高一綜合班數(shù)學(xué)第七講倍角的正弦、余弦、正切

1、2015年寒春班高一A數(shù)學(xué)第七講（150212）倍角的正弦、余弦、正切一、復(fù)習(xí)與提高二角和與差的公式：； tana+tanb=tan(a+b)(1-tanatanb)； .口訣：余弦和與差：積同名，號(hào)相異；正弦和與差：積名異，符號(hào)同；輔助角的應(yīng)用：.其中，且角所在的象限與點(diǎn)所在象限一致.常用?？冀Y(jié)論：練習(xí)：1、已知sin，cos，且為第二象限角，則m的允許值為()A.m6 B6mCm4 Dm4或m答案：C；解析：由sin2cos21得，()2()21，m4或，又sin0，cos0，把m的值代入檢驗(yàn)得，m4.2、已知、均為銳角，且tan，則tan()_.答案：1；解析：tan，tantan()又

2、、均為銳角，即，tan()tan1.3在ABC中，已知tanA3tanB，則tan(AB)的最大值為_(kāi)，此時(shí)角A的大小為_(kāi)解析：由于tan(AB).當(dāng)且僅當(dāng)1tanB時(shí)取“”號(hào)，則tanBtanAA60°.答案：60°4在ABC中，3sinA4cosB6,4sinB3cosA1，則C等于()A30° B150°C30°或150° D60°或120°答案：A；解析：已知兩式兩邊分別平方相加，得2524(sinAcosBcosAsinB)2524sin(AB)37，sin(AB)sinC，C30°或150&#

3、176;.當(dāng)C150°時(shí)，AB30°，此時(shí)3sinA4cosB3sin30°4cos0°，這與3sinA4cosB6相矛盾，C30°.5如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角、，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn)已知A、B的橫坐標(biāo)分別為，.(1)求tan()的值；(2)求2的值解：(1)由已知條件及三角函數(shù)的定義可知，cos，cos.因?yàn)殇J角，故sin0，從而sin，同理可得sin.因此tan7，tan.所以tan()3.(2)tan(2)tan()1.又0，0，故02，從而由tan(2)1得2.二、二倍角公式在上述公式中

4、取即可得到二倍角公式：又因?yàn)椋?。三、?yīng)用1正用 例1、設(shè)，求的值。解：，練習(xí)1、已知sin2=,<<,求sin4,cos4,tan4的值.解:由<<,得<2<.又sin2=,cos2=.于是sin4=sin2×(2)=2sin2cos2=2××()=;cos4=cos2×(2)=1-2sin22=1-2×()2=;tan4=(-)×=.練習(xí)2、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.活動(dòng)：本例是一道靈活應(yīng)用二倍角公式的經(jīng)典例題，有一定難度，

5、但也是訓(xùn)練學(xué)生思維能力的一道好題.本題需要公式的逆用，逆用公式的先決條件是認(rèn)識(shí)公式的本質(zhì)，要善于把表象的東西拿開(kāi)，正確捕捉公式的本質(zhì)屬性，以便合理運(yùn)用公式.教學(xué)中教師可讓學(xué)生充分進(jìn)行討論探究，不要輕易告訴學(xué)生解法，可適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生需要做怎樣的變化，又需怎樣應(yīng)用二倍角公式.并點(diǎn)撥學(xué)生結(jié)合誘導(dǎo)公式思考.學(xué)生經(jīng)過(guò)探索發(fā)現(xiàn)，如果用誘導(dǎo)公式把10°，30°，50°，70°正弦的積化為20°,40°,60°,80°余弦的積,其中60°是特殊角,很容易發(fā)現(xiàn)40°是20°的2倍,80°是40&

