離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換

1、離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換將連續(xù)信號(hào)變成離散信號(hào)有各種取樣將連續(xù)信號(hào)變成離散信號(hào)有各種取樣方法，其中最常用的是等間隔周期取樣，方法，其中最常用的是等間隔周期取樣，即每隔固定時(shí)間即每隔固定時(shí)間T取一個(gè)信號(hào)值，如圖取一個(gè)信號(hào)值，如圖2-1所示。其中所示。其中T稱為取樣周期，稱為取樣周期，T的倒數(shù)稱為的倒數(shù)稱為取樣頻率或取樣率。記為取樣頻率或取樣率。記為圖2-1 連續(xù)信號(hào)的取樣取樣定理取樣定理Shannon定理定理任一連續(xù)信號(hào)任一連續(xù)信號(hào)xa(t)，設(shè)其頻譜的最高，設(shè)其頻譜的最高頻率分量為頻率分量為fm，則當(dāng)對(duì)它進(jìn)行取樣時(shí)，只，則當(dāng)對(duì)它進(jìn)行取樣時(shí)，只要選擇取樣率等于或大于要選擇取樣率等于或大于2fm ，就

2、可以由這，就可以由這個(gè)取樣序列個(gè)取樣序列xa (nT)來唯一準(zhǔn)確地恢復(fù)來唯一準(zhǔn)確地恢復(fù)xa (t)。設(shè)有一限帶信號(hào)設(shè)有一限帶信號(hào)xa(t)。當(dāng)。當(dāng)| max，它的付氏變換為它的付氏變換為Xa()。將。將xa(t)乘一取樣函乘一取樣函數(shù)數(shù)p(t) 就得到就得到xa(t)，如圖，如圖2.2所示。所示。圖圖2-2 連續(xù)信號(hào)取樣的數(shù)學(xué)模型連續(xù)信號(hào)取樣的數(shù)學(xué)模型 取取 樣樣 函函 數(shù)數(shù) 定定 義義 為為 nnTtTtcombTt p)() (1) ( 2 .1 )圖圖2-5 取樣過程的時(shí)域與頻域關(guān)系取樣過程的時(shí)域與頻域關(guān)系最后需要說明一點(diǎn)：上述取最后需要說明一點(diǎn)：上述取樣定理是理想取樣，如果取樣函樣定理

3、是理想取樣，如果取樣函數(shù)不是單位沖擊函數(shù)序列，而是數(shù)不是單位沖擊函數(shù)序列，而是窄脈沖函數(shù)序列，則如圖窄脈沖函數(shù)序列，則如圖2-6所示所示(詳細(xì)情況請(qǐng)參看相關(guān)資料詳細(xì)情況請(qǐng)參看相關(guān)資料)。圖2-6 理想取樣和非理想取樣的比較用大于奈奎斯特取樣頻率取樣用大于奈奎斯特取樣頻率取樣限帶信號(hào)限帶信號(hào)xa(t)，則被取樣信號(hào)，則被取樣信號(hào)xa(t)通過理想低通濾波器，只要其截止通過理想低通濾波器，只要其截止頻率頻率c滿足滿足maxc(smax)時(shí)，就可以恢復(fù)出原來信號(hào)，如圖時(shí)，就可以恢復(fù)出原來信號(hào)，如圖2-8所示。所示。圖圖2-8 取樣信號(hào)的恢復(fù)與理想低通濾波器的傳輸函數(shù)取樣信號(hào)的恢復(fù)與理想低通濾波器的傳

4、輸函數(shù)圖圖2-9 連續(xù)信號(hào)的內(nèi)插表示連續(xù)信號(hào)的內(nèi)插表示圖圖2-10 連續(xù)信號(hào)用三角形內(nèi)插函數(shù)連續(xù)信號(hào)用三角形內(nèi)插函數(shù)離散時(shí)間信號(hào)是在離散的時(shí)離散時(shí)間信號(hào)是在離散的時(shí)間上取值，在兩個(gè)取樣間隔內(nèi)數(shù)間上取值，在兩個(gè)取樣間隔內(nèi)數(shù)值為零的信號(hào)。值為零的信號(hào)。單位取樣序列的定義為單位取樣序列的定義為其圖形如圖其圖形如圖2-15所示。所示。0001)(nnn圖2-15 單位取樣序列單位階躍序列的定義為單位階躍序列的定義為其圖形如圖其圖形如圖2.16所示。所示。 0001nnnU圖圖2-16 單位階躍序列單位階躍序列矩形序列的定義為矩形序列的定義為其圖形如圖其圖形如圖2-17所示。所示。 NnnNnnRN,

