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1、高中數(shù)學(xué)必修1主要考點(diǎn)考點(diǎn)一:集合間的運(yùn)算:求交集(AB)、并集(AB)、補(bǔ)集(CUA)類型題1:用列舉法表示的集合間的運(yùn)算對(duì)于用列舉法表示的集合間的運(yùn)算,AB(交集)為A與B的相同元素組成的集合,AB(并集)為A與B的所有元素合在一起并把重復(fù)元素去掉一個(gè)所組成的集合,CUA(補(bǔ)集)為在全集U中把A擁有的元素全部去掉剩下的元素所組成的集合。例1、已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,集合A=1,3,5,7,集合B=2,5,8,求AB,AB,CUA。 解:AB=1,3,5,72,5,8=5 AB=1,3,5,72,5,8=1,2,3,5,7,8 CUA=2,4,6,8,9,10類
2、型題2:用描述法表示的集合間的運(yùn)算(主要針對(duì)用不等式描述元素特征) 對(duì)于用描述法表示的集合間的運(yùn)算,主要采用數(shù)形結(jié)合的方法,將集合用數(shù)軸或文氏圖表示出來(lái)(常選用數(shù)軸表示),再通過(guò)觀察圖形求相應(yīng)運(yùn)算。AB(交集)為圖形中A與B重疊即共同擁有的部分表示的集合。AB(并集)為圖形中A加上B所表示的集合。CUA(補(bǔ)集)為圖形中表示全集U的部分中去除表示A剩下的部分所表示的集合(若全集為R,則數(shù)軸表示時(shí)是整條數(shù)軸)注意表示數(shù)軸是帶有等于號(hào)的用實(shí)心點(diǎn)表示,沒(méi)帶等于號(hào)的用空心點(diǎn)表示。例2、已知集合A=x|0<x<2,B=x|-1<x<3,求AB,AB,CRA。 解:AB=x|0<
3、;x<2x|-1<x<3=x|0<x<2數(shù)軸表示:(此部分可在草稿紙進(jìn)行) AB=x|0<x<2x|-1<x<3=x|-1<x <3數(shù)軸表示:(此部分可在草稿紙進(jìn)行) CRA=x|x0或x2數(shù)軸表示:(此部分可在草稿紙進(jìn)行)考點(diǎn)二:求函數(shù)的定義域求函數(shù)定義域的主要依據(jù):(1)分式的分母不為0;(2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于0,0取0次方?jīng)]有意義(即指數(shù)為0的冪函數(shù)底數(shù)不能為0);(3)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于0;(4)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于0且不等于1;(5)當(dāng)函數(shù)涉及實(shí)際問(wèn)題時(shí),還必須保證實(shí)際問(wèn)題有意義。(6)如果f(
4、x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合。(即求各集合的交集)注意:函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式。例1:已知函數(shù)f (x) = +,求函數(shù)的定義域。解: 解得:所給函數(shù)的定義域?yàn)椤@?、求函數(shù)的定義域。解: 解得: 所給函數(shù)的定義域?yàn)?。?、求函數(shù)的定義域。解: 解得: 所給函數(shù)的定義域?yàn)?。?、設(shè)一個(gè)矩形周長(zhǎng)為80,其中一邊長(zhǎng)為x,求它的面積關(guān)于x的函數(shù)的解析式,并寫出定義域.解:由題意知,另一邊長(zhǎng)為,且邊長(zhǎng)為正數(shù),所以0x40.所以s= = (40x)x (0x40)考點(diǎn)三:相同函數(shù)的判斷 構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域由于值域
5、是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù)) 兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。例1、下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相等?(1)y = ()2 ; (2)y = () ; (3)y = ; (4)y=解:函數(shù)y=x的定義域?yàn)镽,對(duì)應(yīng)關(guān)系為y=x;(1)y = ()2的定義域?yàn)閤|x>0,定義域不相同;(2)y = ()定義域?yàn)镽,化簡(jiǎn)后對(duì)應(yīng)關(guān)系為y=x,與y=x為同一函數(shù);(3)y =定義域?yàn)镽,化簡(jiǎn)后對(duì)應(yīng)關(guān)系為y=|x|,對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同;(4)y=定義域?yàn)閤|x0,定義域不相
6、同??键c(diǎn)四:?jiǎn)握{(diào)性證明及性質(zhì)應(yīng)用1、定義一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù);如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。2、性質(zhì)增函數(shù):在單調(diào)區(qū)間內(nèi),對(duì)于任意x1<x2,均有f(x1)<f(x2),且函數(shù)圖象在此區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)上升趨勢(shì);減函數(shù):在單調(diào)區(qū)間內(nèi),對(duì)于任意x1<x2,均有f(x1)>f(x2),且函數(shù)圖象
7、在此區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)下降趨勢(shì);3、定義法證明單調(diào)性步驟 在單調(diào)區(qū)間內(nèi)任取x1,x2D,且x1<x2;(取值) 作差f(x1)f(x2); 變形(通常是因式分解和配方); 定號(hào)(即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)); 下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性)例1、證明函數(shù)f(x)在3,5上是減函數(shù)。證明:設(shè),且,則 , , 因此,函數(shù)f(x)在3,5上是減函數(shù)。4、利用函數(shù)單調(diào)性求變量取值范圍 常見(jiàn)給出一個(gè)二次函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性,并求變量的取值范圍。此類題型注意二次函數(shù)的對(duì)稱軸必須落在所給單調(diào)區(qū)間的外面,再結(jié)合二次函數(shù)開(kāi)口方向即可求解。例2、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值
8、范圍。解:二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為: 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)又由題意知:函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),解得: 實(shí)數(shù)的取值范圍為考點(diǎn)五:求函數(shù)最值:求函數(shù)最值一般結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解例1、求函數(shù),的最大值與最小值。解:函數(shù)為二次函數(shù),圖像開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為x=1函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最小值f(1)=-2,又f(0)=f(2)=-1,故函數(shù)最大值為-1??键c(diǎn)六:奇偶性判斷及性質(zhì)應(yīng)用1、定義偶函數(shù):一般地,對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個(gè),都有,那么就叫做偶函數(shù)(學(xué)生活動(dòng))依照偶函數(shù)的定義給出奇函數(shù)的定義奇函數(shù):一般地,對(duì)于函數(shù)的定義域的任意一個(gè),都有,那么就叫做奇函數(shù)2、性質(zhì)偶函數(shù):,圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;圖象
