西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第四章條件概率及獨(dú)立性

1、古典概率計(jì)算中的基本公式一、條件概率例例1 1 五個(gè)鬮五個(gè)鬮, 其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著“有有”字，字， 三個(gè)鬮內(nèi)不寫字三個(gè)鬮內(nèi)不寫字 ，五人依次抓取，五人依次抓取,問(wèn)各人抓到問(wèn)各人抓到“有有”字鬮的概率是否相字鬮的概率是否相同同?抓鬮問(wèn)題抓鬮問(wèn)題解解,人抓到有字鬮”的事件人抓到有字鬮”的事件表示“第表示“第設(shè)設(shè)iAi. 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i則有則有,52)(1 AP引申引申 若已知第一個(gè)人抓到的是若已知第一個(gè)人抓到的是“有有”字，則字，則第二個(gè)人抓到第二個(gè)人抓到“有有”字字的概率是多少？若已知的概率是多少？若已知第一個(gè)人沒有抓到第一個(gè)人沒有抓到 “有有”字字，則第二

2、個(gè)人抓到，則第二個(gè)人抓到“有有”字字的概率又是多少？的概率又是多少？2()?P A 一、條件概率定義定義1 1：已知事件：已知事件A A發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件B B發(fā)生的發(fā)生的概率稱為事件概率稱為事件A A發(fā)生條件下事件發(fā)生條件下事件B B的的條件概率條件概率，記作記作P(B|A)P(B|A)。AABnnABP )|()()(APABPnnnnAAB 若事件若事件A A、B B是古典概型的樣本空間是古典概型的樣本空間S S中的兩個(gè)事中的兩個(gè)事件，其中件，其中A A含有含有 個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn),AB,AB含有含有 個(gè)樣本個(gè)樣本點(diǎn)，則點(diǎn)，則 AnABn);()()()( ) 3(212

3、121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP 則有則有件件是兩兩不相容的事是兩兩不相容的事設(shè)設(shè)可加可列性可加可列性,A,A:)5(21. )BA(PBAP1ii1ii 2. 性質(zhì)性質(zhì); 1)(0:) 1 ( BAP有界性有界性0)B|(PBP 1,)(2)規(guī)范性規(guī)范性一、條件概率例例2 某種動(dòng)物由出生算起活某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為歲以上的概率為0.8, 活到活到25歲以上的概率為歲以上的概率為0.4, 如果現(xiàn)在有一個(gè)如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物歲的這種動(dòng)物, 問(wèn)它能活到問(wèn)它能活到25歲以上的概率是歲以上的概率是多少多少? 設(shè)設(shè) A 表示表示“ 能活能活

4、20 歲以上歲以上 ” 的事件的事件; B 表表示示 “ 能活能活 25 歲以上歲以上”的事件的事件,則有則有, 8 . 0)( AP因?yàn)橐驗(yàn)?)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所以所以解解一、條件概率一、條件概率例例3 3 一盒中混有一盒中混有100100只新、舊乒乓球，各有紅、白只新、舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取兩色，分類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。紅紅白白新新4030舊舊2

5、010設(shè)設(shè)A-A-從盒中隨機(jī)取到一只紅球從盒中隨機(jī)取到一只紅球. . B- B-從盒中隨機(jī)取到一只新球從盒中隨機(jī)取到一只新球. . 60An40ABn32)|(AABnnABP一、條件概率小結(jié)：求條件概率的方法小結(jié)：求條件概率的方法（1 1）縮小樣本空間：在樣本空間）縮小樣本空間：在樣本空間S S縮小的縮小的樣本空間樣本空間SASA中考察事件中考察事件B B發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。（2 2）用條件概率的定義計(jì)算公式。）用條件概率的定義計(jì)算公式。)()()|(APABPABP 二、乘法公式例例4 4 在空戰(zhàn)中，甲機(jī)先向乙機(jī)開火，擊落乙在空戰(zhàn)中，甲機(jī)先向乙機(jī)開火，擊落乙機(jī)的概率為機(jī)的概率為0.20

6、.2；若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還；若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為擊，擊落甲機(jī)的概率為0.30.3，在上述回合中，在上述回合中，甲機(jī)被擊落的概率為多少？甲機(jī)被擊落的概率為多少？ 啟示啟示：從此例可以看出，直接求兩個(gè)事：從此例可以看出，直接求兩個(gè)事件積的概率不易獲得，但可以通過(guò)將條件積的概率不易獲得，但可以通過(guò)將條件概率的計(jì)算式變形來(lái)求得。件概率的計(jì)算式變形來(lái)求得。二、乘法公式定理定理1 1 設(shè)設(shè)P(A)P(A)0,0,則有則有)|()()(ABPAPABP （2）同理對(duì)同理對(duì)P(B)P(B)0,0,有有 )|()()(BAPBPABP （3）二、乘法公式定理定理2 2 設(shè)設(shè)nAAA,

7、21為為n n個(gè)事件個(gè)事件(n2),(n2),且且 0)(121 nAAAP則)|()|()()(12112121 nnnAAAAPAAPAPAAAP（4）例例3 3 合中有合中有3 3個(gè)紅球，個(gè)紅球，2 2個(gè)白球，每次從袋中任取一個(gè)白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從合中連續(xù)取球色相同的球，若從合中連續(xù)取球4 4次次, ,試求第試求第1 1、2 2次取次取得白球、第得白球、第3 3、4 4次取得紅球的概率。次取得紅球的概率。解：設(shè)解：設(shè)A Ai i為第為第i i次取球時(shí)取到白球，則次取球時(shí)取到白球，

8、則)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP二、乘法公式例例4 甲、乙兩廠共同生產(chǎn)甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中個(gè)零件，其中300件是乙件是乙廠生產(chǎn)的廠生產(chǎn)的. 而在這而在這300個(gè)零件中，有個(gè)零件中，有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，問(wèn)個(gè)零件中任取一個(gè)，問(wèn)這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？的概率是多少？所求為所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)甲、乙共生產(chǎn)1000 個(gè)個(gè)189個(gè)是個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件

