高中數(shù)學(xué)直線和圓知識點(diǎn)總結(jié)

1、直線和圓一直線1斜率與傾斜角：，（1）時(shí)，；（2）時(shí)，不存在；（3）時(shí)，（4）當(dāng)傾斜角從增加到時(shí)，斜率從增加到；當(dāng)傾斜角從增加到時(shí)，斜率從增加到2直線方程（1）點(diǎn)斜式：（2）斜截式：（3）兩點(diǎn)式：（4）截距式：（5）一般式：3距離公式（1）點(diǎn)，之間的距離：（2）點(diǎn)到直線的距離：（3）平行線間的距離：與的距離：4位置關(guān)系（1）截距式：形式重合： 相交：平行： 垂直：（2）一般式：形式重合：且且平行：且且垂直： 相交：5直線系表示過兩直線和交點(diǎn)的所有直線方程（不含）二圓1圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)形式：（）（2）一般式：（）（3）參數(shù)方程：（是參數(shù)）【注】題目中出現(xiàn)動點(diǎn)求量時(shí)，通?？刹扇?shù)方程轉(zhuǎn)化為三角

2、函數(shù)問題去解決.（4）以,為直徑的圓的方程是：2位置關(guān)系（1）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)部當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓外（2）直線和圓的位置關(guān)系：判斷圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系當(dāng)時(shí)，直線和圓相交（有兩個(gè)交點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，直線和圓相切（有且僅有一個(gè)交點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，直線和圓相離（無交點(diǎn)）； 判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程消元后利用判斷(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷直線與圓相交3圓和圓的位置關(guān)系判斷圓心距與兩圓半徑之和，半徑之差（）的大小關(guān)系當(dāng)時(shí)，兩圓相離，有4條公切線；當(dāng)時(shí)，兩

3、圓外切，有3條公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓相交，有2條公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，有1條公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含，沒有公切線；4當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓相交直線方程等于兩圓方程相減5弦長公式：例1若圓x2y21與直線ykx2沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：由題意知 1，解得k.答案：(， )例2已知兩圓C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，則兩圓公共弦所在的直線方程是_解析：兩圓相減即得x2y40.答案：x2y40例3設(shè)直線xmy10與圓(x1)2(y2)24相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2，則實(shí)數(shù)m的值是_解析：由題意得，圓心(1,2)到直線xmy10的距離d1，即1，解得m

4、77;.答案：±例4若a，b，c是直角三角形ABC三邊的長(c為斜邊)，則圓C：x2y24被直線l：axbyc0所截得的弦長為_解析：由題意可知圓C：x2y24被直線l：axbyc0所截得的弦長為2 ，由于a2b2c2，所以所求弦長為2.答案：2例5已知M：x2(y2)21，Q是x軸上的動點(diǎn)，QA，QB分別切M于A，B兩點(diǎn)(1)若|AB|，求|MQ|及直線MQ的方程；(2)求證：直線AB恒過定點(diǎn)解：(1)設(shè)直線MQ交AB于點(diǎn)P，則|AP|，又|AM|1，APMQ，AMAQ，得|MP| ，又|MQ|，|MQ|3.設(shè)Q(x,0)，而點(diǎn)M(0,2)，由3，得x±，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(

5、，0)或(，0)從而直線MQ的方程為2xy20或2xy20.(2)證明：設(shè)點(diǎn)Q(q,0)，由幾何性質(zhì)，可知A，B兩點(diǎn)在以QM為直徑的圓上，此圓的方程為x(xq)y(y2)0，而線段AB是此圓與已知圓的公共弦，相減可得AB的方程為qx2y30，所以直線AB恒過定點(diǎn).例6過點(diǎn)(1，2)的直線l被圓x2y22x2y10截得的弦長為 ，則直線l的斜率為_解析：將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)21，其圓心為(1,1)，半徑r1.由弦長為得弦心距為. 設(shè)直線方程為y2k(x1)，即kxyk20，則，化簡得7k224k170，得k1或k.答案：1或例7圓x22xy230的圓心到直線xy30的距離為