5、00101圖2-17 矩形序列實(shí)指數(shù)序列的定義為實(shí)指數(shù)序列的定義為x(n)=an其中其中a為不等于零的任意實(shí)數(shù)。為不等于零的任意實(shí)數(shù)。圖圖2-18是是0a1的一個(gè)實(shí)指數(shù)的一個(gè)實(shí)指數(shù)序列的圖形。序列的圖形。圖2-18 實(shí)指數(shù)序列正弦序列的定義為正弦序列的定義為其圖形如圖其圖形如圖2-19所示。所示。圖圖2-19正弦序列正弦序列離散系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上定義為將輸入序列離散系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列映射成輸出序列y(n)的惟一性變換或運(yùn)的惟一性變換或運(yùn)算。亦即將一個(gè)序列變換成另一個(gè)序列的算。亦即將一個(gè)序列變換成另一個(gè)序列的系統(tǒng)，記為系統(tǒng)，記為通常將上式表示成圖通常將上式表示成圖2-2

6、0所示的框圖。所示的框圖。圖圖2-20 離散系統(tǒng)的模型離散系統(tǒng)的模型滿足疊加原理的系統(tǒng)具有線性特性，滿足疊加原理的系統(tǒng)具有線性特性，即若對(duì)兩個(gè)激勵(lì)即若對(duì)兩個(gè)激勵(lì)x1(n)和和x2(n)有有)()()()(2121nxbTnxaTnbxnaxT系統(tǒng)的非移變是指系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)系統(tǒng)的非移變是指系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而變化。用數(shù)學(xué)表示為間而變化。用數(shù)學(xué)表示為Tx(nn0)=y(nn0)即不管輸入信號(hào)作用的時(shí)間先后，輸出信即不管輸入信號(hào)作用的時(shí)間先后，輸出信號(hào)響應(yīng)的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時(shí)間不號(hào)響應(yīng)的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時(shí)間不同，如圖同，如圖2-22 所示。所示。圖2-22 離散系統(tǒng)的非移變特性線性非移

7、變系統(tǒng)就是既滿足迭加線性非移變系統(tǒng)就是既滿足迭加原理又具有非移變特性的系統(tǒng)，將其原理又具有非移變特性的系統(tǒng)，將其描繪如圖描繪如圖2-24所示。所示。圖2-24 線性非移變系統(tǒng)模型計(jì)算線性卷積有計(jì)算線性卷積有4種方法。種方法。 利用兩個(gè)序列的解析式直接計(jì)利用兩個(gè)序列的解析式直接計(jì)算式算式(2-34)。 利用兩個(gè)序列的移位求和，即利用兩個(gè)序列的移位求和，即先把一個(gè)序列倒置。每次將它向下移先把一個(gè)序列倒置。每次將它向下移一步，求出兩序列重疊部分乘積之和。一步，求出兩序列重疊部分乘積之和。 用作圖法求。用作圖法求。 卷積的卷積的Matlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)輸入序列是有界對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)輸入序列

8、是有界時(shí)，其輸出也是有界的，則稱它是穩(wěn)定時(shí)，其輸出也是有界的，則稱它是穩(wěn)定系統(tǒng)。用數(shù)學(xué)描述則為系統(tǒng)。用數(shù)學(xué)描述則為如果如果x(n)對(duì)于一切對(duì)于一切n則則y(n)對(duì)于一切對(duì)于一切n因?yàn)橐驗(yàn)槠渲屑僭O(shè)其中假設(shè)x(n)M。 kkkkhMknxkhknxkhny) ()() ()( ) () (一個(gè)系統(tǒng)如果其輸出變化不會(huì)發(fā)生在一個(gè)系統(tǒng)如果其輸出變化不會(huì)發(fā)生在輸入變化之前，則稱它是因果的。這就是輸入變化之前，則稱它是因果的。這就是說對(duì)于因果系統(tǒng)，如果取說對(duì)于因果系統(tǒng)，如果取n0 ,當(dāng)當(dāng)n n0時(shí)，時(shí)，x1(n) = x2(n),則則n n0時(shí)，時(shí)，y1(n)=y2(n)。一個(gè)。一個(gè)線性非移變系統(tǒng)當(dāng)線性非移

