陳堯明解決不良結構數學問題的幾種常見策略

1、例析補償原理在解決不良結構數學問題中的運用浙江省上虞市教研室 陳堯明 312300摘要：數學問題可分為結構良好問題和結構不良問題。所謂數學問題的編制或創(chuàng)新，本質上說視角的轉換，命題者通過條件的衰減，有時故意破壞良好結構，常規(guī)的解題套路得以規(guī)避，以此來考量學生的數學綜合能力。本文例舉四類不良結構，試圖從結構出發(fā)來給我們學生解題以啟發(fā)。關鍵詞：數學問題 良好結構 遷移 缺陷著名數學教育家波利亞曾說過：問題是數學的心臟問題可分為結構良好問題和結構不良問題，在中學數學解題中大量出現的是結構良好的數學問題所謂結構良好，是指提供的信息完整，數學結構（研究對象、輸血過程）理想，問題目標明確，解決過程和答案穩(wěn)

2、定，也就是我們常說的理想模型結構良好和結構不良是一個相對的概念結構不良一般分為結構缺陷和結構復雜兩類在解決不良數學問題過程中往往能體現一個人的各種能力，如學習的遷移能力，即完成從非理想模型向理想模型的遷移；思維的變通能力，即能夠完成把不良結構變通為良好結構等等也正因為如此，當今高考的能力立意就是要完成從結構良好數學問題的考查向結構不良數學問題的考查，也正基于此，不良結構問題往往被命題者作為測量被試的“成功智力”或者問題解決能力的工具，以達到試題具有良好“區(qū)分度”的目的中學數學教學中，我們應該努力尋求解決不良結構數學問題的方法，其中補償法是一種常用的方法應用補償法一般可解決下面4類缺陷問題1物理

3、性缺陷問題-物理割補 等效運算所謂物理性缺陷是指數學解題對象在空間上與理想的數學模型存在一定的缺陷補償法就是經物理性割補使之成為一個完整的理想結構，找出缺陷結構與理想結構之間的差異，再用有關的性質、原理求解，從而得到正確的結論此類結構不良問題在立體幾何中比較常見例1（2009年的浙江高考理科第17題）如圖5，在長方形中，為的中點，為線段（端點除外）上一動點現將沿折起，使平面平面在平面內過點作，為垂足設，則的取值范圍是 【分析】此題當年是評價較高的一道題，它是以折疊為大背景，但高考試題命題者一方面將固定的折疊模式改成了動態(tài)（即折痕的變化）的折疊；另一方面，將立幾中的三角關系中的三個角處在“反置”

4、的背景下，使人的直觀視角成思維障礙，與平時“中規(guī)中矩”的立幾理想模型形成反差事實上我們只要將圖形作的轉換，這個問題就成為一個很顯然的問題了當然，立幾中有許多題目都可通過割補來完成不良結構向良好結構的轉換，所謂補形實際上就是基于這樣的機理例2（2010年浙江省理科16題）已知平面向量滿足，且與的夾角為120，則的取值范圍是_.【分析】本題考查向量的數量積的意義及向量減法的幾何意義，向量、及都是動態(tài)的，三者的題干架構所顯現的數學模型并非一目了然倘若我們作一個“弓形”的結構補償，考慮到向量與的夾角為120，那么設想向量穩(wěn)定于一個半徑為圓的一條弦（如圖），于是的長就是一條動弦，不難求得2情境性缺陷問題

5、-返璞歸真 技術補償所謂情景性缺陷是指實際問題條件與使用條件之間的差異形成的缺陷良好結構的數學問題他的條件是有序的、正定的，但實際問題條件往往是無序的、離散的為此碰到這種原理性缺陷問題時，可以通過畫圖像、畫表格等數學技術手段進行補償，使問題呈現良好的有序結構，返璞歸真例3（2010年高考浙江卷17）有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上下午都各測試一人，則不同的安排方式共有 種.【分析】此題是個排列組合實際應用題，但它的呈現與我們

