狀態(tài)過程理想氣體

1、6.1 狀態(tài) 過程 理想氣體6.1.1 氣體的宏觀描述1. 氣體的狀態(tài)參量：用來描述氣體狀態(tài)的變量。l l 壓強(qiáng)P：垂直作用于容器器壁上單位面積上的力，是由分子與器壁碰撞產(chǎn)生的， 單位：Pa。l l 體積V：分子無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)所能達(dá)到的空間，單位：m3。l l 溫度T：表征氣體分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的物理量，單位：K。 描述氣體的宏觀平衡狀態(tài)，是大量分子微觀狀態(tài)參量在足夠長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)平均。圖6-1 平衡態(tài)與平衡過程2. 平衡態(tài)與平衡過程l l 平衡態(tài)：在沒有外界影響的條件下，系統(tǒng)狀態(tài)參量長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)不發(fā)生變化的狀態(tài)，即“孤立系統(tǒng)熱動(dòng)平衡”。l l 平衡過程：系統(tǒng)狀態(tài)變化所經(jīng)歷的所有中間狀態(tài)都無(wú)限接近平

2、衡態(tài)的過程。3. 理想氣體狀態(tài)方程 理想氣體：在任何情況下都遵守氣體實(shí)驗(yàn)三定律及阿伏伽德羅定律的氣體 狀態(tài)方程： ，波耳茲曼常數(shù)狀態(tài)方程適用條件：l l 理想氣體； l l 平衡態(tài)。4. 用狀態(tài)方程解題步驟l l 確定對(duì)象；l l 分析P、V、T（相當(dāng)力學(xué)中受力分析）；l l 根據(jù)過程特點(diǎn)列方程；l l 解方程并討論。6.2 分子熱運(yùn)動(dòng)和統(tǒng)計(jì)規(guī)律6.2.1 氣體的微觀圖象1. 分子觀點(diǎn) 宏觀物體由大量分子（原子）組成；分子本身有大??；分子之間存在一定的間隙。2. 分子運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn) 組成物質(zhì)的分子在永不停息地作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，此運(yùn)動(dòng)與氣體溫度密切相關(guān)，稱熱運(yùn)動(dòng)。l l 證據(jù)：布朗運(yùn)動(dòng)、擴(kuò)散現(xiàn)象、摻雜等l

3、 l 典型數(shù)據(jù)：平均速率 500m/s；平均路程 10-7 m；平均時(shí)間間隔10-10 s；每次碰撞時(shí)間10-13 s。l l 基本特征：分子的永恒運(yùn)動(dòng)和頻繁的相互碰撞。6.2.2 分布函數(shù)和平均值 我們以人的身高為例，來引入分布函數(shù)的概念。圖6-2 分布函數(shù)設(shè)N為總?cè)藬?shù)，dN(h)為身高在hh+dh間的人數(shù)。顯然令 ，則。我們把 f(h)稱為歸一化分布函數(shù)。f(h)表征在單位高度內(nèi)，身高為h的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比率。N個(gè)人的平均身高為： 推廣至任一變量x有： 對(duì)具有統(tǒng)計(jì)性的系統(tǒng)來講，總存在著確定的分布函數(shù)f(x)，因此，寫出分布函數(shù)f(x)是研究一個(gè)系統(tǒng)的關(guān)鍵之處。6.3 氣體動(dòng)理論的壓強(qiáng)公式圖

4、6-3 分子間的相互作用力6.3.1 分子力觀點(diǎn) 分子間有相互作用力,此力為短程力, 引力、視斥力距離而定。6.3.2 統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)（平衡態(tài)時(shí)） 個(gè)別分子雜亂無(wú)章，大量分子集體行為有章可循。1) 分子速率分布；2) 朝各方向運(yùn)動(dòng)幾率相等；3) 分子在空間各點(diǎn)幾率相等，即 。 例證：伽爾頓板實(shí)驗(yàn)6.3.3 理想氣體模型1) 宏觀模型 滿足氣體實(shí)驗(yàn)三定律、或滿足理想氣體狀態(tài)方程的宏觀氣體系統(tǒng)。2) 微觀模型l l ，分子可視作質(zhì)點(diǎn)，L為分子間距離，d為分子線度；l l 除碰撞瞬間，分子力為零；兩次碰撞之間，分子作慣性運(yùn)動(dòng)；l l 分子與分子、分子與器壁碰撞為彈性碰撞；l l P不太高，T不太低。6.3