9、標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)個(gè)乙廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn)300個(gè)個(gè)乙廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn)設(shè)設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn)零件是乙廠生產(chǎn)A=是標(biāo)準(zhǔn)件是標(biāo)準(zhǔn)件注意注意P(AB)與與P(A | B)的區(qū)別！的區(qū)別！二、乘法公式若改為若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問(wèn)它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少問(wèn)它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是求的是 P(A|B) .B發(fā)生發(fā)生,在在P(AB)中作為結(jié)果中作為結(jié)果;在在P(A|B)中作為條件中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)甲、乙共生產(chǎn)1000 個(gè)個(gè)189個(gè)個(gè)是是標(biāo)準(zhǔn)件標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)個(gè)乙廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn)二、乘法公式條件概率條件概率P(A|B)與與P(A)的區(qū)別的區(qū)別 每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，設(shè)每一

10、個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則P(A)是在該試驗(yàn)條件下是在該試驗(yàn)條件下事件事件A發(fā)生的可能性大小發(fā)生的可能性大小.P(A)與與P(A |B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是它們是兩個(gè)不同的概念兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同在數(shù)值上一般也不同. 而條件概率而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加是在原條件下又添加“B發(fā)發(fā)生生”這個(gè)條件時(shí)這個(gè)條件時(shí)A發(fā)生的可能性大小，即發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是仍是概率概率.二、乘法公式三、全概率公式啟示啟示：對(duì)于某些復(fù)雜的結(jié)果事件，如果其復(fù)雜：對(duì)于某些復(fù)雜的結(jié)果

11、事件，如果其復(fù)雜性是由造成這個(gè)結(jié)果的原因不確定性引起的，性是由造成這個(gè)結(jié)果的原因不確定性引起的，可以通過(guò)將該事件分解到所有可能的原因上，可以通過(guò)將該事件分解到所有可能的原因上，再利用已有的知識(shí)來(lái)解決。這實(shí)際上就是全概再利用已有的知識(shí)來(lái)解決。這實(shí)際上就是全概率公式的率公式的基本思想基本思想。 抓鬮問(wèn)題抓鬮問(wèn)題例例1 1 五個(gè)鬮五個(gè)鬮, 其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著“有有”字，字， 三個(gè)鬮內(nèi)不寫字三個(gè)鬮內(nèi)不寫字 ，五人依次抓取，五人依次抓取,問(wèn)第二個(gè)問(wèn)第二個(gè)人抓到人抓到“有有”字鬮的概率字鬮的概率?三、全概率公式劃分的定義劃分的定義njijiAAji, 2 , 1,1 SAAAn 212nAA

12、A,21定義定義2 2 設(shè)設(shè)S S為試驗(yàn)為試驗(yàn)E E的樣本空間，的樣本空間， 為為E E的一組事件。若的一組事件。若則稱則稱nAAA,21為樣本空間為樣本空間S S的一個(gè)劃的一個(gè)劃分。分。 樣 本樣 本空間空間S S三、全概率公式nAAA,21 ), 2 , 1( 0)(niAPi )()|()()|()()|()(2211nnAPABPAPABPAPABPBP 定理定理3 3 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E E的樣本空間為的樣本空間為S,BS,B為為E E的事件的事件, , 為為S S的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分, ,且且 ，則，則全概率公式全概率公式說(shuō)明說(shuō)明 (2)(2)適當(dāng)構(gòu)造一組劃分事件適當(dāng)構(gòu)造一組劃分事件

13、，簡(jiǎn)化計(jì)算；，簡(jiǎn)化計(jì)算； iA(1)(1) 的發(fā)生總是伴隨某個(gè)的發(fā)生總是伴隨某個(gè) 同時(shí)發(fā)生；同時(shí)發(fā)生；iAB(3)(3)由由“原因原因”推推“結(jié)果結(jié)果”事件發(fā)生的可能性。事件發(fā)生的可能性。 例例5 5 有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)已知其中由一廠生產(chǎn)的占的占 30% , 二廠生產(chǎn)的占二廠生產(chǎn)的占 50% , 三廠生產(chǎn)的占三廠生產(chǎn)的占 20%, 又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2% , 1%, 1%,問(wèn)問(wèn)從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件設(shè)事件 A 為為“任取一件為次品任取一件為次品”,.

14、 3 , 2 , 1, iiBi廠廠的的產(chǎn)產(chǎn)品品任任取取一一件件為為為為事事件件123,BBB 解解. 3 , 2 , 1, jiBBji由全概率公式得由全概率公式得, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 BPBPBP30%20%50%2%1%1%112233( )() ()() ()() ().P AP B P ABP B P ABP B P AB.013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP112233( )() ()() ()() ()P AP B P ABP B

15、 P ABP B P AB故故稱此為稱此為貝葉斯公式貝葉斯公式. . 四、四、 貝葉斯公式貝葉斯公式., 2 , 1,)()|()()|()|(), 2 , 1(0)(, 0)(,121niAPABPAPABPBAPniAPBPAAAEBEnjjjiiiin則則且且的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為試試驗(yàn)驗(yàn)設(shè)設(shè)定定義義;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只無(wú)區(qū)別的標(biāo)志無(wú)區(qū)別的標(biāo)志且且倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在設(shè)

16、這三家工廠的產(chǎn)品在提供元件的份額提供元件的份額次品率次品率元件制造廠元件制造廠的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)根據(jù)以往的記錄有以下根據(jù)以往的記錄有以下件制造廠提供的件制造廠提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某電子設(shè)備制造廠所用某電子設(shè)備制造廠所用例例6 6.,)2(別是多少別是多少三家工廠生產(chǎn)的概率分三家工廠生產(chǎn)的概率分求此次品出由求此次品出由為分析此次品出自何廠為分析此次品出自何廠次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只解解,取到的是一只次品取到的是一只次品表示表示設(shè)設(shè) A.家工廠提供的家工廠提供的所取到的產(chǎn)品是由第所取到的產(chǎn)品是由第表示表示i)3 , 2 , 1

17、( iBi,的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分是是樣樣本本空空間間則則321BBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 BPBPBP且且.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP(1) 由由全概率公式得全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125. 0 (2) 由由貝葉斯公式得貝葉斯公式得)()()()(111APBPBAPABP 0125. 015. 002. 0 .24. 0 ,64. 0)()()()(222 APBPBAPABP.12. 0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工

