數(shù)字濾波器設計

1、數(shù)字濾波器概述 一、數(shù)字濾波器的基本概念信號處理最廣泛的應用是濾波。數(shù)字濾波，是指輸入、輸出均為離散時間信號，利用離散時間系統(tǒng)特性對輸入信號進行加工和變換，改變輸入序列的頻譜或信號波形，讓有用頻率的信號分量輸出，抑制無用的信號分量輸入?；蛘哒f，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的算法。數(shù)字濾波器是一個離散時間系統(tǒng)。應用數(shù)字濾波器處理模擬信號時，首先須對輸入模擬信號進行限帶、抽樣和模數(shù)轉換。數(shù)字濾波器輸入信號的抽樣率應大于被處理信號帶寬的兩倍。數(shù)字濾波器的頻率響應具有以抽樣頻率為間隔的周期重復特性，且以折疊頻率（即二分之一抽樣頻率點）呈鏡像對稱。為得到模擬信號

2、，數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號須經數(shù)模轉換、平滑。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復用、便于集成等優(yōu)點。數(shù)字濾波器在語聲信號處理、圖像信號處理、醫(yī)學生物信號處理以及其他應用領域（如通信、雷達、聲納、儀器儀表和地震勘探等）都得到了廣泛的應用。 數(shù)字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。它可以是時不變的或時變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。如果數(shù)字濾波器的內部參數(shù)不隨時間而變化，則稱為時不變的，否則為時變的。如果數(shù)字濾波器在某一給定時刻的響應與在此時刻以后的激勵無關，則稱為因果的，否則為非因果的。如果數(shù)字濾波器對單一或多個激勵信號的響應滿足線性條件，則稱為線性的，否則

3、為非線性的。應用最廣的是線性、時不變數(shù)字濾波器。二、數(shù)字濾波器的基本結構作為線形時不變系統(tǒng)的數(shù)字濾波器可以用系統(tǒng)函數(shù)來表示，而實現(xiàn)一個系統(tǒng)函數(shù)表達式所表示的系統(tǒng)可以用兩種方法：一種方法是采用計算機軟件實現(xiàn)；另一種方法是用加法器、乘法器、和延遲器等組件設計出專用的數(shù)字硬件系統(tǒng)，即硬件實現(xiàn)。不論軟件實現(xiàn)還是硬件實現(xiàn)，在濾波器設計過程中，由同一系統(tǒng)函數(shù)可以構成很多不同的運算結構。對于無限精度的系數(shù)和變量，不同結構可能是等效的，與其輸入和輸出特性無關；但是在系數(shù)和變量精度是有限的情況下，不同運算結構的性能就有很大的差異。因此，有必要對離散時間系統(tǒng)的結構有一基本認識。在實際應用中，多處情況是利用數(shù)字濾波

4、器來處理模擬信號。處理模擬信號的數(shù)字濾波器基本結構如圖1所示：抽樣量化變換器圖1 處理模擬信號的數(shù)字濾波器基本結構在圖1中，輸入端接入一個低通濾波器，其作用是對輸入信號的頻率進行限制，以避免頻譜混疊，因此稱為輸入抗“混疊”濾波器；在輸出的端也接一個低通濾波器，以便將變換器輸出的模擬量良好地恢復成連續(xù)時間信號。用數(shù)字濾波器處理模擬信號,應首先將信號經過抗混疊濾波器的預處理。它的幅頻特性為 信號經過產生，使的頻譜的頻帶限制在范圍之內,這樣就可以避免“混疊”發(fā)生。 所謂數(shù)字濾波器實質上是一種運算過程-用來描述離散系統(tǒng)輸入與輸出關系的差分方程的計算或卷積計算。所謂數(shù)字濾波器的設計，就是根據(jù)要求選擇系統(tǒng)

5、或，使通過系統(tǒng)時，對其波形和頻譜進行加工，獲得人們所需要的信號。三、數(shù)字濾波器的設計原理數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(IIR)濾波器和有限長沖激響應(FIR)濾波器。IIR濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時間沖激響應。這種濾波器一般需要用遞歸模型來實現(xiàn)，因而有時也稱之為遞歸濾波器。FIR濾波器的沖激響應只能延續(xù)一定時間，在工程實際中可以采用遞歸的方式實現(xiàn)，也可以采用非遞歸的方式實現(xiàn)。數(shù)字濾波器的設計方法有多種，如雙線性變換法、窗函數(shù)設計法、插值逼近法和Chebyshev逼近法等等。隨著MATLAB軟件尤其是MATLAB的信號處理工作箱的不斷完善，不僅數(shù)字濾波