9、變系統(tǒng)當(dāng)n0時(shí)的因果充要條件是時(shí)的因果充要條件是其單位取樣響應(yīng)等于零其單位取樣響應(yīng)等于零,即即h(n)=0n0這 個(gè) 充 要 條 件 可 以 從這 個(gè) 充 要 條 件 可 以 從 y （ n ） ） x(n)*h(n) 的解析式中導(dǎo)出。的解析式中導(dǎo)出。非遞歸型因果系統(tǒng)是輸出的現(xiàn)在值僅僅非遞歸型因果系統(tǒng)是輸出的現(xiàn)在值僅僅取決于輸入的現(xiàn)在值與輸入的過去值的系統(tǒng)。取決于輸入的現(xiàn)在值與輸入的過去值的系統(tǒng)。非遞歸，即輸出對(duì)輸入無反饋。因此，設(shè)在非遞歸，即輸出對(duì)輸入無反饋。因此，設(shè)在n時(shí)刻輸入時(shí)刻輸入x(n)與輸出與輸出y(n)的關(guān)系為的關(guān)系為y(n)=f,x(n-1),x(n),x(n+1),若系統(tǒng)是線

10、性非移變的，若系統(tǒng)是線性非移變的，y(n)可表示為可表示為 iiinxany)() ( ai為為 常常 系系 教教遞歸型因果系統(tǒng)輸出的現(xiàn)在值不僅取遞歸型因果系統(tǒng)輸出的現(xiàn)在值不僅取決于輸入的現(xiàn)在值與過去值，還取決于輸決于輸入的現(xiàn)在值與過去值，還取決于輸出的過去值。出的過去值。y(n)=f,x(n-1),x(n),x(n+1), +g,y(n-1),y(n+1),同理，在系統(tǒng)為線性、非移變、同理，在系統(tǒng)為線性、非移變、因果時(shí)，可推得因果時(shí)，可推得NiiMiiiny binxany10)()() ( (2 .3 3 )式式 中中 ai ，bi為為 常常 系系 數(shù)數(shù) 。對(duì)于連續(xù)信號(hào)對(duì)于連續(xù)信號(hào)xa(t

11、)與其頻譜與其頻譜Xa()之間存在著傅氏變換關(guān)系，如圖之間存在著傅氏變換關(guān)系，如圖2-28所示。前邊已經(jīng)討論了連續(xù)信號(hào)所示。前邊已經(jīng)討論了連續(xù)信號(hào)xa(t)的的離散化，即取樣的問題，已經(jīng)知道取離散化，即取樣的問題，已經(jīng)知道取樣序列的頻譜是原信號(hào)頻譜在樣序列的頻譜是原信號(hào)頻譜在軸上的軸上的周期延拓，如圖周期延拓，如圖2-28(b)所示。所示。圖圖2-28連續(xù)和離散信號(hào)的傅氏變換連續(xù)和離散信號(hào)的傅氏變換從從2.1節(jié)的討論知道，對(duì)連續(xù)信號(hào)在時(shí)節(jié)的討論知道，對(duì)連續(xù)信號(hào)在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行取樣的結(jié)果，是頻域內(nèi)頻譜周期域內(nèi)進(jìn)行取樣的結(jié)果，是頻域內(nèi)頻譜周期的延拓，并且還得到了已取樣信號(hào)的延拓，并且還得到了已取樣信號(hào)