18、廠廠的的可可能能性性最最大大故故這這只只次次品品來(lái)來(lái)自自第第).(,005. 0)(,005. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,ACPCPCAPCAPCA試求試求即即的概率為的概率為設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥進(jìn)行普查進(jìn)行普查現(xiàn)在對(duì)自然人群現(xiàn)在對(duì)自然人群有有則則被診斷者患有癌癥被診斷者患有癌癥表示事件表示事件以以為陽(yáng)性為陽(yáng)性試驗(yàn)反應(yīng)試驗(yàn)反應(yīng)表示事件表示事件若以若以驗(yàn)具有如下的效果驗(yàn)具有如下的效果某種診斷癌癥的試某種診斷癌癥的試根據(jù)以往的臨床記錄根據(jù)以往的臨床記錄 解解,05. 0)(1)(,95. 0)( CAPCAPCAP因?yàn)橐驗(yàn)?995. 0)(,005. 0)( C

19、PCP例例7 7由由貝葉斯公式得所求概率為貝葉斯公式得所求概率為( ) ()()( ) ()( ) ()P C P A CP C AP C P A CP C P A C.087. 0 即平均即平均1000個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有87人人患有癌癥患有癌癥.?,.95,.55,98,概概率率是是多多少少機(jī)機(jī)器器調(diào)調(diào)整整得得良良好好的的時(shí)時(shí)早早上上第第一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品是是合合格格試試求求已已知知某某日日機(jī)機(jī)器器調(diào)調(diào)整整良良好好的的概概率率為為時(shí)時(shí)每每天天早早上上機(jī)機(jī)器器開開動(dòng)動(dòng)其其合合格格率率為為種種故故障障時(shí)時(shí)而而當(dāng)當(dāng)機(jī)機(jī)器器發(fā)發(fā)生生某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的合合格格率率為為

20、良良好好時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)機(jī)機(jī)器器調(diào)調(diào)整整得得明明對(duì)對(duì)以以往往數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分析析結(jié)結(jié)果果表表%解解.產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格為事件為事件設(shè)設(shè) A.機(jī)器調(diào)整良好機(jī)器調(diào)整良好為事件為事件B則有則有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例例8,05. 0)(,95. 0)( BPBP 由由貝葉斯公式得所求概率為貝葉斯公式得所求概率為)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率為整良好的概率為此時(shí)機(jī)器調(diào)此時(shí)機(jī)器調(diào)是合格品時(shí)是合格品時(shí)即當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品即當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品上題中概率上題中概率

21、 0.95 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫叫做做先驗(yàn)概率先驗(yàn)概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后驗(yàn)概率后驗(yàn)概率.先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率 例例9 一輛出租車涉及一起夜間肇事逃逸事故。在這一輛出租車涉及一起夜間肇事逃逸事故。在這個(gè)城市里，有綠色個(gè)城市里，有綠色”和和“蘭色蘭色”兩家出租汽車公司兩家出租汽車公司(A) 85%的是的是“綠色綠色”,15%是是“蘭色蘭色”。(B)一位目擊者認(rèn)定這輛出租車是一位目擊者認(rèn)定這輛出租車是“蘭色蘭色”，假設(shè)，假設(shè)目擊者是如實(shí)陳述的。法庭在與出事當(dāng)夜相同的環(huán)目擊者是

22、如實(shí)陳述的。法庭在與出事當(dāng)夜相同的環(huán)境下測(cè)試了目擊者的可信度，得出結(jié)論，在境下測(cè)試了目擊者的可信度，得出結(jié)論，在80%的的時(shí)間里，目擊者能正確識(shí)別兩種顏色中的每一種，時(shí)間里，目擊者能正確識(shí)別兩種顏色中的每一種，在在20%的時(shí)間里不能。的時(shí)間里不能。 與該事故有牽連的出租車是與該事故有牽連的出租車是“蘭色蘭色”而不是而不是綠色綠色”的概率是多少的概率是多少?例例1010（敏感問(wèn)題調(diào)查）（敏感問(wèn)題調(diào)查）有時(shí)需要精確地測(cè)定持有時(shí)需要精確地測(cè)定持有某種信念或經(jīng)常介入某種具體行為（比如酗有某種信念或經(jīng)常介入某種具體行為（比如酗酒成癮）的人所占的百分比。酒成癮）的人所占的百分比。19651965年年Sta

23、nley L.WarnerStanley L.Warner發(fā)明了一種能消除人發(fā)明了一種能消除人們抵觸情緒的們抵觸情緒的”隨機(jī)化應(yīng)答隨機(jī)化應(yīng)答”方法。調(diào)查方案方法。調(diào)查方案如下。該方案的核心是如下兩個(gè)問(wèn)題：如下。該方案的核心是如下兩個(gè)問(wèn)題： 問(wèn)題問(wèn)題A A：你的生日是否在：你的生日是否在7 7月月1 1日之前日之前( (一般來(lái)說(shuō)，一般來(lái)說(shuō)，生日在生日在7 7月月1 1日以前的概率為日以前的概率為0.5)0.5)？ 問(wèn)題問(wèn)題B B：你是否有酗酒成癮？：你是否有酗酒成癮？被調(diào)查者事先從一個(gè)裝有黑球和白球的箱子中被調(diào)查者事先從一個(gè)裝有黑球和白球的箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，看過(guò)顏色后又放回。若抽出隨機(jī)抽取一

24、個(gè)球，看過(guò)顏色后又放回。若抽出白球則回答問(wèn)題白球則回答問(wèn)題A A；若抽出黑球則回答問(wèn)題；若抽出黑球則回答問(wèn)題B B。箱中黑球比率箱中黑球比率已知。已知。被調(diào)查者無(wú)論回答被調(diào)查者無(wú)論回答A題或題或B，都只需，都只需 選擇選擇“是是”或或“否否” ” ，上述過(guò)程都在無(wú)人的房間內(nèi)進(jìn)行，上述過(guò)程都在無(wú)人的房間內(nèi)進(jìn)行，任何人都不知道被調(diào)查者抽到什么顏色的球以任何人都不知道被調(diào)查者抽到什么顏色的球以及在答卷中如何選擇，這樣就不會(huì)泄露個(gè)人秘及在答卷中如何選擇，這樣就不會(huì)泄露個(gè)人秘密，從而保證了答卷的真實(shí)可靠性。密，從而保證了答卷的真實(shí)可靠性。問(wèn)題：?jiǎn)栴}：如何根據(jù)開箱統(tǒng)計(jì)結(jié)果計(jì)算如何根據(jù)開箱統(tǒng)計(jì)結(jié)果計(jì)算 P