5、.4 統(tǒng)計(jì)假設(shè)（平衡態(tài)時(shí)）l l 分子向各方向運(yùn)動(dòng)機(jī)會(huì)相等；l l 分子數(shù)密度分布均勻；l l 分子速度在各方向分量平均值相等 。6.3.5 壓強(qiáng)P的微觀本質(zhì)思想依據(jù)：理想氣體微觀模型和統(tǒng)計(jì)假設(shè)。圖6-4 推導(dǎo)壓強(qiáng)公式用圖認(rèn)為：壓強(qiáng)是大量分子碰撞器壁在單位時(shí)間、作用于器壁單位面積的平均沖量；個(gè)別間歇性；大量持續(xù)。研究對(duì)象：立方容器：x, y, z 總分子數(shù) N。平衡態(tài)：各處P相同，故只研究一個(gè)器壁 A1。先考慮一個(gè)分子撞擊一次： 平均碰撞一次所用時(shí)間： 單位時(shí)間內(nèi)碰撞次數(shù)： 單位時(shí)間內(nèi)對(duì)A1面沖量： 單位時(shí)間內(nèi)平均沖力：N 個(gè)分子單位時(shí)間內(nèi)對(duì)A1面的平均沖力：對(duì)A1面的壓強(qiáng)： 理想氣體壓強(qiáng)公式

6、：其中：為分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。思考：為什么不考慮氣體分子之間的碰撞？說明：l l P 是統(tǒng)計(jì)平均值“大量分子”；l l P 的微觀本質(zhì)；l l 分子平均平動(dòng)動(dòng)能概念，表征熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度。6.4 理想氣體的溫度公式6.4.1 分子平均平動(dòng)動(dòng)能 由狀態(tài)方程 和壓強(qiáng)公式得： 可見：從微觀角度看，溫度是分子大小的量度,表征大量氣體分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度,是一統(tǒng)計(jì)平均值,對(duì)個(gè)別分子無(wú)意義。6.4.2 方均根速率 由： 可見：恒定時(shí)，T也是恒定的，所以溫度是反映分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的物理量，是一種統(tǒng)計(jì)量。6.5 能量均分定理、理想氣體的內(nèi)能6.5.1 運(yùn)動(dòng)自由度： 確定運(yùn)動(dòng)物體在空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目，稱

7、為該物體的自由度圖6-5 自由度1）質(zhì)點(diǎn)的自由度空間：3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)；平面：2個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)；直線：1個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)。2）剛體的自由度質(zhì)心位置：3（平動(dòng)自由度）；轉(zhuǎn)軸方位：2（轉(zhuǎn)動(dòng)自由度）；3）氣體分子運(yùn)動(dòng)自由度單原子分子：3個(gè)平動(dòng)自由度，i=3；雙原子分子： 3個(gè)平動(dòng)自由度，2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，1個(gè)振動(dòng)自由度，i=6；剛性雙原子分子：i=5；圖6-6 分子的自由度多原子分子：剛性： i=6。6.5.2 能量自由度 分子能量中，獨(dú)立的速度和坐標(biāo)的平方項(xiàng)數(shù)目6.5.3 能量按自由度均分定理 平動(dòng)：分子在每個(gè)平動(dòng)自由度上的平均動(dòng)能相等，都等于kT/2推廣： 平衡態(tài)時(shí)，任何一種運(yùn)動(dòng)或能量都不比另一種運(yùn)動(dòng)或能量更占