6、器的計算機輔助設計有了可能，而且還可以使設計達到最優(yōu)化?；静襟E如下：(1)確定指標(2)逼近(3)性能分析和計算機仿真。四、數(shù)字濾波器的性能指標我們在進行數(shù)字濾波器設計時，需要確定其性能指標。一般來說，數(shù)字濾波器的性能要求往往以頻率響應的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器特性為例，頻率響應有通帶、過渡帶及阻帶三個范圍。在通帶內：  1- AP| H(ej)| 1 |c在阻帶中： |H(ej)| Ast st |c其中c 為通帶截止頻率, st為阻帶截止頻率，Ap為通帶誤差, Ast為阻帶誤差。 圖2低通濾波器頻率響應幅度特性的容限圖與模擬濾波器類似，數(shù)字濾波器按頻率特

7、性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應是周期性的，周期為2。各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應如圖所示：圖3、 各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應一般來說,數(shù)字濾波器可以用N階差分方程表示,即 (2-1)在離散域中,上式可以表示成系統(tǒng)函數(shù)形式 (2-2)其中，由式(a)、式(b)可知，該傳遞函數(shù)的特性僅取決于其中的參數(shù)，也就是說該數(shù)字濾波器的特性是由參數(shù)、來確定的。五、IIR濾波器IIR濾波器可以用系統(tǒng)函數(shù)表示為： (2-3) 由這樣的系統(tǒng)函數(shù)可以得到表示系統(tǒng)輸入與輸出關系的常系數(shù)線形差分程為： (2-4) 可見數(shù)字濾波器的功能就是把輸入序列x(n)通過一定的運算變換

8、成輸出序列y(n)。不同的運算處理方法決定了濾波器實現(xiàn)結構的不同。無限沖激響應濾波器的單位抽樣響應h(n)是無限長的，其差分方程如(d)式所示，是遞歸式的，即結構上存在著輸出信號到輸入信號的反饋，其系統(tǒng)函數(shù)具有(c)式的形式，因此在z平面的有限區(qū)間(0<z<)有極點存在。前面已經說明，對于一個給定的線形時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，有著各種不同的等效差分方程或網(wǎng)絡結構。由于乘法是一種耗時運算，而每個延遲單元都要有一個存儲寄存器，因此采用最少常熟乘法器和最少延遲支路的網(wǎng)絡結構是通常的選擇，以便提高運算速度和減少存儲器。然而，當需要考慮有限寄存器長度的影響時，往往也采用并非最少乘法器和延遲單元

9、的結構。1、IIR濾波器實現(xiàn)的基本結構有：（1）IIR濾波器的直接型結構；優(yōu)點：延遲線減少一半，變?yōu)镹 個，可節(jié)省寄存器或存儲單元；缺點：其它缺點同直接I型。  通常在實際中很少采用上述兩種結構實現(xiàn)高階系統(tǒng)，而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng)(一、二階)來實現(xiàn)。（2）IIR濾波器的級聯(lián)型結構；特點：· 系統(tǒng)實現(xiàn)簡單，只需一個二階節(jié)系統(tǒng)通過改變輸入系數(shù)即可完成； · 極點位置可單獨調整； · 運算速度快(可并行進行)； · 各二階網(wǎng)絡的誤差互不影響，總的誤差小，對字長要求低。 缺點：不能直接調整零點，因多個二階節(jié)的零點并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點

10、，當需要準確的傳輸零點時，級聯(lián)型最合適。（3）IIR濾波器的并聯(lián)型結構。優(yōu)點：· 簡化實現(xiàn)，用一個二階節(jié)，通過變換系數(shù)就可實現(xiàn)整個系統(tǒng)； · 極、零點可單獨控制、調整，調整1i、2i只單獨調整了第i對零點，調整1i、2i則單獨調整了第i對極點； · 各二階節(jié)零、極點的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運算誤差； · 可流水線操作。 缺點：二階電平難控制，電平大易導致溢出，電平小則使信噪比減小。 a、直接型 b、并聯(lián)型c、 串聯(lián)型圖4、IIR濾波器的基本結構2、IIR數(shù)字濾波器的設計方法目前，IIR數(shù)字濾波器設計最通用的方法是借助于模擬濾波器的設計方法。模擬濾