25、P 答答“是是”| |抽黑球抽黑球 計(jì)算積事計(jì)算積事件的概率件的概率古典概率計(jì)算方法古典概率計(jì)算方法乘法公式乘法公式計(jì)算復(fù)雜計(jì)算復(fù)雜結(jié)果事件結(jié)果事件的概率的概率執(zhí)執(zhí)因因求求果果全全概概率率公公式式計(jì)算后驗(yàn)計(jì)算后驗(yàn)概率概率執(zhí)執(zhí)果果尋尋因因貝貝葉葉斯斯公公式式條條件件概概率率實(shí)實(shí)際際問(wèn)問(wèn)題題小小 結(jié)結(jié)例例1 設(shè)袋中有設(shè)袋中有4只白球只白球, 2只紅球只紅球 , (1) 無(wú)放回隨機(jī)無(wú)放回隨機(jī)地抽取兩次地抽取兩次, 每次取一球每次取一球, 求在兩次抽取中至多抽求在兩次抽取中至多抽到一個(gè)紅球的概率到一個(gè)紅球的概率? (2) 若無(wú)放回的抽取若無(wú)放回的抽取 3次次, 每每次抽取一球次抽取一球, 求求 (a)

26、 第一次是白球的情況下第一次是白球的情況下, 第二第二次與第三次均是白球的概率次與第三次均是白球的概率? (b) 第一次與第二第一次與第二次均是白球的情況下次均是白球的情況下 , 第三次是白球的概率第三次是白球的概率?課堂練習(xí)課堂練習(xí)解解.)1(21二二次次抽抽取取到到紅紅球球第第為為第第一一次次抽抽取取到到紅紅球球?yàn)闉槭率录t紅球球個(gè)個(gè)兩兩次次抽抽取取中中至至多多抽抽到到一一為為事事件件設(shè)設(shè)AAA.1514546252645364 )()()()(212121AAPAAPAAPAP )()()()()()(121121121AAPAPAAPAPAAPAP 則有則有,212121AAAAAA

27、A . 3 , 2 , 1,)2( iiAi次取出的是白球次取出的是白球第第為為設(shè)事件設(shè)事件)()(132AAAPa,)()(1321APAAAP .1033251)()()(1321132 APAAAPAAAP所以所以,513634)(,3264)(3211 AAAPAP因?yàn)橐驗(yàn)?522624)(21 AAP因?yàn)橐驗(yàn)?215251)()()(21321213 AAPAAAPAAAP所以所以,)()()()(21321213AAPAAAPAAAPb ,513634)(321 AAAP例例2 擲兩顆骰子擲兩顆骰子, 已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7, 求其中有一顆為求其中有一顆為1

28、點(diǎn)的概率點(diǎn)的概率.解解設(shè)事件設(shè)事件A 為為“ 兩顆點(diǎn)數(shù)之和為兩顆點(diǎn)數(shù)之和為 7 ”, 事件事件 B為為 “ 一顆點(diǎn)數(shù)為一顆點(diǎn)數(shù)為1 ”.故所求概率為故所求概率為.31 P擲骰子試驗(yàn)擲骰子試驗(yàn) 兩顆點(diǎn)數(shù)之和為兩顆點(diǎn)數(shù)之和為 7 的種數(shù)為的種數(shù)為 3,其中有一顆為其中有一顆為 1 點(diǎn)的種數(shù)為點(diǎn)的種數(shù)為 1,例例3 設(shè)一倉(cāng)庫(kù)中有設(shè)一倉(cāng)庫(kù)中有10 箱同種規(guī)格的產(chǎn)品箱同種規(guī)格的產(chǎn)品, 其中其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱,三廠產(chǎn)品的廢品率依次為三廠產(chǎn)品的廢品率依次為 0.1, 0.2, 0.3 從這從這 10箱產(chǎn)品中任取一箱箱產(chǎn)品中任取一箱 ,

29、再?gòu)倪@箱中任取一件產(chǎn)品再?gòu)倪@箱中任取一件產(chǎn)品,求取得的正品概率求取得的正品概率. 設(shè)設(shè) A 為事件為事件“取得的產(chǎn)品為正品取得的產(chǎn)品為正品”, 分別表示分別表示“任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的”,321BBB由題設(shè)知由題設(shè)知.102)(,103)(,105)(321 BPBPBP解解, 7 . 0)(, 8 . 0)(, 9 . 0)(321 BAPBAPBAP故故)()()(31iiiBAPBPAP 107102108103109105 .82. 0 內(nèi)內(nèi) 容容 回回 顧顧實(shí)實(shí)際際問(wèn)問(wèn)題題 計(jì)算積計(jì)算積事件的事件的概率概率 古典概率計(jì)算方法古典概率計(jì)算方法 乘法

30、公式乘法公式 計(jì)算復(fù)雜結(jié)果計(jì)算復(fù)雜結(jié)果事件的概率事件的概率 執(zhí)執(zhí)因因求求果果 全全概概率率公公式式 條條件件概概率率 計(jì) 算計(jì) 算后 驗(yàn)后 驗(yàn)概率概率 貝貝葉葉斯斯公公式式 執(zhí)執(zhí)果果尋尋因因 1A2AnA例例1 設(shè)袋中有設(shè)袋中有4只白球只白球, 2只紅球只紅球 , (1) 無(wú)放回隨機(jī)無(wú)放回隨機(jī)地抽取兩次地抽取兩次, 每次取一球每次取一球, 求在兩次抽取中至多抽求在兩次抽取中至多抽到一個(gè)紅球的概率到一個(gè)紅球的概率? (2) 若無(wú)放回的抽取若無(wú)放回的抽取 3次次, 每每次抽取一球次抽取一球, 求求 (a) 第一次是白球的情況下第一次是白球的情況下, 第二第二次與第三次均是白球的概率次與第三次均是白