8、優(yōu)勢(shì),在各個(gè)自由度上，運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)均等且能量均分。能量按自由度均分定理： 在溫度為T的平衡態(tài)下，物質(zhì)分子的任何一個(gè)能量自由度上均分配有kT/2 的平均動(dòng)能。6.5.4 理想氣體的內(nèi)能 理想氣體（剛性分子）的內(nèi)能，是系統(tǒng)內(nèi)全部分子的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。1mol理想氣體的內(nèi)能： 理想氣體的內(nèi)能： ，g為摩爾數(shù)。結(jié)論： ，理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)。6.6 麥克斯韋速率分布律6.6.1 實(shí)驗(yàn)圖6-7 測(cè)定分子速率的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖小孔充分小，改變w，測(cè)D上的沉積厚度，就可測(cè)氣體速率分布。給定w 。 粒子速率分布實(shí)驗(yàn)曲線如圖6-8所示。6.6.2 氣體分子速率分布律（函數(shù)） 由于分子數(shù)目巨大且碰撞

9、頻繁，故單個(gè)分子速率取值任意偶然。但又由分子平均平動(dòng)動(dòng)能公式知：溫度T 一定時(shí)，大量分子的方均根速率卻又是確定的。圖68 分子速率分布實(shí)驗(yàn)曲線 說明：平衡態(tài)時(shí)，雖然單個(gè)分子的速率取值偶然，但大量分子的速率滿足一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。麥克斯韋從理論上得出如下規(guī)律： 滿足歸一化條件： 1. 速率分布的概念 分子可能的速率值： 速率區(qū)間：圖6-9 不同溫度下的速率分布曲線 使得： 內(nèi)的分子數(shù)為，表示第i個(gè)速率間隔中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比或表示單個(gè)分子速率值落在區(qū)間內(nèi)的概率。實(shí)驗(yàn)證明： 平衡態(tài)時(shí),分布在不同區(qū)間的不同,但卻是確定的。2. 氣體分子速率分布律 由實(shí)驗(yàn)知：與速率區(qū)間有關(guān)。當(dāng)時(shí)，與無(wú)關(guān)，僅是的連

10、續(xù)函數(shù)，即速率分布函數(shù) 物理意義： 速率在v 附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比,或某分子速率出現(xiàn)在v 附近的單位速率間隔內(nèi)的概率。歸一化條件： 3. 三種速率：1）最概然速率（最可幾速率）圖6-10 速率區(qū)間的定義 與分子速率分布曲線的極大值對(duì)應(yīng)的速率，2）平均速率 大量氣體分子的速率的平均值， 圖6-11 三種速率的比較（3）方均根速率4. 三種速率的比較如圖6-11所示。已知f(v)是速率分布函數(shù)，說明以下各式的物理意義：（1）f(v)dv；（2）nf(v)dv，其中n是分子數(shù)密度；（3）；（4）（vp是最概然速率）。答：（1）f(v)dv表示某分子的速率在間隔內(nèi)的幾率。（2）

11、nf(v)dv表示單位體積內(nèi)，分子速率在間隔內(nèi)的分子數(shù)。（3）表示速率在v1v2間的分子對(duì)平均速率的貢獻(xiàn)。（4）表示某分子的速率不大于vp的幾率。設(shè)氫氣的溫度是300K，求速率在30003010ms1之間的分子數(shù)與速率在15001510ms1之間的分子數(shù)之比。解：氫氣（H2）在溫度T=300K時(shí)的最可幾速率將麥克斯韋速率分布公式改寫為式中所以速率在3000到3010間的分子數(shù)速率在1500到1510間的分子數(shù)所以 6.7 玻耳茲曼分布律 重力場(chǎng)中粒子按高度分布 在麥克斯韋速度分布率中，有一因子，即。假如氣體分子有勢(shì)能，。 玻耳茲曼推廣：氣體分子速度在區(qū)間， ， 位置在區(qū)間，分子數(shù)目為 。 玻耳