11、波器設計已經有了一套相當成熟的方法，它不但有完整的設計公式，而且還有較為完整的圖表供查詢，因此，充分利用這些已有的資源將會給數(shù)字濾波器的設計帶來很大方便，IIR數(shù)字濾波器的設計步驟是：(1)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬濾波器的技術指標；(2)根據(jù)轉換后的技術指標設計模擬低通濾波器H(s)；(3)在按一定規(guī)則將H(s)轉換為H(z)。若所設計的數(shù)字濾波器是低通的，那么上述設計工作可以結束，若所設計的是高通、帶通或者帶阻濾波器，那么還有步驟：(4)將高通、帶通或者帶阻數(shù)字濾波器的技術指標先轉化為低通濾波器的技術指標，然后按上述步驟(2)設計出模擬低通濾波器H(s)，再由沖擊響應

12、不變法或雙線性變換將H(s)轉換為所需的H(z)。s - z 映射的方法有：沖激響應不變法、階躍響應不變法、雙線性變換法等。下面討論雙線性變換法。雙線性變換法是指首先把s 平面壓縮變換到某一中介平面s1 的一條橫帶(寬度為2T,即從- T到T) ,然后再利用的關系把s1平面上的這條橫帶變換到整個z 平面。這樣s 平面與z 平面是一一對應關系, 消除了多值變換性, 也就消除了頻譜混迭現(xiàn)象。s 平面到z 平面的變換可采用 (2-5) (2-6)令 ，有： (2-7)從s1 平面到z 平面的變換,即 (2-8)代入上式，得到： (2-9) 一般來說，為使模擬濾波器的某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對

13、應關系，可引入常數(shù)c， (2-10)則 (2-11) 這種s 平面與z 平面間的單值映射關系就是雙線性變換。有了雙線性變換，模擬濾波器的數(shù)字化只須用進行置換。六、 FIR濾波器FIR濾波器的單位抽樣響應為有限長度，一般采用非遞歸形式實現(xiàn)。通常的FIR數(shù)字濾波器有橫截性和級聯(lián)型兩種。1、FIR濾波器實現(xiàn)的基本結構有：（1）FIR濾波器的橫截型結構：表示系統(tǒng)輸入輸出關系的差分方程可寫作：  (2-12)     直接由差分方程得出的實現(xiàn)結構如圖2-2所示：圖2-2、 橫截型(直接型卷積型)若h(n)呈現(xiàn)對稱特性，即此FIR濾波器具有線性相位，則可以簡化加橫截

14、型結構，下面分情況討論：圖5 N為奇數(shù)線形相位FIR濾波器實現(xiàn)結構 圖6 N為偶數(shù)線性相位FIR濾波器實現(xiàn)結構（2）FIR濾波器的級聯(lián)型結構將H(z)分解成實系數(shù)二階因子的乘積形式： (2-13)     這時FIR濾波器可用二階節(jié)的級聯(lián)結構來實現(xiàn)，每個二階節(jié)用橫截型結構實現(xiàn)。如圖所示：圖7、 FIR濾波器的級聯(lián)結構這種結構的每一節(jié)控制一對零點，因而在需要控制傳輸零點時可以采用這種結構。2、FIR數(shù)字濾波器的設計方法IIR濾波器的優(yōu)點是可利用模擬濾波器設計的結果，缺點是相位是非線性的，若需要線性相位，則要用全通網(wǎng)絡進行校正。FIR濾波器的優(yōu)點是可方便地實現(xiàn)線性相位

15、。 FIR濾波器單位沖激響應h(n)的特點：其單位沖激響應h(n)是有限長(),系統(tǒng)函數(shù)為： (2-14)在有限Z平面有(N-1)個零點，而它的(N-1)個極點均位于原點z=0處。Fir濾波器線性相位的特點：  如果FIR濾波器的單位抽樣響應h(n)為實數(shù)，而且滿足以下任一條件：偶對稱h(n)h(N-1-n) 、奇對稱h(n)-h(N-1-n)，其對稱中心在n(N-1)/2處，則濾波器具有準確的線性相位。窗函數(shù)設計法：   一般是先給定所要求的理想濾波器頻率響應，由導出，我們知道理想濾波器的沖擊響應是無限長的非因果序列，而我們要設計的是是有限長的FIR濾

16、波器，所以要用有限長序列來逼近無限長序列，設：(2-15)常用的方法是用有限長度的窗函數(shù)w(n)來截取 即：(2-16) 這里窗函數(shù)就是矩形序列RN(n),加窗以后對理想低通濾波器的頻率響應將產生什么樣的影響呢?根據(jù)在時域是相乘關系,在頻域則是卷積關系： (2-17)其中,為矩形窗譜, 是FIR濾波器頻率響應.  通過頻域卷積過程看的幅度函數(shù)H()的起伏現(xiàn)象,可知,加窗處理后，對理想矩形的頻率響應產生以下幾點影響：（1）使理想頻率特性不連續(xù)點處邊沿加寬，形成一個過渡帶，其寬度等于窗的頻率響應的主瓣寬度。（2）在截止頻率的兩邊的地方即過渡帶的兩邊，出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側形成起伏振

