則使的的取值范圍是( )(A)(B)(C) (D)9,若正整數(shù)m滿足,則m = 。10,已知集合則為 (A) (B)(C) (D)11,已知集合M=x-3x -28 0,N = x|-x-6>0,則MN 為 (A)x|- 4x< -2或3<x7 (B)x|- 4<x -2或 3x<7 (C)x|x - 2或 x> 3 (D)x|x<- 2或x312,設(shè),則 ( ) (A)-2<x<-1 (B)-3<x<-2 (C
11、)-1<x<0 (D)0<x<113,若,則( )(A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c14若x,y是正數(shù),則的最小值是( )A3BC4D15不等式組的解集為( ) (0,);(B) (,2);(C) (,4);(D) (2,4)。16若動點()在曲線上變化,則的最大值為( )ABCD217若的最大值是 . 18 集合R| ,則= .19若集合,則_. 20在坐標(biāo)平面上,不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為( )(A)(B)(C)(D)221若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-2,則2a
12、+b+c的最小值為(A)-1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 2-2解析:若且 所以, ,則(),選D. 22若且,則的最小值是(A) (B)3 (C)2 (D)解:(abc)2a2b2c22ab2ac2bc12(bc)2³12,當(dāng)且僅當(dāng)bc時取等號,故選A23不等式:>0的解集為(C)(A)( -2, 1)(B) ( 2, +)(C) ( -2, 1)( 2, +)(D) ( -, -2) ( 1, +)24命題“若,則”的逆否命題是( )A若,則或 B.若,則C.若或,則 D.若或,則25若函數(shù)f(x) = 的定義域為R,則a的取值范圍為_.26某公司有60萬元資金,
13、計劃投資甲、乙兩個項目,按要求對項目甲的投資不小于對項目乙投資的倍,且對每個項目的投資不能低于5萬元,對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤,對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤,該公司正確提財投資后,在兩個項目上共可獲得的最大利潤為A.36萬元萬元萬元 D.24萬元B禮品網(wǎng) 禮品網(wǎng) 嶭吘莒27已知,為實數(shù),且.則“”是“”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】顯然,充分性不成立.又,若和都成立,則同向不等式相加得 即由“”“”28某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)每噸
14、甲產(chǎn)品要用A原料3噸,B原料2噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸,B原料3噸,銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元,每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元。該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸,B原料不超過18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤是 A. 12萬元 B. 20萬元 C. 25萬元 D. 27萬元【答案】D(3,4)(0,6)O(,0)913【解析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸,生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸,則有關(guān)系: A原料 B原料甲產(chǎn)品噸 3 2 乙產(chǎn)品噸 3 則有: 目標(biāo)函數(shù) 作出可行域后求出可行域邊界上各端點的坐標(biāo),經(jīng)驗證知: 當(dāng)3,5時可獲得最大利潤為27萬元,故選D29不等式對任意實數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍為( )
15、ABw.w.w.k.s.5.u.c.o.m C D【答案】A【解析】因為對任意x恒成立,所以30已知,則的最小值是( )A2BC4D5【答案】C解析因為當(dāng)且僅當(dāng),且,即時,取“=”號。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 31設(shè)變量滿足約束條件則的最大值為(A)0 (B)2(C)4 (D)6解析:不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,當(dāng)直線過點B時,在y軸上截距最小,z最大由B(2,2)知432已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是A. 3 B. 4 C. D. 解析:考察均值不等式,整理得 即,又,33設(shè)變量x,y滿足約束條件,則z=2x+y的最大值為A.2
16、 B. 4 C. 6 D. 8 解析:不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示當(dāng)直線過點B(3,0)的時候,z取得最大值634設(shè),則的最小值是(A)2 (B)4 (C) (D)5解析: 0224當(dāng)且僅當(dāng)a5c0,ab1,a(ab)1時等號成立如取a,b,c滿足條件.答案:By0x70488070(15,55)35某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品,由乙車間加工出B產(chǎn)品.甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品,每千克A產(chǎn)品獲利40元,乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品,每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超
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