6、_解析：圓心(1,0)，d1.答案：1例8圓心在原點(diǎn)且與直線xy20相切的圓的方程為_解析：設(shè)圓的方程為x2y2a2(a0)a，a，x2y22.答案：x2y22例9已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為_圓C的方程為x2y2DxF0，則解得圓C的方程為x2y24x60.答案(1)C(2)x2y24x60例10 (1)與曲線C：x2y22x2y0相內(nèi)切，同時(shí)又與直線l：y2x相切的半徑最小的圓的半徑是_ (2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x2)2(y1)21則2xy的最大值為_，最小值為_解析：(1)依題意，曲線C表示的是以點(diǎn)C(1，1)為圓心，為半徑的圓，圓心C(1，

7、1)到直線y2x即xy20的距離等于2，易知所求圓的半徑等于.(2)令b2xy，則b為直線2xyb在y軸上的截距的相反數(shù)，當(dāng)直線2xyb與圓相切時(shí)，b取得最值由1.解得b5±，所以2xy的最大值為5，最小值為5.答案：(1)(2)55例11已知x，y滿足x2y21，則的最小值為_解析：表示圓上的點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)Q(1,2)連線的斜率，所以的最小值是直線PQ與圓相切時(shí)的斜率設(shè)直線PQ的方程為y2k(x1)即kxy2k0.由1得k，結(jié)合圖形可知，故最小值為.答案：例12已知兩點(diǎn)A(2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2y22x0上任意一點(diǎn)，則ABC面積的最小值是_解析：lAB：xy20，

8、圓心(1,0)到l的距離d，則AB邊上的高的最小值為1.故ABC面積的最小值是×2×3.答案：3例13平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長為（1）求圓O的方程；（2）若直線與圓O切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于D，E，當(dāng)DE長最小時(shí)，求直線的方程；（3）設(shè)M，P是圓O上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N，若直線MP、NP分別交于x軸于點(diǎn)（m，）和（n，），問mn是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由 解： 因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為， 所以圓的半徑為， 故圓的方程為 設(shè)直線的方程為，即， 由直線與圓相切，得，即， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)直線的方程

9、為 設(shè)，則， 直線與軸交點(diǎn)， 直線與軸交點(diǎn)， ， 故為定值2 例14圓x2+y2=8內(nèi)一點(diǎn)P（1，2），過點(diǎn)P的直線l的傾斜角為，直線l交圓于A、B兩點(diǎn). （1）當(dāng)=時(shí),求AB的長； （2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求直線l的方程. 解:（1）當(dāng)=時(shí)，kAB=1，直線AB的方程為y2=（x+1），即xy1=0.故圓心（0，0）到AB的距離d=，從而弦長|AB|=2=. （2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=2，y1+y2=4. 由 兩式相減得（x1+x2）（x1x2）+（y1+y2）（y1y2）=0， 即2（x1x2）+4（y1y2）=0， kAB=. 直線l的方程為y2=（x

10、1），即x2y5=0.例15已知半徑為5的動圓C的圓心在直線l:xy+10=0上. (1)若動圓C過點(diǎn)(5,0),求圓C的方程;(2)是否存在正實(shí)數(shù)r,使得動圓C中滿足與圓O:x2+y2=r2相外切的圓有且僅有一個(gè)，若存在,請求出來;若不存在,請說明理由.解: (1)依題意,可設(shè)動圓C的方程為(xa)2+(yb)2=25,其中圓心(a,b)滿足ab+10=0. 又動圓過點(diǎn)(5,0),(5a)2+(0b)2=25. 解方程組, 可得或, 故所求圓C的方程為(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y5)2=25. (2)圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d=5. 當(dāng)r滿足r+5d時(shí)，動圓C中不存在與圓O：x2+y2=r2相外切的圓； 當(dāng)r滿足r+5d時(shí)，r每取一個(gè)數(shù)值，動圓C中存在兩個(gè)圓與圓O：x2+y2=r2相外切； 當(dāng)r滿足r+5=d,即r=55時(shí)，動圓C中有且僅有1個(gè)圓與圓O：x2+y2=r2相外切.題目1自點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為 2求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程.3若點(diǎn)P在直線l1：xy30上，過點(diǎn)P的直線l2與曲線C：(x5)2y216相切于點(diǎn)M，則PM的最小值 4設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x2+y2+2x6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q，滿足關(guān)于直線x+my+4=0對稱，又滿足·=0.（1）求m的值；（2）求直線PQ的方程.5已知圓C：