6、平時訓練的排列組合題不同，也就是說實際問題條件與原來使用條件之間的差異形成了情景性的缺陷，即不可直接套用排列組合公式.它涉及到的參數多（人數、時間、項目）、參數之間“糾纏”多（上午不能測什么、下午不能測什么）、參數限制條件多（上下午都個測試一人），條件顯得無序、離散.如果我們將條件通過列表格的技術手段作一梳理，讓條件有序、規(guī)范，那我們要的數學模型（錯排）會自動呈現出來.項目身高與體重立定跳遠肺活量握力臺階上午下午不妨記4個同學為、.首先由于上午不測“握力”，共有種可能，比如“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“臺階”分別是、.下午分兩種情形：若上午測“臺階”的同學，下午剛好測“握力”，那

7、么另外三同學就是一個3階錯排即2種情況；若上午測“臺階”的同學下午不測“握力”，那從“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”三項中任選一項，有中選法，比如選同學選“握力”，那么同學、的選擇又是一個2階錯排（如上表）.于是總的不同安排方式共有：種.例4（2008年浙江卷理科第10題）如圖，是平面的斜線段，為斜足.若點在平面內運動，使得的面積為定值，則動點的軌跡是（ ）圓 橢圓 一條直線 兩條平行直線【分析】本題求點的軌跡，與我們平時訓練的“求點的軌跡”的背景完全不同，形成了情境性的結構缺陷，為此，我們來補全這個情景正因為的面積為定值，且是定長的斜線段，為此點到線段的距離是定值于是點在空間中的軌跡

8、應是以為旋轉軸的圓柱面，又點在平面內，所以點的軌跡是該圓柱面被平面所截出的橢圓3過程性缺陷問題-結構假設 等效轉換不少數學問題，在連結題設和結論的關節(jié)點上，會遇到一些客觀上根本不可能知道的，或可以知道但不需要知道從而不想知道的，或需要知道但當前尚未知道的數學對象，這些我們泛指過程性缺陷問題對于此類問題可以將結構假設為有利問題解決的理想狀態(tài)，抹去過程的碎碎末末，抓住理想狀態(tài)下的一些特殊環(huán)節(jié)進行分析剖解例5把自然數排成下表，今從表中任意取出一個數，并劃去該數所在行與列的全部數，剩下一個有個數的表，這樣繼續(xù)進行-1次，記所有這樣取出的個數的和為，則= 【分析】本題如果真的按題給出的方式進行操作，我們

9、覺得整體的解體結構會顯得很模糊、很茫然，不知道劃去若干個數之后剩下的是何狀態(tài)，劃去的個數相互之間關系如何，如何運算等等事實上，由于是從表中任意取出一個數再劃去其中的所在行與列的全部數，為此我們取對角線上的數，正好取到表上的個數，恰其=.至于另外的劃法具體咋樣？只好籠統(tǒng)地“蒙”過去了.例6設函數，是無理數小數點后第位上的數字，并約定，記，求當時，的值.【分析】由已知得的對應關系，列表0123456789-3141592653-對于任意的，；另一方面，函數至多重復7次就能使，從而=1.此題我們也并不知道，當充分大時，具體的的值如何？或者說究竟為多大？但這對我們解決此題已無關緊要了.4.假設性缺陷問

10、題-合理假設 檢驗校正例7.已知數列和都是等差數列，和分別是它們的前項的和，若，則= .【分析】大多學生會如下解答，于是可假設則，故=2顯然這個結果是不對的，因為非常數列的等差數列，它的前項的和是形如的二次式，因此當假設時，等式右邊是關于的一次式，而左邊是關于的二次式，等式左右兩邊關于的次數不一樣，因此這樣的假設是有缺陷的，而且是錯誤的.要使等式右邊也為的二次式，應該設，于是，故得.至于具體的、的解析式，我們可以不予深究.例8已知雙曲線，試確定實數的范圍，使得對于直線，雙曲線左支、右支各存在一點關于該直線對稱.【分析】假設雙曲線左、右支上各存在一點、關于直線對稱，且弦的中點為，則有點差法得，兩式相減得，即，聯合得，.又點在雙曲線外，那么，則實數的取值范圍是.到此似乎命題得到圓滿解決，但事實上，題解過程是以“雙曲線左、右支假設各存在一點、關于直線對稱”出發(fā)點演繹的，但最終結果是否滿足是要經過檢驗的.也就是說，這種帶有探索性的問題的解題過程是存在著假設性的缺陷，在過程上需要通過檢驗來得到校正的，乃至