17、蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少，則取決于旁瓣的多少。（3）改變N，只能改變窗譜的主瓣寬度，改變的坐標比例以及改變的絕對值大小，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例(此比例由窗函數(shù)的形狀決定)。（4）對窗函數(shù)的要求：a、窗譜主瓣盡可能窄，以獲取較陡的過渡帶；b、盡量減小窗譜的最大旁瓣的相對幅度：即能量集中于主瓣，使肩峰和波紋減小，增大阻帶的衰減。頻率采樣法：窗函數(shù)設計法是從時域出發(fā)，把理想的hd(n)用一定形狀的窗函數(shù)截取成有限長的h(n)，來近似理想的hd(n)，這樣得到的頻率響應逼近于所要求的理想的頻率響應。頻率抽樣法則是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應 加以等間隔抽樣得到 ，然

18、后以此 作為實際FIR濾波器的頻率特性的抽樣值H(k)，即(2-18) 知道H(k)后，由DFT定義可唯一確定有限長序列 h(n)，利用這N個頻域抽樣值H(k)同樣利用頻率內插公式可得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，及頻率響應 ，即：     頻率抽樣法內插公式： (2-19) 頻率抽樣法小結  優(yōu)點：可以在頻域直接設計，并且適合于最優(yōu)化設計。  缺點：抽樣頻率只能等于 2/N 的整數(shù)倍，或等于2/N 的整數(shù)倍加上/N。因而不能確保截止頻率 的自由取值，要想實現(xiàn)自由地選擇截止頻率，必須增加抽樣點數(shù)N，但這又使計算量

19、增大。 為了提高逼近質量，減少通帶邊緣由于抽樣點的陡然變化而引起的起伏振蕩。有目的地在理想頻率響應的不連續(xù)點的邊緣，加上一些過渡的抽樣點，增加過渡帶，減少起伏振蕩。七、IIR濾波器與FIR濾波器的分析比較前面已經介紹了IIR和FIR數(shù)字濾波器的設計方法，選擇哪一種濾波器取決于每種類型濾波器的優(yōu)點在設計中的重要性。為了能在實際工作中恰當?shù)剡x用合適的濾波器，現(xiàn)將兩種濾波器特點比較分析如下：(1) 選擇數(shù)字濾波器是必須考慮經濟問題，通常將硬件的復雜性、芯片的面積或計算速度等作為衡量經濟問題的因素。在相同的技術指標要求下，由于IIR數(shù)字濾波器存在輸出對輸入的反饋，因此可以用較少的階數(shù)來滿足要求，所用的

20、存儲單元少，運算次數(shù)少，較為經濟。例如，用頻率抽樣法設計一個阻帶衰減為20dB的FIR數(shù)字濾波器，要33階才能達到要求，而用雙線性變換法只需45階的切比雪夫IIR濾波器就可達到同樣的技術指標。這就是說FIR濾波器的階數(shù)要高510倍左右。(2) 在很多情況下,FIR數(shù)字濾波器的線性相位與它的高階數(shù)帶來的額外成本相比是非常值得的。對于IIR濾波器，選擇性越好，其相位的非線性越嚴重。如果要使IIR濾波器獲得線性相位，又滿足幅度濾波器的技術要求，必須加全通網(wǎng)絡進行相位校正，這同樣將大大增加濾波器的階數(shù)。就這一點來看，F(xiàn)IR濾波器優(yōu)于IIR濾波器。(3) FIR濾波器主要采用非遞歸結構，因而無論是理論上

21、還是實際的有限精度運算中他都是穩(wěn)定的，有限精度運算誤差也較小。IIR濾波器必須采用遞歸結構，極點必須在z平面單位圓內才能穩(wěn)定。對于這種結構，運算中的舍入處理有時會引起寄生振蕩。(4) 對于FIR濾波器，由于沖激響應是有限長的，因此可以用快速傅里葉變換算法，這樣運算速度可以快得多。IIR濾波器不能進行這樣的運算。(5) 從設計上看，IIR濾波器可以利用模擬濾波器設計的現(xiàn)成的閉合公式、數(shù)據(jù)和表格，可以用完整的設計公式來設計各種選頻濾波器。一旦選定了已知的一種逼近方法(如巴特奧茲，切比雪夫等)，就可以直接把技術指標帶入一組設計方程計算出濾波器的階次和系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)(或極點和零點)。FIR濾波器則一般沒有現(xiàn)成的設計公式。窗函數(shù)法只給出了窗函數(shù)的計算公式，但計算通