31、球的概率? (b) 第一次與第二第一次與第二次均是白球的情況下次均是白球的情況下 , 第三次是白球的概率第三次是白球的概率?解解.)1(21二二次次抽抽取取到到紅紅球球第第為為第第一一次次抽抽取取到到紅紅球球?yàn)闉槭率录t紅球球個(gè)個(gè)兩兩次次抽抽取取中中至至多多抽抽到到一一為為事事件件設(shè)設(shè)AAA.1514546252645364 )()()()(212121AAPAAPAAPAP )()()()()()(121121121AAPAPAAPAPAAPAP 則有則有,212121AAAAAAA . 3 , 2 , 1,)2( iiAi次取出的是白球次取出的是白球第第為為設(shè)事件設(shè)事件)()(132AA

32、APa,)()(1321APAAAP .1033251)()()(1321132 APAAAPAAAP所以所以,513634)(,3264)(3211 AAAPAP因?yàn)橐驗(yàn)?522624)(21 AAP因?yàn)橐驗(yàn)?215251)()()(21321213 AAPAAAPAAAP所以所以,)()()()(21321213AAPAAAPAAAPb ,513634)(321 AAAP?,.95,.55,98,概概率率是是多多少少機(jī)機(jī)器器調(diào)調(diào)整整得得良良好好的的時(shí)時(shí)早早上上第第一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品是是合合格格試試求求已已知知某某日日機(jī)機(jī)器器調(diào)調(diào)整整良良好好的的概概率率為為時(shí)時(shí)每每天天早早上上機(jī)機(jī)器器開開動(dòng)動(dòng)

33、其其合合格格率率為為種種故故障障時(shí)時(shí)而而當(dāng)當(dāng)機(jī)機(jī)器器發(fā)發(fā)生生某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的合合格格率率為為良良好好時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)機(jī)機(jī)器器調(diào)調(diào)整整得得明明對(duì)對(duì)以以往往數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分析析結(jié)結(jié)果果表表%解解.產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格為事件為事件設(shè)設(shè) A.機(jī)器調(diào)整良好機(jī)器調(diào)整良好為事件為事件B則有則有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例例2,05. 0)(,95. 0)( BPBP 由由貝葉斯公式得所求概率為貝葉斯公式得所求概率為)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率為整良好的概率為此時(shí)機(jī)器

34、調(diào)此時(shí)機(jī)器調(diào)是合格品時(shí)是合格品時(shí)即當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品即當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品上題中概率上題中概率 0.95 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫叫做做先驗(yàn)概率先驗(yàn)概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后驗(yàn)概率后驗(yàn)概率.先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率 例例3 一輛出租車涉及一起夜間肇事逃逸事故。在這一輛出租車涉及一起夜間肇事逃逸事故。在這個(gè)城市里，有綠色個(gè)城市里，有綠色”和和“蘭色蘭色”兩家出租汽車公司兩家出租汽車公司(A) 85%的是的是“綠色綠色”,15%是是“蘭色蘭色”。(B)一位目擊者認(rèn)定這輛出租車是一位目擊者

35、認(rèn)定這輛出租車是“蘭色蘭色”，假設(shè)，假設(shè)目擊者是如實(shí)陳述的。法庭在與出事當(dāng)夜相同的環(huán)目擊者是如實(shí)陳述的。法庭在與出事當(dāng)夜相同的環(huán)境下測(cè)試了目擊者的可信度，得出結(jié)論，在境下測(cè)試了目擊者的可信度，得出結(jié)論，在80%的的時(shí)間里，目擊者能正確識(shí)別兩種顏色中的每一種，時(shí)間里，目擊者能正確識(shí)別兩種顏色中的每一種，在在20%的時(shí)間里不能。的時(shí)間里不能。 與該事故有牽連的出租車是與該事故有牽連的出租車是“蘭色蘭色”而不是而不是綠色綠色”的概率是多少的概率是多少?例例4 4（敏感問(wèn)題調(diào)查）（敏感問(wèn)題調(diào)查）有時(shí)需要精確地測(cè)定持有有時(shí)需要精確地測(cè)定持有某種信念或經(jīng)常介入某種具體行為（比如酗酒某種信念或經(jīng)常介入某種具

36、體行為（比如酗酒成癮）的人所占的百分比。成癮）的人所占的百分比。19651965年年Stanley L.WarnerStanley L.Warner發(fā)明了一種能消除人發(fā)明了一種能消除人們抵觸情緒的們抵觸情緒的”隨機(jī)化應(yīng)答隨機(jī)化應(yīng)答”方法。調(diào)查方案方法。調(diào)查方案如下。該方案的核心是如下兩個(gè)問(wèn)題：如下。該方案的核心是如下兩個(gè)問(wèn)題： 問(wèn)題問(wèn)題A A：你的生日是否在：你的生日是否在7 7月月1 1日之前日之前( (一般來(lái)說(shuō)，一般來(lái)說(shuō)，生日在生日在7 7月月1 1日以前的概率為日以前的概率為0.5)0.5)？ 問(wèn)題問(wèn)題B B：你是否有酗酒成癮？：你是否有酗酒成癮？被調(diào)查者事先從一個(gè)裝有黑球和白球的箱子中

37、被調(diào)查者事先從一個(gè)裝有黑球和白球的箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，看過(guò)顏色后又放回。若抽出隨機(jī)抽取一個(gè)球，看過(guò)顏色后又放回。若抽出白球則回答問(wèn)題白球則回答問(wèn)題A A；若抽出黑球則回答問(wèn)題；若抽出黑球則回答問(wèn)題B B。箱中黑球比率箱中黑球比率已知。已知。被調(diào)查者無(wú)論回答被調(diào)查者無(wú)論回答A題或題或B，都只需，都只需 選擇選擇“是是”或或“否否” ” ，上述過(guò)程都在無(wú)人的房間內(nèi)進(jìn)行，上述過(guò)程都在無(wú)人的房間內(nèi)進(jìn)行，任何人都不知道被調(diào)查者抽到什么顏色的球以任何人都不知道被調(diào)查者抽到什么顏色的球以及在答卷中如何選擇，這樣就不會(huì)泄露個(gè)人秘及在答卷中如何選擇，這樣就不會(huì)泄露個(gè)人秘密，從而保證了答卷的真實(shí)可靠性。密，從而