12、茲曼統(tǒng)計(jì)：溫度T 的平衡狀態(tài)下，任何系統(tǒng)的微觀粒子按狀態(tài)的分布，即在某一狀態(tài)區(qū)間的粒子數(shù)與該狀態(tài)區(qū)間的粒子的能量 E有關(guān)，而且與成正比。原子處于不同能級(jí)的原子數(shù)目圖6-12 能級(jí) 重力場(chǎng)中的氣體分子按位置分布：分子數(shù)處于位置區(qū)間， 令處，氣體密度 氣體密度隨高度變化。恒溫氣壓公式（高度計(jì)）： 設(shè)溫度不隨高度變化，即，由此式可知，根據(jù)壓強(qiáng)變化可以測(cè)高度。因?qū)嶋H溫度也隨高度變化，故測(cè)大氣高度有一定的范圍，是近似測(cè)量。由上式可得高度h為： 6.8 分子的平均碰撞次數(shù)及平均自由程圖6-13 平均碰撞次數(shù)和平均自由程計(jì)算用圖 一個(gè)分子單位時(shí)間里受到的平均碰撞次數(shù)叫平均碰撞次數(shù)。 一個(gè)分子連續(xù)兩次碰撞之間

13、經(jīng)歷的平均自由路程叫平均自由程。 則有平均碰撞次數(shù)Z 的導(dǎo)出： 設(shè)分子A 以相對(duì)平均速率運(yùn)動(dòng)，其它分子可設(shè)為靜止。運(yùn)動(dòng)方向上，以 d 為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將與分子A 碰撞，該圓柱體的面積 s 就叫碰撞截面。 單位時(shí)間內(nèi)分子 A 走，相應(yīng)的圓柱體體積為 ， 則統(tǒng)計(jì)理論可計(jì)算平均自由程： 對(duì)空氣分子，；標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，。 特例：如果氣體容器線度小于平均自由程計(jì)算值時(shí)，實(shí)際平均自由程就是容器線度的大小。6.9 氣體內(nèi)的遷移現(xiàn)象 系統(tǒng)各部分的物理性質(zhì)，如流速、溫度或密度不均勻時(shí)，系統(tǒng)處于非平衡態(tài)。非平衡態(tài)問題是至今沒有完全解決的問題，理論只能處理一部分，另一部分問題還在研究中。圖6-14 粘滯現(xiàn)象 最

14、簡(jiǎn)單的非平衡態(tài)問題：不受外界干擾時(shí)，系統(tǒng)自發(fā)地從非平衡態(tài)向物理性質(zhì)均勻的平衡態(tài)過渡過程 - 遷移現(xiàn)象。 介紹三種遷移現(xiàn)象的基本規(guī)律：粘滯現(xiàn)象、熱傳導(dǎo)現(xiàn)象和擴(kuò)散現(xiàn)象。6.9.1 粘滯現(xiàn)象： 現(xiàn)象：A盤自由，B盤由電機(jī)帶動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)，慢慢A盤也跟著轉(zhuǎn)動(dòng)起來。 解釋：B盤轉(zhuǎn)動(dòng)因摩擦作用力帶動(dòng)了周圍的空氣層，這層又帶動(dòng)鄰近層，直到帶動(dòng)A盤。這種相鄰的流體之間因速度不同，引起的相互作用力稱為內(nèi)摩擦力，或粘滯力。 流速不均勻，沿 z 變化（或有梯度）不同流層之間有粘滯力流速大的流層帶動(dòng)流速小的流層，流速小的流層后拖流速大的流層。 設(shè)，dS的上層面上流體對(duì)下層面上流體的粘滯力為 df，反作用為df，這一對(duì)力滿足