12、xa(t)在在頻域內(nèi)的表示，現(xiàn)重寫為頻域內(nèi)的表示，現(xiàn)重寫為naaTnXTX)2(1)(既既 然然 )(aX 是是 周周 期期 函函 數(shù)數(shù) （ 周周 期期 為為T2） ， 就就 可可 以以將將 它它 寫寫 成成 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 形形 式式 ， 求求 ) ( txa 的的 付付 氏氏 變變 換換 可可 得得njnTananaaenTxnTtFnTxnTtntxFtxF)()()()()()( 即即 njnTaaenTxX)()( (2.42 )從從2.3節(jié)的討論得到線性非移變離散系節(jié)的討論得到線性非移變離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為對(duì)上式兩邊同時(shí)進(jìn)行傅氏變換得對(duì)上式兩邊同時(shí)進(jìn)行傅氏變換得k

13、knhkxnhnxny)()()()()()()()()( )()()(jwjwnknjkjknkjnjweHeXeknhekxeknhkxeY即即 )()()(jwjwjweHeXeY (2 .4 5 )從從 而而 有有 關(guān)關(guān) 系系 式式 )()()(jjjeXeYeH (2 .4 6 )我我 們們 稱稱H (ejw) 為為 系系 統(tǒng)統(tǒng) 的的 頻頻 率率 響響 應(yīng)應(yīng) 。 可可 以以 證證 明明 ，它它 是是 單單 位位 取取 樣樣 響響 應(yīng)應(yīng) h (n ) 的的 傅傅 氏氏 變變 換換 ， 即即 )()(jwFeHnh 首先定義兩種序列，共軛對(duì)稱序列與首先定義兩種序列，共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)

14、稱序列。共軛反對(duì)稱序列。序列的卷積特性是時(shí)域內(nèi)的卷積關(guān)系序列的卷積特性是時(shí)域內(nèi)的卷積關(guān)系映射到頻域內(nèi)為相乘，即映射到頻域內(nèi)為相乘，即 jjFeHeXnhnx序列的傅氏變換是序列的傅氏變換是的周期函數(shù)，的周期函數(shù)，周期為周期為2。)( *) ( *jwFeXnx )( *) ( *jwFeXnx )()(RejweFeXnx R e 表表 示示 實(shí)實(shí) 部部 （ X (ejw) 的的 共共 軛軛 對(duì)對(duì) 稱稱 部部 分分 ）)()( jwoFmeXnxjI I m 表表 示示 虛虛 部部 （ X (ejw) 的的 共共 軛軛 反反 對(duì)對(duì) 稱稱 部部 分分 ）)(Re) (jwFeeXnx )() (

15、jwmFoeXjInx 4 實(shí)實(shí) 序序 列列 付付 氏氏 變變 換換 的的 對(duì)對(duì) 稱稱 性性(1 ) jjeXeX*， 即即 時(shí)時(shí) 氏氏 變變 換換 是是 共共 軛軛 對(duì)對(duì) 稱稱 的的 。(2 ) )()(jejeeXReXR， 即即 實(shí)實(shí) 都都 是是 偶偶 函函 數(shù)數(shù) 。(3 ) )(jmjmeXIeXI， 即即 應(yīng)應(yīng) 都都 是是 奇奇 函函 數(shù)數(shù) 。(4 ) jjeXeX)(， 即即 幅幅 變變 是是 偶偶 函函 數(shù)數(shù) 。(5 ) jjeXeX argarg， 即即 怕怕 應(yīng)應(yīng) 是是 奇奇 函函 數(shù)數(shù) 。(6 ) )(jeeeXRnX, xe(n )是是 偶偶 序序 列列 部部 分分 。)

16、()(jmoeXjInX， xo(n )是是 奇奇 序序 列列 部部 分分 。對(duì)于一個(gè)序列對(duì)于一個(gè)序列x(n)，其，其z變換的定義為變換的定義為其中其中z為復(fù)變量，也可記作為復(fù)變量，也可記作Zx(n)=X(z)。式。式(2-49)的定義也稱為雙邊的定義也稱為雙邊z 變換；變換；相應(yīng)的還有單邊相應(yīng)的還有單邊z變換。變換。nnznxzX)()(對(duì)于所有的序列或所有的對(duì)于所有的序列或所有的z值，值，z變換變換并不總是收斂的。對(duì)于任意給定的序列，并不總是收斂的。對(duì)于任意給定的序列，使使z變換收斂的變換收斂的z值集合稱作收斂區(qū)域：值集合稱作收斂區(qū)域：Z：X(z)存在存在收斂區(qū)域。收斂區(qū)域。其內(nèi)徑其內(nèi)徑R