38、保證了答卷的真實(shí)可靠性。問(wèn)題：?jiǎn)栴}：如何根據(jù)開箱統(tǒng)計(jì)結(jié)果計(jì)算如何根據(jù)開箱統(tǒng)計(jì)結(jié)果計(jì)算 P P 答答“是是”| |抽黑球抽黑球 (一一) 兩個(gè)事件的獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性由條件概率，知由條件概率，知)()()(BPABPBAP 一般地，一般地，)()(APBAP 這意味著：事件這意味著：事件B的發(fā)生對(duì)事件的發(fā)生對(duì)事件A發(fā)生的概發(fā)生的概率有影響率有影響.然而，在有些情形下又會(huì)出現(xiàn)：然而，在有些情形下又會(huì)出現(xiàn)：)()(APBAP 第四節(jié)第四節(jié) 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性,.,),23(5取取到到綠綠球球第第二二次次抽抽取取取取到到綠綠球球第第一一次次抽抽取取記記有有放放回回地地取取兩兩次次每每次次取取

39、出出一一個(gè)個(gè)紅紅綠綠個(gè)個(gè)球球盒盒中中有有 BA則有則有 )(ABP.發(fā)發(fā)生生的的可可能能性性大大小小的的發(fā)發(fā)生生并并不不影影響響它它表表示示BA)()(BPABP )()()(BPAPABP 53)(BP 1.引例引例，則，則若若0)( AP.,)()()(,獨(dú)獨(dú)立立簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱相相互互獨(dú)獨(dú)立立則則稱稱事事件件如如果果滿滿足足等等式式是是兩兩事事件件設(shè)設(shè)BABABPAPABPBA 2. 定義定義1.9注注. 1則則若若, 0)( AP)()(BPABP )()()(BPAPABP 說(shuō)明說(shuō)明 事件事件 A 與與 B 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,是指事件是指事件 A 的的發(fā)生與事件發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無(wú)關(guān)

40、發(fā)生的概率無(wú)關(guān).2 獨(dú)立與互斥的關(guān)系獨(dú)立與互斥的關(guān)系兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 AB,21)(,21)( BPAP若若).()()(BPAPABP 則則例如例如二者之間沒二者之間沒有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系獨(dú)立是事獨(dú)立是事件間的概件間的概率屬性率屬性互斥是事互斥是事件間本身件間本身的關(guān)系的關(guān)系11ABAB由此可見由此可見兩事件兩事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立但兩事件但兩事件不互斥不互斥.兩事件兩事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立兩事件兩事件互斥互斥.AB)(21)(,21)(如圖如圖若若 BPAP)()()(BPAPABP 故故由此可見由此可見兩事件兩事件互斥互斥但但不獨(dú)立

41、不獨(dú)立., 0)( ABP則則,41)()( BPAP又如：又如：兩事件兩事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立.兩事件兩事件互斥互斥3.性質(zhì)性質(zhì)(1) 必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件與任何事件與任何事件A相互獨(dú)立相互獨(dú)立.證證 A=A, P( )=1 P( A) = P(A)=1 P(A)= P( ) P(A)即即 與與A獨(dú)立獨(dú)立. A=, P()=0 P(A) = P()=0= P() P(A)即即 與與A獨(dú)立獨(dú)立.(2) 若事件若事件A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則以下三對(duì)事件則以下三對(duì)事件也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立.；與與 BA；與與 BA.BA 與與證證 BAABBBAAA )()()()(BAP

42、ABPAP )()()(ABPAPBAP 注注 稱此為二事件的獨(dú)立性稱此為二事件的獨(dú)立性 關(guān)于逆運(yùn)算封閉關(guān)于逆運(yùn)算封閉.又又 A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立)()()(ABPAPBAP )()()(BPAPAP )(1)(BPAP )()(BPAP )(對(duì)偶律對(duì)偶律BABA )()(BAPBAP )(1BAP )(1BAP )()()(1ABPBPAP )()()()(1BPAPBPAP )(1)()(1 APBPAP )(1 )(1 BPAP ).()(BPAP 甲甲, 乙兩人乙兩人同時(shí)同時(shí)向敵人炮擊向敵人炮擊,已知甲擊中已知甲擊中敵機(jī)的概率為敵機(jī)的概率為0.6, 乙擊中敵機(jī)的概率為乙擊中敵機(jī)的概

43、率為0.5, 求敵機(jī)被擊中的概率求敵機(jī)被擊中的概率.解解設(shè)設(shè) A= 甲擊中敵機(jī)甲擊中敵機(jī) B= 乙擊中敵機(jī)乙擊中敵機(jī) C=敵機(jī)被擊中敵機(jī)被擊中 .BAC 則則依題設(shè)依題設(shè),5 . 0)(, 6 . 0)( BPAP例例1由于由于 甲，乙甲，乙同時(shí)同時(shí)射擊，甲擊中敵機(jī)并不影射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以 A與與B獨(dú)立獨(dú)立,進(jìn)而進(jìn)而.獨(dú)獨(dú)立立與與 BABAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.81. 三事件三事件兩兩兩兩相互獨(dú)立的概念相互獨(dú)立的概念(二二) 多個(gè)事件的獨(dú)立性多

44、個(gè)事件的獨(dú)立性定義定義.,),()()(),()()(),()()(,兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個(gè)事件是三個(gè)事件設(shè)設(shè)CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 2. 三事件相互獨(dú)立的概念三事件相互獨(dú)立的概念定義定義1.10.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互獨(dú)立相互獨(dú)立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個(gè)事件是三個(gè)事件設(shè)設(shè)CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 設(shè)設(shè) A1，A2 ， ，An為為n 個(gè)事件個(gè)事件，若對(duì)于任意若對(duì)于任意k(1kn), 及及 1i 1

45、i 2 i kn 3. n 個(gè)事件的獨(dú)立性個(gè)事件的獨(dú)立性定義定義 若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意兩個(gè)事件中任意兩個(gè)事件相互獨(dú)立，即對(duì)于一切相互獨(dú)立，即對(duì)于一切 1 i j n, 有有)()()(jijiAPAPAAP .21兩兩兩兩相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則稱稱nAAA.12)11(1032個(gè)式子個(gè)式子共共nCCCCCnnnnnnnn 定義定義1.11)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 有有.21相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則稱稱nAAA注注. 相相互互獨(dú)獨(dú)立立nAAA,21兩兩兩兩相相互互獨(dú)獨(dú)立立nAAA,21設(shè)一個(gè)口袋里裝有四張形狀相同的卡設(shè)一個(gè)口袋里裝有四張形

