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1、第二章習(xí)題答案1設(shè)a1,a2,an均為正數(shù),且. 證明函數(shù)在Cn上定義了一個(gè)向量范數(shù).證明:(1) 正定性:對(duì),有f(x)>0,當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0.(2) 奇次性:. (3) 三角不等式: . 所以函數(shù)f(x)是一個(gè)向量范數(shù).2. 證明:在R1中任何向量范數(shù),一定有 .證明:對(duì)任意向量范數(shù),根據(jù)向量范數(shù)的定義和性質(zhì),又因?yàn)?,?,其中.3. 設(shè)是Pn中的向量范數(shù),則也是Pn中的向量范數(shù)的充要條件為A是可逆矩陣.證明:必要性:如果矩陣A不可逆,則存在,使得,即,這與向量范數(shù)的正定性矛盾,所以矩陣A可逆. 充分性:矩陣A可逆,對(duì),則,所以,正定性滿(mǎn)足;,奇次性滿(mǎn)足;,三角不等式也滿(mǎn)足,
2、故是向量范數(shù).4. 證明(1) ;(2) 與是相容的;(3) 與、均相容;(4) .證明:(1) 設(shè),令. 根據(jù)定義有,所以有,同時(shí)有,所以有. (2) 見(jiàn)課本61頁(yè)下. (3) 令,. 因?yàn)? 所以,與相容; 因?yàn)? 所以,與相容. (4) 令,因?yàn)椋瑫r(shí)有有上述結(jié)果有,所以(4)成立.5. 若,且,則,.證明:根據(jù)定義;.6. 設(shè)x,Ax的向量范數(shù)為,證明:它對(duì)應(yīng)的算子范數(shù)是.證明:對(duì)任意矩陣A,存在酉矩陣U,V,得到矩陣A的奇異值分解A=UDV. 其中是矩陣A的奇異值,D=diag(). 根據(jù)定義,有=max.7. 若是算子范數(shù),則(1) ;(2) ;(3) .證明:根據(jù)算子范數(shù)定義,
3、(1) ; (2) ,; (3) ,令,則,得,從而.8. 設(shè),是對(duì)應(yīng)于兩個(gè)向量范數(shù),的算子范數(shù),B可逆,則.證明:根據(jù)定義,有,把代入上式,得到,令y=Bx,則,則.9. 設(shè),是Cn上的兩個(gè)向量范數(shù),a1,a2是兩個(gè)正實(shí)數(shù),證明(1) ;(2) 都是Cn上的向量范數(shù).證明:需要證明(1)和(2)滿(mǎn)足范數(shù)定義中的三個(gè)條件即可.(1) (正定性) 當(dāng)時(shí),則;當(dāng)x=0時(shí),則. 奇次性顯然成立. (三角不等式) . (1)證畢.(2) 正定性和奇次性同(1),容易得到. 下面證明三角不等式:. 證畢.10. 證明.證明:因?yàn)?,即,其中為半正定矩陣AHA的特征值. 又由于,即. 證畢.11設(shè)是上的相容矩陣范數(shù),B,C都是n階可逆矩陣,且及都是小于或等于1,證明對(duì)任何定義了上的一個(gè)相容矩陣范數(shù).證明:首先證明是一個(gè)矩陣范數(shù)。 (正定性) 對(duì)任意,則,即,且當(dāng)且僅當(dāng)A=0. (奇次性) . (三角不等式) .下面證明相容性. 證畢
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