15、牛頓第三定律。實(shí)驗(yàn)測(cè)得 h 稱為粘滯系數(shù)。圖6-15 粘滯力 20 oC 時(shí)，水為 1.005 10-3 Pa s，空氣為 1.71 10-7 Pa s。 用分子運(yùn)動(dòng)論應(yīng)該可以從微觀推導(dǎo)出上面公式。 微觀上，這種粘滯力是動(dòng)量傳遞的結(jié)果。下層：平均自由程的區(qū)域，單位時(shí)間通過 dS 面積，向上層輸運(yùn)動(dòng)量的平均 x 分量 上層：平均自由程的區(qū)域，單位時(shí)間通過dS 面積，向下層輸運(yùn)動(dòng)量的平均 x 分量 圖6-16 粘滯力表達(dá)式推導(dǎo)用圖 此處，u為Z坐標(biāo)的函數(shù)。比較實(shí)驗(yàn)定律可得粘滯系數(shù)為：帶入，h 與壓強(qiáng)無(wú)關(guān)，只與溫度有關(guān) 。結(jié)果支持了分子運(yùn)動(dòng)論。6.9.2 熱傳導(dǎo) 溫度不均勻就有熱傳導(dǎo)。 圖6-17

16、熱傳導(dǎo)現(xiàn)象設(shè)沿z方向有溫度梯度，實(shí)驗(yàn)指出，dt 時(shí)間內(nèi)，通過dS傳遞的熱量為：負(fù)號(hào)表示熱從溫度高處向溫度低處傳遞， k 為導(dǎo)熱系數(shù)。微觀推導(dǎo)與粘滯力情況相似，只是動(dòng)量換成平均動(dòng)能。其中：定容比熱，為Z的函數(shù)。比較得： 6.9.3 擴(kuò)散 密度不均勻就有擴(kuò)散。圖6-18 擴(kuò)散現(xiàn)象 設(shè)沿 z 方向有密度梯度，實(shí)驗(yàn)指出，dt 時(shí)間內(nèi)，通過 dS傳遞的質(zhì)量為負(fù)號(hào)表示質(zhì)量從密度高處向密度低處傳遞， D 為擴(kuò)散系數(shù)。微觀推導(dǎo)與粘滯力情況相似，只是密度不同。其中，n為 z的函數(shù)。6.10 真實(shí)氣體、范德瓦爾斯方程圖6-19 CO2的實(shí)驗(yàn)等溫線 在非常溫或非常壓的情況下，氣體就不能看成理想氣體了。 實(shí)際氣體的等

17、溫線可以分成四個(gè)區(qū)域: 汽態(tài)區(qū)(能液化)，汽液共存區(qū)，液態(tài)區(qū)，氣態(tài)區(qū)(不能液化)。飽和蒸汽壓（汽液共存時(shí)的壓強(qiáng)）與體積無(wú)關(guān)。 臨界點(diǎn)以下汽體可等溫壓縮液化，以上氣體不能等溫壓縮液化。 例：設(shè)P0=1atm，恒壓下加熱水，起始狀態(tài)為a點(diǎn)。圖6-20 水蒸氣的等溫線 ab：P = P0 不變，t 增加，直到到達(dá) t =1000C的等溫線上的b點(diǎn)。 這時(shí)液體中有小汽泡出現(xiàn)（汽化）。再繼續(xù)加熱，液體中有大量汽泡產(chǎn)生沸騰。但溫度仍是t=1000C，它就是1大氣壓下水的沸點(diǎn)。 bc： 繼續(xù)加熱，水與水汽共存，溫度保持不變，水吸收汽化熱，直到全部變?yōu)樗魵狻?cd： 繼續(xù)加熱，水蒸氣的溫度升高。圖6-21 分子力示意圖如果在壓強(qiáng) P P0 的條件下加熱水，因?yàn)轱柡驼羝麎罕容^小，水的沸點(diǎn)也比較小，水在不到1000C的條件下保持沸騰狀態(tài)（比如900C），溫度上不去，飯就煮不熟。用高壓鍋制造一個(gè)局部高壓，沸點(diǎn)就提高了。 實(shí)際氣體要考慮分子大小和分子之間的相互作用，分子為剛性球，氣體分子本身占有體積，容器容積應(yīng)有修正,由v修正為v-b。對(duì)一摩爾氣體：理論上 b 約為分子本身體積的 4 倍，估算 b 值10 -6 m3。 通常 b 可忽略，但壓強(qiáng)