46、狀相同的卡片片.在這四張卡片上依次標(biāo)有下列各組在這四張卡片上依次標(biāo)有下列各組數(shù)字：數(shù)字：110，101，011，000 從袋中任從袋中任取一張卡片，記取一張卡片，記1位上的數(shù)字為位上的數(shù)字為取到的卡片第取到的卡片第iAi 證明：證明：;,)1(321兩兩兩兩相相互互獨(dú)獨(dú)立立AAA.,)2(321不不相相互互獨(dú)獨(dú)立立AAA例例23 , 2 , 1i證證 (1)()(2142)(321APAPAP 41)(21 AAP)()(21APAP 41)(31 AAP)()(31APAP 41)(32 AAP)()(32APAP ;,321兩兩兩兩相相互互獨(dú)獨(dú)立立AAA )()2(321AAAP040 8

47、1)()()(321 APAPAP.,321不不相相互互獨(dú)獨(dú)立立AAA110，101，011，000.)2(,)2(,. 121個(gè)事件也是相互獨(dú)立個(gè)事件也是相互獨(dú)立其中任意其中任意則則相互獨(dú)立相互獨(dú)立若事件若事件nkknAAAn )( . ,)(,.運(yùn)運(yùn)算算封封閉閉獨(dú)獨(dú)立立性性關(guān)關(guān)于于個(gè)個(gè)事事件件仍仍相相互互獨(dú)獨(dú)立立所所得得的的立立事事件件們們的的對(duì)對(duì)中中任任意意多多個(gè)個(gè)事事件件換換成成它它則則將將相相互互獨(dú)獨(dú)立立個(gè)個(gè)事事件件若若nAAAnAAAnnn212122 兩個(gè)結(jié)論兩個(gè)結(jié)論n 個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式:nAAA,21設(shè)設(shè)事件事件 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,則則）nAAA

48、P211( )(121nAAAP )()()(nAPAPAP211也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立nAAA,21即即 n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于1減去各自對(duì)立事件概率的乘積減去各自對(duì)立事件概率的乘積.)(nAAAP21結(jié)論的應(yīng)用結(jié)論的應(yīng)用若每個(gè)人血清中含有肝炎病毒的概率為若每個(gè)人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%, 假設(shè)每個(gè)人血清中是否含有肝炎假設(shè)每個(gè)人血清中是否含有肝炎病毒相互獨(dú)立，混合病毒相互獨(dú)立，混合100個(gè)人的血清，個(gè)人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率求此血清中含有肝炎病毒的概率.解解毒毒個(gè)個(gè)人人的的血血清清含含有有肝肝炎炎病病第第記記iAi 則則0

49、04. 0)( iAP10021AAAB 例例3100肝肝炎炎病病毒毒個(gè)個(gè)人人的的混混合合血血清清中中含含有有 B100, 2 , 1i依題設(shè)，依題設(shè)，相相互互獨(dú)獨(dú)立立10021,AAA)()(10021AAAPBP )(110021AAAP )(110021AAAP )()()(110021APAPAP 1001)(11AP 100)004. 01(1 100)996. 0(1 33. 0 事件的獨(dú)立性在事件的獨(dú)立性在可靠性理論可靠性理論中的應(yīng)用：中的應(yīng)用：一個(gè)元件的可靠性一個(gè)元件的可靠性：該元件正常工作的概率該元件正常工作的概率.一個(gè)系統(tǒng)的可靠性一個(gè)系統(tǒng)的可靠性：由元件組成的系統(tǒng)正常由元件

50、組成的系統(tǒng)正常工作的概率工作的概率.設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由3 個(gè)元件組成，每個(gè)元件的個(gè)元件組成，每個(gè)元件的可靠性均為可靠性均為 r，且各元件能否正常工作是，且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的.求下列兩個(gè)系統(tǒng)求下列兩個(gè)系統(tǒng)和和的可靠性；的可靠性；書例書例6第五節(jié)第五節(jié) 重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn) 二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)概率公式1. 定義定義1.12 (獨(dú)立試驗(yàn)序列獨(dú)立試驗(yàn)序列) 設(shè)設(shè)Ei (i=1,2,)是一列隨機(jī)試驗(yàn)是一列隨機(jī)試驗(yàn),Ei的樣本空的樣本空間為間為 i ,設(shè)設(shè)Ak 是是Ek 中的任一事件中的任一事件,Ak k , 若若Ak出出現(xiàn)現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的概率都不依賴于其它各

51、次試驗(yàn)Ei (i k)的結(jié)果的結(jié)果, 則稱則稱Ei 是是相互獨(dú)立相互獨(dú)立的隨機(jī)試驗(yàn)序列試驗(yàn)序列,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱獨(dú)立試獨(dú)立試驗(yàn)驗(yàn)序列序列.則稱這則稱這n次重復(fù)試驗(yàn)為次重復(fù)試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為重貝努里試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為貝努里概型貝努里概型.若若n 次重復(fù)試驗(yàn)具有下列次重復(fù)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：特點(diǎn)：2. n 重貝重貝努利努利(Bernoulli)試驗(yàn)試驗(yàn)1) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩個(gè)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩個(gè)A 或或,ApAPpAP 1)(,)(且且2) 各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，( 在各次試驗(yàn)中在各次試驗(yàn)中p是常數(shù)，保持不變）是常數(shù)，保持不變）實(shí)例實(shí)例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或

52、反面拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將若將 硬幣拋硬幣拋 n 次次,就是就是n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn).實(shí)例實(shí)例2 拋一顆骰子拋一顆骰子n次次,觀察是否觀察是否 “出現(xiàn)出現(xiàn) 1 點(diǎn)點(diǎn)”, 就就是是 n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn).一般地，一般地，對(duì)于對(duì)于貝努里概型貝努里概型，有如下公式：，有如下公式：定理定理 如果在貝努里試驗(yàn)中，事件如果在貝努里試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的出現(xiàn)的概率為概率為p (0p1), 則在則在n次試驗(yàn)中，次試驗(yàn)中，A恰好出現(xiàn)恰好出現(xiàn) k 次的概率為：次的概率為：knkknnppCkP )1()()1;, 2, 1 , 0(pqnk knkknqpC . 1)(0 nknkP且且3