6、#176;的2倍,故可考慮逆用二倍角公式.解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°=點(diǎn)評(píng)：二倍角公式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)之一，又是解答許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要模型和工具，具有靈活多變，技巧性強(qiáng)的特點(diǎn)，要注意在訓(xùn)練中細(xì)心體會(huì)其變化規(guī)律.例2已知sin(x)，則sin2x的值等于()AB.C D.答案：A；解析：sin(x)(sinxcosx)，所以sinxcosx，所以(sinxcosx)21sin2x，故sin2x.練習(xí)1.已知為第二象限角，sincos，則cos2_答案：；解析： sincos，(sincos)2， 2sincos，即s

7、in2.為第二象限角且sincos>0， 2k<<2k(kZ)， 4k<2<4k(kZ)， 2為第三象限角， cos2.練習(xí)2已知cos，x.(1)求sinx的值；(2)求sin的值解：(1)法一：因?yàn)閤，所以x，sin .sinxsinsin(x)coscos(x)sin××.法二：由題設(shè)得cosxsinx，即cosxsinx.又sin2xcos2x1，從而25sin2x5sinx120，解得sinx或sinx.因?yàn)閤，所以sinx.(2)因?yàn)閤，故cosx.sin2x2sinxcosx，cos2x2cos2x1.所以sinsin2xcosc

8、os2xsin.練習(xí)3設(shè)asin15°cos15°，bsin17°cos17°，則下列各式中正確的是()Aab BabCba Dba答案：B；解析：asin(15°45°)sin60°，bsin(17°45°)sin62°，ba.sin260°sin262°2sin60°sin62°sin62°，ba.例3、計(jì)算=.解析：=練習(xí)、在ABC中,cosA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值.活動(dòng)：這是本節(jié)課本上最后一個(gè)例題，結(jié)合三角形，具有一

9、定的綜合性,同時(shí)也是和與差公式的應(yīng)用問(wèn)題.教師可引導(dǎo)學(xué)生注意在三角形的背景下研究問(wèn)題,會(huì)帶來(lái)一些隱含的條件,如A+B+C=,0<A<,0<B<,0<C<,就是其中的一個(gè)隱含條件.可先讓學(xué)生討論探究，教師適時(shí)點(diǎn)撥.學(xué)生探究解法時(shí)教師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考由條件到結(jié)果的函數(shù)及角的聯(lián)系.由于對(duì)2A+2B與A,B之間關(guān)系的看法不同會(huì)產(chǎn)生不同的解題思路,所以學(xué)生會(huì)產(chǎn)生不同的解法，不過(guò)它們都是對(duì)倍角公式、和角公式的聯(lián)合運(yùn)用，本質(zhì)上沒(méi)有區(qū)別.不論學(xué)生的解答正確與否，教師都不要直接干預(yù).在學(xué)生自己嘗試解決問(wèn)題后,教師可與學(xué)生一起比較各種不同的解法，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題方法的歸納總

10、結(jié).基礎(chǔ)較好的班級(jí)還可以把求tan(2A+2B)的值改為求tan2C的值.解：方法一:在ABC中,由cosA=,0<A<,得sinA=所以tanA=×=,tan2A=又tanB=2,所以tan2B=于是tan(2A+2B)=方法二:在ABC中,由cosA=,0<A<,得sinA=所以tanA=×=.又tanB=2,所以tan(A+B)=于是tan(2A+2B)=tan2(A+B)=例4、 如何用分別表示和。解：，即同理有：。;練習(xí)、求sin18°和cos36°的值.解：sin36°cos54°，即sin（2&#

11、215;18°）cos（3×18°）2sin18°cos18°4cos318°3cos18°cos18°0，2sin18°4cos218°3整理得4sin218°2sin18°10說(shuō)明：本題通過(guò)二倍角和三倍角公式構(gòu)造了關(guān)于sin18°的方程求解，但利用sin54°cos36°很難解出sin18°.在解決三角函數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中也要適當(dāng)注意一些代數(shù)方法的使用.2逆用 例5、化簡(jiǎn) 。解：=。練習(xí)1、已知，是否存在滿足的、使F()的值是一個(gè)與無(wú)關(guān)