9、在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反。奇函數(shù):,圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, ;圖象在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同。典型題:利用奇偶性性質(zhì)求函數(shù)解析式例1、函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),求當(dāng)時(shí),的表達(dá)式。解:令則是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),。當(dāng)時(shí),的表達(dá)式為:3、判斷奇偶性步驟:首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;確定;作出相應(yīng)結(jié)論:若;若例2、判斷下列函數(shù)的奇偶性(1) (2)解:(1)的定義域?yàn)?,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 因此函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù) (2)的定義域?yàn)镽,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 又 是偶函數(shù)考點(diǎn)七:指數(shù)式、對(duì)數(shù)式運(yùn)算1、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):(1)
10、83;(2)(3)2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):如果,且,那么: ·; ; 3、換底公式:(,且;,且;)例1計(jì)算下列各式的值:(1) (2) (3)解:(1) (2) (3)考點(diǎn)八:指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)求解:指數(shù)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=0時(shí),y=1(即ax=1)。對(duì)數(shù)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=1時(shí),y=0(即logax=0)。冪函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)(1,1),即當(dāng)x=1時(shí),y=1(即xa=1)。例:函數(shù)的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn) 。解:由指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)(0,1)可知:當(dāng)x-2=0時(shí),ax-2=1,則y= ax-2+1=1+1=2,即當(dāng)x
11、=2時(shí),y= ax-2+1=2,因此,函數(shù)的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2)??键c(diǎn)九:指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式借助指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)(尤其是單調(diào)性)求解:指數(shù)函數(shù):若0<a<1:當(dāng) x < 0 時(shí),y > 1;當(dāng) x > 0 時(shí),0y < 1 。在定義域上減。 若a >1: 當(dāng) x < 0 時(shí),0y < 1;當(dāng) x > 0 時(shí),y > 1。在定義域上增。對(duì)數(shù)函數(shù):若0<a<1:當(dāng)0<x<1時(shí), y>0;當(dāng)x>1時(shí), y<0。在定義域上減。 若a >1: 當(dāng)0<x<1時(shí), y
12、<0;當(dāng)x>1時(shí), y>0。在定義域上增。注意別忽略對(duì)數(shù)式對(duì)真數(shù)的限制:真數(shù)大于0。例:解不等式解:對(duì)數(shù)式中真數(shù)大于0,解得又函數(shù)在上是增函數(shù)原不等式化為解得 原不等式的解集是考點(diǎn)十:利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求變量取值范圍例:已知函數(shù)y=(a+1)x在R上為減函數(shù),求變量a的取值范圍。解:由函數(shù)y=(a+1)x在R上為減函數(shù)可知:0<a+1<1 解得:-1<a<0 因此,變量a的取值范圍為a|-1<a<0??键c(diǎn)十一:零點(diǎn)問(wèn)題1、方程與函數(shù)的關(guān)系:方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)2、求函數(shù)零點(diǎn)
13、(或方程的根)所在區(qū)間:方法一:(代入法)對(duì)于選擇題,可選用代入法,根據(jù)零點(diǎn)定理(y=f(x)是在區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù),如果有f(a)f(b)<0,則:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)有零點(diǎn),方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)有實(shí)根。)確定零點(diǎn)所在區(qū)間。例1:函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是( ) A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)【解析】代入法。選C。方法二:(圖像法)若所給函數(shù)由基本初等函數(shù)組合而成(即G(x)=g(x)-f(x)),可將函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程化成f(x)=g(x)的形式,則零點(diǎn)所在區(qū)間就是這兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)圖像交點(diǎn)所在區(qū)間。在坐標(biāo)軸上畫出兩個(gè)函數(shù)的圖形,找出圖像交點(diǎn)所在區(qū)間即可。如上面的例1中函數(shù)對(duì)應(yīng)方程可化為,在坐標(biāo)軸上畫出函數(shù)的圖象,可發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi)。3、求函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)的個(gè)數(shù)或根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求變量取值范圍。求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即求
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