17、-與外徑與外徑R+分別取分別取x(n)在在n和和n-時(shí)的形狀。時(shí)的形狀。z變換收斂域的概念很重要，不同的序變換收斂域的概念很重要，不同的序列可能有相同的列可能有相同的z變換表達(dá)式，但是收斂域變換表達(dá)式，但是收斂域卻不同，所以應(yīng)該特別注意，只有當(dāng)卻不同，所以應(yīng)該特別注意，只有當(dāng)z變換變換的表達(dá)式與收斂域都相同時(shí)，才能判定兩的表達(dá)式與收斂域都相同時(shí)，才能判定兩個(gè)序列相等。個(gè)序列相等。根據(jù)以上討論，可以概括為根據(jù)以上討論，可以概括為( 1 ) 對(duì) 右 邊 序 列對(duì) 右 邊 序 列 ( n 0 存存在在)，zR-收斂，且收斂，且R-是右是右序列的極點(diǎn)。序列的極點(diǎn)。(2) 對(duì)左邊序列對(duì)左邊序列(n0存存

18、在在)，zR+收斂，且收斂，且R+是是左邊序列的極點(diǎn)。左邊序列的極點(diǎn)。(3) 若若X(z)不只一個(gè)極點(diǎn)，則找與不只一個(gè)極點(diǎn)，則找與收斂域相重的那個(gè)極點(diǎn)，對(duì)右邊序列，收斂域相重的那個(gè)極點(diǎn)，對(duì)右邊序列，最外極點(diǎn)之外的區(qū)域?yàn)槭諗坑?；?duì)左最外極點(diǎn)之外的區(qū)域?yàn)槭諗坑颍粚?duì)左邊序列，最內(nèi)極點(diǎn)之內(nèi)的區(qū)域?yàn)槭諗窟呅蛄校顑?nèi)極點(diǎn)之內(nèi)的區(qū)域?yàn)槭諗坑?，如圖域，如圖2-31所示。所示。(4) 對(duì)雙邊序列，若在左邊序列的對(duì)雙邊序列，若在左邊序列的收斂域存在重疊部分，則這重疊部分收斂域存在重疊部分，則這重疊部分就是它的收斂域。若不存在重迭部分，就是它的收斂域。若不存在重迭部分，則則z變換不存在。變換不存在。描述線性非移變系

19、統(tǒng)的差分方程為描述線性非移變系統(tǒng)的差分方程為對(duì)上式方程兩邊取對(duì)上式方程兩邊取z變換為變換為MiiNjjinxbjnya00)()( NjMiiijjzXz bzYza00) () ( NjjjMiiiNjjjMiiizaz bzaz bzXzY10001) () (我我 們們 定定 義義 系系 統(tǒng)統(tǒng) （ 傳傳 遞遞 ） 函函 數(shù)數(shù) 為為 NjjjMiiizazbzXzYzH00) () () (在在Matlab中，中，reqz函數(shù)計(jì)算幅度和相函數(shù)計(jì)算幅度和相位響應(yīng)，它有如下位響應(yīng)，它有如下5種調(diào)用方式。種調(diào)用方式。b和和 a分別表示分子和分母的系數(shù)向量，分別表示分子和分母的系數(shù)向量，與與 fi

20、lter(b，a，x)函數(shù)中的相同。此函數(shù)在函數(shù)中的相同。此函數(shù)在單位圓上半部上等間隔的計(jì)算單位圓上半部上等間隔的計(jì)算N點(diǎn)頻率響點(diǎn)頻率響應(yīng)，返回該系統(tǒng)的應(yīng)，返回該系統(tǒng)的 N點(diǎn)頻率矢量點(diǎn)頻率矢量 w和和 N點(diǎn)點(diǎn)復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)矢量復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)矢量 H。如果如果 N沒有說明，沒有說明，則缺省值為則缺省值為 512。在整個(gè)單位圓上等間隔的計(jì)算在整個(gè)單位圓上等間隔的計(jì)算N點(diǎn)點(diǎn)頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)。它返回矢量它返回矢量 w指定的那些頻率點(diǎn)上指定的那些頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)，通常在的頻率響應(yīng)，通常在 0到到之間。之間。給定取樣頻率給定取樣頻率 Fs，單位為單位為 Hz；返回返回單位為單位為 Hz的頻率矢量的頻率矢量

