矩陣?yán)碚摿?xí)題解答

1、第二章習(xí)題答案1設(shè)a1，a2，an均為正數(shù)，且. 證明函數(shù)在Cn上定義了一個(gè)向量范數(shù).證明：(1) 正定性：對(duì)，有f(x)>0，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0.(2) 奇次性：. (3) 三角不等式： . 所以函數(shù)f(x)是一個(gè)向量范數(shù).2. 證明：在R1中任何向量范數(shù)，一定有 .證明：對(duì)任意向量范數(shù)，根據(jù)向量范數(shù)的定義和性質(zhì)，又因?yàn)?，?，其中.3. 設(shè)是Pn中的向量范數(shù)，則也是Pn中的向量范數(shù)的充要條件為A是可逆矩陣.證明：必要性：如果矩陣A不可逆，則存在，使得，即，這與向量范數(shù)的正定性矛盾，所以矩陣A可逆. 充分性：矩陣A可逆，對(duì)，則，所以，正定性滿(mǎn)足；，奇次性滿(mǎn)足；，三角不等式也滿(mǎn)足，

2、故是向量范數(shù).4. 證明(1) ;(2) 與是相容的；(3) 與、均相容；(4) .證明：(1) 設(shè)，令. 根據(jù)定義有，所以有，同時(shí)有，所以有. (2) 見(jiàn)課本61頁(yè)下. (3) 令，. 因?yàn)? 所以，與相容; 因?yàn)? 所以，與相容. (4) 令，因?yàn)椋瑫r(shí)有有上述結(jié)果有，所以(4)成立.5. 若，且，則，.證明：根據(jù)定義；.6. 設(shè)x，Ax的向量范數(shù)為，證明：它對(duì)應(yīng)的算子范數(shù)是.證明：對(duì)任意矩陣A，存在酉矩陣U，V，得到矩陣A的奇異值分解A=UDV. 其中是矩陣A的奇異值，D=diag(). 根據(jù)定義，有=max.7. 若是算子范數(shù)，則(1) ;(2) ;(3) .證明：根據(jù)算子范數(shù)定義，

3、(1) ; (2) ，； (3) ，令，則，得，從而.8. 設(shè)，是對(duì)應(yīng)于兩個(gè)向量范數(shù)，的算子范數(shù)，B可逆，則.證明：根據(jù)定義，有，把代入上式，得到，令y=Bx，則，則.9. 設(shè)，是Cn上的兩個(gè)向量范數(shù)，a1，a2是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，證明(1) ;(2) 都是Cn上的向量范數(shù).證明：需要證明(1)和(2)滿(mǎn)足范數(shù)定義中的三個(gè)條件即可.(1) (正定性) 當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)x=0時(shí)，則. 奇次性顯然成立. (三角不等式) . (1)證畢.(2) 正定性和奇次性同(1)，容易得到. 下面證明三角不等式：. 證畢.10. 證明.證明：因?yàn)?，即，其中為半正定矩陣AHA的特征值. 又由于，即. 證畢.11設(shè)是上的相容矩陣范數(shù)，B，C都是n階可逆矩陣，且及都是小于或等于1，證明對(duì)任何定義了上的一個(gè)相容矩陣范數(shù).證明：首先證明是一個(gè)矩陣范數(shù)。 (正定性) 對(duì)任意，則，即，且當(dāng)且僅當(dāng)A=0. (奇次性) . (三角不等式) .下面證明相容性. 證畢