53、. 二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)概率公式,發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)重重伯伯努努利利試試驗(yàn)驗(yàn)中中事事件件表表示示若若AnX所有可能取的值為所有可能取的值為則則 X., 2, 1, 0n推導(dǎo)如下：推導(dǎo)如下：,)0(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nkkX .次次次試驗(yàn)中發(fā)生了次試驗(yàn)中發(fā)生了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次試驗(yàn)中發(fā)生次試驗(yàn)中發(fā)生在在得得knA,種種knC且兩兩互不相容且兩兩互不相容.稱上式為稱上式為二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布. 記為記為).,(pnBX次次的的概概率率為為次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中發(fā)發(fā)生生在在因因此此knAknkknppC )1(pq 1記記k

54、nkknqpC 經(jīng)計(jì)算得經(jīng)計(jì)算得.)4 , 3 , 2 , 1 , 0(,4,6,4,10道道題題的的概概率率問(wèn)問(wèn)能能碰碰對(duì)對(duì)試試于于是是隨隨意意填填寫寫道道題題不不會(huì)會(huì)做做有有道道題題生生僅僅會(huì)會(huì)做做今今有有一一考考其其中中一一個(gè)個(gè)為為正正確確答答案案可可供供選選擇擇的的答答案案?jìng)€(gè)個(gè)每每道道選選擇擇題題有有道道選選擇擇題題設(shè)設(shè)某某考考卷卷上上有有 mm則則道題這一事實(shí)道題這一事實(shí)道題中碰對(duì)道題中碰對(duì)表示表示設(shè)設(shè),4mBm31604341040040.)()()( CBP04804341343343.)()()( CBP例例5解解)4 , 3 , 2 , 1 , 0()43()41()(44

55、mCBPmmmm.3)2( ,3)1(5,5,%20件件次次品品的的概概率率至至多多有有概概率率件件次次品品的的恰恰好好有有件件樣樣品品中中計(jì)計(jì)算算這這件件樣樣品品共共取取進(jìn)進(jìn)行行重重復(fù)復(fù)抽抽樣樣檢檢查查的的次次品品一一批批產(chǎn)產(chǎn)品品有有則則表表示示至至多多有有件件次次品品件件次次品品件件件件件件有有件件樣樣品品中中恰恰好好分分別別表表示示設(shè)設(shè),3,2,1,05,3210AAAAA3533538020 ).().()(CAPiiiiCAPAPAPAPAAAAPAP 5530321032108020).().()()()()()()(例例6解解,概概率率首首次次發(fā)發(fā)生生在在第第需需要要計(jì)計(jì)算算事事

56、件件在在貝貝努努利利試試驗(yàn)驗(yàn)中中，通通常常kA.,1,發(fā)生發(fā)生次次第第發(fā)生發(fā)生次均是次均是前前次次即試驗(yàn)總共進(jìn)行了即試驗(yàn)總共進(jìn)行了AkAkk ppAPAPAPBPAAAABiAkiABkkkkkkkik111121121 )()()()()(,),(,則則次試驗(yàn)中發(fā)生次試驗(yàn)中發(fā)生第第在在記事件記事件以以記這一事件記這一事件若以若以幾何分布幾何分布幾何分布幾何分布例例7.,1,次次打打開開門門的的概概率率求求該該人人在在第第的的概概率率被被選選中中即即每每次次以以開開門門他他隨隨機(jī)機(jī)地地選選取取一一把把鑰鑰匙匙打打開開這這個(gè)個(gè)門門其其中中僅僅有有一一把把能能把把鑰鑰匙匙他他共共有有一一個(gè)個(gè)人人開

57、開門門knn則則次次打打開開門門表表示示第第令令,kBk,)()(211111 knnBPkk解解練習(xí)題練習(xí)題伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 一個(gè)均勻的正四面體一個(gè)均勻的正四面體, 其第一面染成紅色其第一面染成紅色,第二面染成白色第二面染成白色 , 第三面染成黑色第三面染成黑色, 而第四面同而第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以現(xiàn)以 A , B, C 分別分別記投一次四面體出現(xiàn)紅記投一次四面體出現(xiàn)紅, 白白, 黑顏色朝下的事件黑顏色朝下的事件, 問(wèn)問(wèn) A,B,C是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立?解解由于在四面體中紅由于在四面體中紅, 白白, 黑分別出現(xiàn)兩面黑分別出現(xiàn)兩面, 因此因此

58、,21)()()( CPBPAP又由題意知又由題意知例例1,41)()()( ACPBCPABP故有故有因此因此 A、B、C 不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立. ,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP則三事件則三事件 A, B, C 兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立.由于由于41)( ABCP),()()(81CPBPAP 設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是0.2,若若10名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊,問(wèn)擊問(wèn)擊落飛機(jī)的概率是多少落飛機(jī)的概率是多少?射擊問(wèn)題射擊問(wèn)題例例2解解,名射手擊落飛機(jī)名射手

59、擊落飛機(jī)第第為為設(shè)事件設(shè)事件iAi事件事件 B 為為“擊落飛機(jī)擊落飛機(jī)”, ,1021AAAB 則則.10, 2 , 1 i)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPAP .893. 0)8 . 0(110 )(11021AAAP 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人三人擊中的概率分別為擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機(jī)被一人擊中飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為而被擊落的概率為0.2 ,被兩人擊中而被擊落的概被兩人擊中而被擊落的概率為率為 0.6 , 若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落若三人都擊中飛機(jī)必定被擊

60、落, 求飛機(jī)求飛機(jī)被擊落的概率被擊落的概率.解解 ,個(gè)個(gè)人人擊擊中中敵敵機(jī)機(jī)表表示示有有設(shè)設(shè)iAiA, B, C 分別表示甲、乙、丙擊中敵機(jī)分別表示甲、乙、丙擊中敵機(jī) , ,1CBACBACBAA 由于由于, 7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( CPBPAP則則例例3)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 故故得得7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 .36. 0 ,2BCACBACABA 因?yàn)橐驗(yàn)?()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41.