21、 F。給定單位為給定單位為 Hz的取樣頻率的取樣頻率Fs，返回返回矢量矢量F指定的那些頻率點(diǎn)上的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)，指定的那些頻率點(diǎn)上的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)，單位也是單位也是Hz。z反變換關(guān)系式可以利用柯西積分定理反變換關(guān)系式可以利用柯西積分定理推導(dǎo)出來，柯西定理為推導(dǎo)出來，柯西定理為式中式中c是一個(gè)逆時(shí)針方向環(huán)繞原點(diǎn)的圍線。是一個(gè)逆時(shí)針方向環(huán)繞原點(diǎn)的圍線。0k 0k dzzjck01211冪級(jí)數(shù)法也就是長(zhǎng)除法，冪級(jí)數(shù)法也就是長(zhǎng)除法，對(duì)于給定的對(duì)于給定的z變換變換X(z)，可以，可以根據(jù)它的收斂域判定序列根據(jù)它的收斂域判定序列x(n)是右邊序列還是左邊序是右邊序列還是左邊序列，或是雙邊序列。列，或是雙邊序列

22、。當(dāng)當(dāng)x(z)序列為有理函數(shù)時(shí)，可將序列為有理函數(shù)時(shí)，可將x(z)寫成一個(gè)和式為寫成一個(gè)和式為因?yàn)?，?duì)于右邊序列存在如下變換關(guān)系因?yàn)椋瑢?duì)于右邊序列存在如下變換關(guān)系iiizzzAzX)(iznizzznuz)(我們知道我們知道式中式中c是是X(z)收斂域內(nèi)的積分圍線。對(duì)于收斂域內(nèi)的積分圍線。對(duì)于n0時(shí)，對(duì)應(yīng)右邊序列，此時(shí)極點(diǎn)在時(shí)，對(duì)應(yīng)右邊序列，此時(shí)極點(diǎn)在c內(nèi)，內(nèi)，對(duì)對(duì)n0時(shí)，對(duì)應(yīng)左邊序列。此時(shí)極點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)左邊序列。此時(shí)極點(diǎn)在在c外，根據(jù)留數(shù)定理有外，根據(jù)留數(shù)定理有cndzzzXjnx1)(21)()()()(11外極點(diǎn)上的留數(shù)在內(nèi)極點(diǎn)上的留數(shù)在CzzXCzzXnxnn在在Matlab 中，函數(shù)中

23、，函數(shù)residuez 計(jì)算有理計(jì)算有理函數(shù)的留數(shù)函數(shù)的留數(shù)Rj、極點(diǎn)、極點(diǎn)pj和直接項(xiàng)系數(shù)和直接項(xiàng)系數(shù)Cj，設(shè)，設(shè)有多項(xiàng)式如下：有多項(xiàng)式如下：B(z)和和 A(z)分別是分子分母多項(xiàng)式，它們分別是分子分母多項(xiàng)式，它們按按z-1遞增順序排列。遞增順序排列。NMjjjNjjjNNMMzCzpRzazaazbzbbzAzBzX0111101101)()()(正如在式正如在式(2-56)中看到的，線性非移中看到的，線性非移變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)是具有實(shí)系數(shù)是具有實(shí)系數(shù)z的有的有理函數(shù)?，F(xiàn)在來討論系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)與系理函數(shù)?，F(xiàn)在來討論系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)與系統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂區(qū)的關(guān)系，亦即證明系

24、統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂區(qū)的關(guān)系，亦即證明系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布將決定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。函數(shù)的極點(diǎn)分布將決定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。假設(shè)有一假設(shè)有一N階因果系統(tǒng)，系統(tǒng)函階因果系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為數(shù)為H(z)，為方便起見，設(shè)，為方便起見，設(shè)H(z)只有只有單階極點(diǎn)，這樣系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)單階極點(diǎn)，這樣系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)由式由式(2-67)給出給出cndzzzHjnh1)(21)( ( (2 2. . 7 78 8) )對(duì)對(duì) 于于 n n= =0 00,)(Re,)(Re)0(1zzzHspzzzHshNii對(duì)對(duì) 于于 n n 0 01111),(Re,)(Re)(niNiiNiinppzzHspzzzHsnhcndzzzHj