12、的常數(shù)，若存在，試求出、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：，練習(xí)2、證明=tan.活動(dòng)：先讓學(xué)生思考一會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生充分發(fā)揮聰明才智，戰(zhàn)勝它，并力爭(zhēng)一題多解.教師可點(diǎn)撥學(xué)生想一想，到現(xiàn)在為止，所學(xué)的證明三角恒等式的方法大致有幾種：從復(fù)雜一端化向簡(jiǎn)單一端；兩邊化簡(jiǎn)，中間碰頭；化切為弦；還可以利用分析綜合法解決，有時(shí)幾種方法會(huì)同時(shí)使用等.對(duì)找不到思考方向的學(xué)生，教師點(diǎn)出：可否再添加一種，化倍角為單角？這可否成為證明三角恒等式的一種方法？再適時(shí)引導(dǎo)，前面學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí)曾用到“1”的代換，對(duì)“1”的妙用大家深有體會(huì)，這里可否在“1”上做做文章？待學(xué)生探究解決方法后，可找?guī)讉€(gè)學(xué)生到黑板書(shū)寫(xiě)解

13、答過(guò)程，以便對(duì)照點(diǎn)評(píng)及給學(xué)生以啟發(fā).點(diǎn)評(píng)時(shí)對(duì)能夠善于運(yùn)用所學(xué)的新知識(shí)解決問(wèn)題的學(xué)生給予贊揚(yáng)；對(duì)暫時(shí)找不到思路的學(xué)生給予點(diǎn)撥、鼓勵(lì).強(qiáng)調(diào)“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出現(xiàn)，在證明過(guò)程中就會(huì)起到至關(guān)重要的作用，在今后的證題中，萬(wàn)萬(wàn)不要忽視它.證明:方法一:左=tan=右.所以,原式成立.方法二:左=tan=右.方法三:左=tan=右.練習(xí)3、化簡(jiǎn)：解：原式=cot2.例6、設(shè)，且，求。解：即，又，所以，練習(xí)、當(dāng)0x時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為()A2 B2C4 D4答案：C；解析：f(x)2 4，當(dāng)且僅當(dāng)，即tanx時(shí)，取“”，0x，存在x使tanx，這時(shí)f(x)min4.例7、化簡(jiǎn)。練

14、習(xí)、2的化簡(jiǎn)結(jié)果是()A4cos42sin4 B2sin4C2sin44cos4 D2sin4答案：D；解析：原式22|cos4|2|sin4cos4|，4，cos40，sin4cos4.原式2cos42(cos4sin4)2sin4.例8、已知，求練習(xí)、求證：。方法1： 方法2：由兩角差的正切公式有例9、已知，求的值.分析：由得：，則或.又，所以.由萬(wàn)能公式得，.知.例10已知，則在第幾象限。解：第三象限。例11、知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.分析：由，令，則，其中.則關(guān)于的方程在上有解.注意到方程兩根之積為1，若有實(shí)根必有一根在內(nèi)，只要即可，得或.練習(xí)1已知tan()3，(0，)

15、(1)求tan的值；(2)求sin(2)的值解：(1)由tan()3可得3.解得tan2.(2)由tan2，(0，)，可得sin，cos.因此sin22sincos，cos212sin2，sin(2)sin2coscos2sin××.練習(xí)2、已知cos=,cos(-)=,且0<<<,(1)求tan2的值;(2)求.解:(1)由cos=,0<<,得sin=tan=4.于是tan2=(2)由0<<<,得0<-<.又cos(-)= ,sin(-)=由=-(-),得cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=×+=.=.點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號(hào),已知三角函數(shù)值求角以及計(jì)算能力.練習(xí)2、計(jì)算：_.答案：；解析：.2015年寒春班高一A數(shù)學(xué)第六講（150210）課后作業(yè)1.不查表,求值:sin15°+cos15°.解:原式=點(diǎn)評(píng)：本題在兩角和與差的學(xué)習(xí)中已經(jīng)解決過(guò)，現(xiàn)用二倍角公式給出另外的解法，讓學(xué)生