25、nh1)(21)( ( (2 2. .7 78 8) )對(duì)對(duì)于于n n= =0 00,)(Re,)(Re) 0(1zzzHspzzzHshNii對(duì)對(duì)于于n n0 01111),(Re,)(Re)(niNiiNiinppzzHspzzzHsnh由以上的討論清楚看到，因由以上的討論清楚看到，因果穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂區(qū)域包括單位圓果穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂區(qū)域包括單位圓以及以外的整個(gè)以及以外的整個(gè)z平面。因而，因平面。因而，因果非移變的穩(wěn)定系統(tǒng)為果非移變的穩(wěn)定系統(tǒng)為(1) 極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)；極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)；(2) 收斂區(qū)域?yàn)槭諗繀^(qū)域?yàn)閘z。設(shè)設(shè)X(z)與與Y(z)分別是分別是x(n)與與y(n)的的z變換，變換，

26、即即 xxRzR zXnxZ),()( yyRzR zYnyZ),()(則則)()()()(zbYzaXnbynaxZ R R _ _ | | z z | | R R+ + ( ( 2 2 . . 8 8 2 2 ) )設(shè)序列設(shè)序列x(n)的的z變換為變換為Zx(n)=X(z) Rx-|z|Rx+如果序列如果序列x(n)乘上指數(shù)序列乘上指數(shù)序列an(a可以可以是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù))，則，則Zx(n) = X(z) Rx_|z|Rx+ 序列序列x(n)之之z變換的導(dǎo)數(shù)乘以變換的導(dǎo)數(shù)乘以(-z)等于等于x(n)經(jīng)線性加權(quán)后的經(jīng)線性加權(quán)后的z變換，即變換，即 dzzdXznnxZ) ()( R Rx x_

27、_ | |z z| | R Rx x+ + ( ( 2 2 . . 8 8 5 5 ） )()(*zXnxZ R Rx x_ _ | |z z| | R Rx x+ + （ 2 2 . . 8 8 6 6 ）如果如果n0時(shí)，時(shí)，x(n)為零，則為零，則如果如果w(n)是序列是序列x(n)和和y(n)的卷積，則的卷積，則w(n)的的z 變換是變換是x(n)和和y(n)的的z 變換的乘積，即變換的乘積，即w(n)=x(n)*y(n)則則)()0(limzXxz ) () () (zYzXzW R Ry y_ _ | |z z| | R Ry y+ + R Rx x_ _ | |z z| | R R

28、x x+ + ( ( 2 2 . . 8 8 8 8 ) )復(fù)卷積定理與序列的卷積是對(duì)偶復(fù)卷積定理與序列的卷積是對(duì)偶關(guān)系。設(shè)關(guān)系。設(shè)w(n)=x(n)y(n) 則則11)()(21)(cdvvvYvzXjzW或者或者式中式中C1是是X（z/v）與）與Y（v）兩者收斂區(qū)重）兩者收斂區(qū)重疊部分的閉合圍線；疊部分的閉合圍線；C2是是X(v)與與Y（z/v）兩）兩者收斂區(qū)重疊部分內(nèi)的閉合圍線。者收斂區(qū)重疊部分內(nèi)的閉合圍線。21)()(21)(cdvvvzYvXjzW設(shè)有兩個(gè)序列設(shè)有兩個(gè)序列x(n)與與y(n)，則帕斯維爾，則帕斯維爾定理為定理為cndvvvYvXjnynx1*)1() (21) () ( (2 .9 0 )式式 中中 積積 分分 圍圍 線線 C取取 在在 X (v ) 與與 )*1( *vY 兩兩者者 收收 斂斂 域域 的的 重重 迭迭 部部 分分 內(nèi)內(nèi) 。單邊單邊z 變換定義為變換定義為它和雙邊它和雙邊z變換的不同之處在于它只計(jì)算以變換的不同之處在于它只計(jì)算以序列序列x(n)的正向區(qū)間為系數(shù)的的正向區(qū)間為系數(shù)的 z-1冪級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)，而